初中七年级数学下册（北师大版2024）5.2 简单的轴对称图形（第3课时） 线段垂直平分线的性质 教学设计

初中七年级数学下册（北师大版2024）5.2简单的轴对称图形（第3课时）线段垂直平分线的性质教学设计

一、教学内容解析

本节课选自北师大版（2024）七年级下册第五章“图形的轴对称”第二节“简单的轴对称图形”第三课时，核心内容是“线段垂直平分线的性质”【重要】。在“图形的轴对称”这一大观念统领下，本章内容遵循从“生活中的轴对称”到“轴对称的性质”，再到“简单的轴对称图形”，最后到“等腰三角形”和“轴对称的应用”的逻辑主线【基础】。学生在之前的学习中已经认识了轴对称图形的一般性质，并探究了等腰三角形这一具体的轴对称图形。本节课是对轴对称性质的一次深化应用，是从“三角形”这一封闭图形转向研究“线段”这一基本几何元素的关键节点【重要】。线段是最基本的几何图形之一，其垂直平分线的性质是证明线段相等、角相等以及解决线段最值问题（如将军饮马问题）的重要工具，也是后续学习等腰三角形的三线合一、特殊四边形的性质乃至圆的相关性质（如垂径定理）的基石，在初中平面几何体系中起着承上启下的枢纽作用【非常重要】【高频考点】。

二、学情分析

七年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段。他们具备了一定的动手操作能力和观察归纳能力，对新鲜事物充满好奇，乐于参与折纸、作图等实践活动。在前两课时的学习中，学生已经掌握了轴对称图形的概念和性质，能够识别生活中的轴对称图形，并初步探索了等腰三角形的轴对称性。但是，学生对于“图形性质”的理解往往停留在直观感知层面，缺乏严格的几何推理和证明的意识与习惯【难点】。具体到本节课，学生容易通过折叠发现线段是轴对称图形，但要理解“对称轴是任何一组对应点连线的垂直平分线”这一抽象规定，以及将“折痕上的点到线段两端点距离相等”这一感性认识转化为严谨的数学语言和逻辑证明，是思维上的一大跨越。此外，对于“点到点的距离”与“点到线的距离”容易产生混淆，需要在教学中加以辨析【难点】。

三、核心素养目标

1.通过动手操作、实验验证，经历探索线段轴对称性的过程，发展学生的几何直观和空间观念【基础】。

2.通过观察、测量、猜想、证明线段垂直平分线的性质，培养学生合情推理和演绎推理的能力，渗透从特殊到一般、转化与化归的数学思想，提升逻辑推理素养【重要】。

3.在探索过程中，通过小组合作与交流，体会分类讨论的思想，感受几何图形的对称美，增强学习数学的兴趣和应用意识【基础】。

4.能够运用线段垂直平分线的性质解决简单的实际问题，初步建立数学模型观念【热点】。

四、教学重难点

1.教学重点：掌握线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等【非常重要】【高频考点】。

2.教学难点：线段垂直平分线性质的探索过程、几何证明的严谨表达以及性质的综合应用【难点】。

五、教学策略与方法

本节课秉承“以学生发展为本”的课程改革理念，采用“引导—探究—发现—应用”的教学模式。以“双新”理念为指导，将课堂设计为一节数学实验课【2】。通过创设真实的折纸问题情境，引导学生动手操作、合作交流、自主发现。利用几何画板等信息技术手段，动态演示图形变化，突破教学难点，实现从直观感知到理性抽象的飞跃。教法上采用启发式、探究式教学，学法上倡导动手实践、自主探索与合作交流。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，引入新课（约3分钟）

教师活动：在多媒体上展示一组生活中的图片：一只翩翩起舞的蝴蝶、一座庄严对称的中式古建筑（如故宫角楼）、一个设计精美的中国结剪纸。提问：“这些图片美吗？它们为什么美？它们有一个共同的数学特征是什么？”引导学生回顾轴对称图形的概念。接着，教师拿出一张事先准备好的长方形白纸，随意撕下一张不规则的纸片。提问：“如果我们想在一条线段上也能找到这种对称的美，你们觉得线段是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你们能用桌上的白纸和直尺来验证一下吗？”【生活导入，激发兴趣，引出探究主题】

学生活动：欣赏图片，回忆旧知，对教师提出的关于线段的问题产生好奇和猜想，并跃跃欲试想动手操作。

（二）动手实践，探索新知（约20分钟）

1.实验一：探寻线段的对称轴——动手折一折

操作活动：请同学们拿出一张长方形纸片，在上面用直尺画出一条线段AB（约5-8厘米长）。然后按照以下步骤进行折叠：

首先，将纸片对折，使得线段的一个端点A与另一个端点B完全重合【4】。

其次，用手指压平折痕，然后将纸片展开。

思考与交流：观察折痕与线段AB的交点，标记为点O。

（1）折痕与线段AB在位置上有什么关系？（互相垂直）

（2）点O把线段AB分成了两段，这两段长度有什么关系？（AO=BO，即点O是AB的中点）

（3）除了这条折痕，你还能找到线段AB的其他对称轴吗？比如，线段AB本身所在的直线是不是它的对称轴？

归纳结论：学生汇报发现，教师引导总结。线段是轴对称图形【非常重要】。它有两条对称轴：一条是线段AB本身所在的直线（此时线段上的点与自身重合）；另一条是过线段AB中点且垂直于AB的直线。由此引出“垂直平分线”的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）【基础】【高频考点】。

2.实验二：探究垂直平分线的性质——再探折痕

操作活动：请同学们不要收起刚才的纸片，现在进行第二次探究。在折痕（即线段AB的垂直平分线）上任取一点P，标记出来。

第一步：沿折痕再次折叠，使得点A与点B重合。

第二步：用笔尖分别扎穿点P和点A，再扎穿点P和点B，然后将纸片展开。

观察与猜想：观察纸上的扎孔痕迹。连接PA和PB，用刻度尺量一量，你有什么发现？再在折痕上换一个点Q试一试，重复上述操作，看看结论是否依然成立？

学生活动：小组合作，动手操作，测量数据，组内交流。教师巡视指导，关注学生操作的规范性和结论的准确性。

猜想归纳：引导学生用自己的语言描述发现的规律。经过测量，学生不难发现，无论点P在折痕的什么位置，总有PA=PB。从而引导学生归纳出线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等【非常重要】【高频考点】。

3.实验三：严谨证明——用旧知证新知

教师引导：刚才我们通过测量发现了几何规律，但这只是“实验验证”，在数学上，我们还需要进行严格的逻辑证明，才能称之为“定理”。同学们，我们以前学过的什么知识可以用来证明两条线段相等呢？（全等三角形、等腰三角形等）

问题驱动：我们能否构造一对全等三角形来证明PA=PB呢？

合作探究：引导学生回顾证明几何命题的一般步骤。教师板书已知、求证。

已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为O，点P是直线MN上的任意一点。连接PA、PB。

求证：PA=PB。

师生共析：要证PA=PB，可以将其放在△PAO和△PBO中，利用全等三角形的对应边相等来证明。由垂直平分线的定义可知，AO=BO，MN⊥AB，因此∠POA=∠POB=90°，再加上公共边PO=PO，可以利用“SAS”判定两个三角形全等。

学生活动：在教师的引导下，独立完成证明过程的书写，并请一名学生上台板演，其余同学点评。教师强调证明过程的规范性和严谨性。

追问深化：如果点P运动到直线MN上与线段AB的交点O处，这个结论还成立吗？（此时P与O重合，PA=PB=AB的一半，结论依然成立）。从而进一步巩固了定理的普遍性。

（三）尺规作图，深化理解（约10分钟）

1.创设冲突：刚才我们是用折纸的方法找到了一条线段的垂直平分线。如果现在不借助折纸，只给我们一把无刻度的直尺和圆规，你能精确地作出已知线段AB的垂直平分线吗？

2.原理探究：引导学生逆向思考。我们刚刚学过的性质是“垂直平分线上的点到两端距离相等”。那么，反过来，到线段两端距离相等的点，是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？这为下一课时做了铺垫，但可以启发学生，我们可以通过寻找两个到A、B距离相等的点来确定这条直线。

3.作图示范与操作：

教师边讲解边示范作法：

第一步：分别以点A和点B为圆心，以大于1/2AB的长为半径画弧，两弧在线段AB的两侧分别相交于点C和点D【7】。

第二步：经过点C和点D作直线。

则直线CD就是线段AB的垂直平分线。

4.思辨与交流：为什么要以“大于1/2AB的长”为半径画弧？（为了保证两弧能相交）为什么这样作出来的直线就是垂直平分线？（引导学生依据圆的半径相等，得出AC=BC，AD=BD，从而点C、D都在线段AB的垂直平分线上，两点确定一条直线）。

学生活动：模仿教师的示范，在纸上独立完成尺规作图，并尝试用刻度尺和量角器验证所画直线是否真的垂直且平分AB。

（四）学以致用，巩固提升（约8分钟）

1.基础闯关（口答）：

如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上一点。若PA=5cm，则PB=____cm。【直接巩固性质，答案5cm】【基础】

如图，在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D。若△ACE的周长为18，求AB的长度。【解析：由垂直平分线性质得BE=CE，所以AB=AE+BE=AE+CE=△ACE的周长-AC，需已知AC才可求。此题可改编为“若△ABC的周长为28，求AC的长”等变式】【重要】

2.实际应用（小组讨论）：

问题情境：在某高速公路的同一侧有两个村庄A和B（黑板画出示意图）。现要在高速公路上修建一个超市P，使得超市到两个村庄的距离之和PA+PB最短。请你确定超市P的位置。【此为经典的“将军饮马”模型，是轴对称性质的综合应用，也是本章的难点和高频考点】【非常重要】【热点】【难点】

探究路径：

（1）如果A、B两点在高速公路的异侧，我们很容易连接AB，与公路的交点即为所求。但现在A、B在公路的同侧，如何转化？

（2）引导学生联想轴对称的性质——对称轴是对应点连线的垂直平分线。能否借助轴对称，将“同侧”问题转化为“异侧”问题？

（3）学生小组讨论，教师适时点拨。作出点A关于公路（视为直线）的对称点A’，连接A’B，与公路的交点即为点P的位置。

（4）解释理由：对于公路上任意一点P，总有PA=PA’，所以PA+PB=PA’+PB。根据“两点之间线段最短”，当A’、P、B三点共线时，和最小。

设计意图：通过生活实例，将枯燥的数学知识赋予现实意义，让学生感受数学的应用价值，同时渗透转化思想和建模思想，为后续学习最短路径问题埋下伏笔。

（五）课堂小结，构建网络（约3分钟）

教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

知识层面：我学到了什么？

（1）线段是轴对称图形，它有两条对称轴。

（2）线段垂直平分线的定义。

（3）线段垂直平分线的性质：线上的点到线段两端点的距离相等【非常重要】。

（4）用尺规作图作一条线段的垂直平分线。

方法层面：我是怎么学到的？

（1）动手实践（折纸、测量、作图）

（2）观察猜想

（3）逻辑证明

（4）实际应用

思想层面：我领悟到了什么？

（1）转化思想（将未知转化为已知，将实际问题转化为数学问题）

（2）数形结合思想

（3）模型思想（将军饮马模型）

（六）布置作业，分层设计（约1分钟）

1.基础性作业（面向全体）：完成课本随堂练习及习题5.2相关题目，巩固垂直平分线的性质。

2.拓展性作业（面向学有余力）：如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，交AC于点E。若△ABC的周长为30cm，BC=8cm，求△BCE的周长。【此题巧妙融合了等腰三角形和垂直平分线的性质】【重要】

3.探究性作业（实践与思考）：利用本节课学习的线段垂直平分线的性质，设计一个测量“无法直接到达的两点间距离”的方案，并和同伴分享。

七、教学反思（预设）

本节课的设计充分践行了“双新”理念，以数学实验贯穿始终，将抽象的几何定理还原为学生亲历的发现过程，有效激发了学生的学习兴趣和探究欲望。四个折纸实验从“寻轴”到“探质”再到“证质”，层层递进，螺旋上升，符合学生的认知规律【2】。尺规作图的引入自然地利