人教版初中数学九年级下册《图形的位似变换》第1课时教学设计

人教版初中数学九年级下册《图形的位似变换》第1课时教学设计

一、课标解读与核心素养关联分析

1.1课程标准定位

本节课内容隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域中的“图形的变化”主题。课标明确要求：“通过具体实例认识平面图形的位似变换，探索位似变换的基本性质；能利用位似变换进行图形的放大或缩小，并能解决简单的实际问题。”位似变换作为继平移、旋转、轴对称之后的第四种全等与相似之间的重要图形变换，是连接相似形理论与实际应用的关键桥梁，对发展学生的空间观念、几何直观和推理能力具有不可替代的作用。

1.2核心素养渗透矩阵

核心素养

在本课中的具体体现与发展路径

空间观念

从二维平面图形中抽象出位似中心与对应点关系，在头脑中构建图形放大、缩小的动态变换过程，并能逆向思考。

几何直观

利用坐标系、网格纸、几何画板等工具，将位似的定义（对应点连线交于一点且成比例）可视化，形成直观认知。

推理能力

从特殊到一般，归纳位似图形的性质；进行逻辑演绎，证明位似多边形对应边平行（或共线）等结论。

应用意识

将位似原理应用于地图绘制、工程制图、艺术设计、影像处理等跨学科情境，体会数学的实用价值。

创新意识

鼓励学生探索非标准位置的位似图形（如位似中心在图形外部、内部或边上），设计创意位似图案。

二、学情分析与教学重难点预设

2.1学习者认知起点分析

九年级学生已系统学习过：

1.图形相似：掌握了相似多边形的定义（对应角相等，对应边成比例）及其判定。

2.图形变换：熟悉平移、旋转、轴对称三种全等变换的基本概念与性质。

3.比例线段：熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论。

4.坐标表示：能够在平面直角坐标系中描述图形的位置与基本变化。

2.2潜在认知障碍预判

1.概念混淆：容易将“位似”与“相似”、“全等”概念混为一谈，忽视“所有对应点连线交于一点（位似中心）”这一核心特征。

2.性质理解片面：可能仅关注“图形放大缩小”，而忽略位似比有正负之分（对应点位于位似中心同侧或异侧），以及对应边平行或共线的几何特性。

3.逆向思维困难：给定一个放大或缩小的图形，逆向确定位似中心和位似比可能存在困难。

4.应用迁移僵化：在脱离标准网格或坐标系的抽象情境中，应用位似原理解决问题的能力可能不足。

2.3教学重难点确立

1.教学重点：

1.2.位似图形的概念建构，理解其两个核心要素：①任意一对对应点连线经过同一点（位似中心）；②对应点到位似中心的距离之比等于定值（位似比）。

2.3.位似图形的基本性质探究与应用。

4.教学难点：

1.5.理解位似比的正负含义及其对图形位置（在位似中心同侧或异侧）的决定作用。

2.6.在复杂或抽象情境中，灵活运用位似知识进行作图、计算与问题解决。

三、教学目标设定（三维整合表述）

3.1知识与技能

1.能准确叙述位似图形和位似多边形的定义，并能根据定义识别图形是否位似。

2.理解位似中心、位似比（包括正负）的概念，并能用数学符号语言进行表述。

3.掌握位似图形的基本性质：对应点连线交于位似中心；对应线段平行（或共线）且比等于位似比的绝对值；对应角相等。

4.能在给定位似中心和位似比的条件下，利用尺规或坐标法作出已知多边形的位似图形。

3.2过程与方法

1.经历从生活实例（如小孔成像、地图）到数学抽象的概念形成过程，体验数学建模思想。

2.通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，自主探究并系统概括位似图形的性质，发展合情推理与演绎推理能力。

3.在利用信息技术（如GeoGebra、几何画板）动态演示位似变换的过程中，增强几何直观和探索兴趣。

4.尝试在美术（透视）、物理（光学）、地理（比例尺）等跨学科情境中应用位似原理，提升综合解决问题的能力。

3.3情感态度与价值观

1.感受位似变换在现实世界中的广泛应用与和谐之美，体会数学源于生活又服务于生活的价值。

2.在合作探究与交流中，养成严谨求实、勇于探索的科学态度和乐于分享的合作精神。

3.通过欣赏由位似图形构成的分形艺术、标志设计等，提升数学审美情趣。

四、教学资源与技术支持

1.多媒体课件：精心设计PPT，嵌入高清图片（显微镜成像、建筑图纸、分形图）、动画（位似变换动态过程）、微课视频（小孔成像原理）。

2.动态几何软件：全班配备安装有GeoGebra的平板电脑或使用网络版，预设可交互的位似变换探究活动。

3.实物教具：网格纸、透明胶片、可移动磁贴图形、激光笔（模拟光线）。

4.学习任务单：包含引导性问题、探究活动记录表、分层练习等。

5.网络资源链接：提供相关拓展阅读和虚拟实验平台的二维码。

五、教学过程实施与设计意图

第一环节：创设情境，激趣导入（预计时间：8分钟）

活动1：视觉谜题——它们是什么关系？

教师同时投影三组图片：

1.组1：同一张个人证件照与将其放大冲洗后的海报。

2.组2：一张北京市城区地图与地图上某个区域的放大详图。

3.组3：通过显微镜观察到的洋葱表皮细胞图像与教科书上的示意图。

提问：请观察每组中的两个图形，它们与之前学过的“全等”或“相似”关系完全一样吗？有什么共同的新特征？

（学生可能回答：形状一样，大小不同；放大缩小关系；所有“对应点”好像都能通过一个“点”连起来…）

设计意图：从学生最熟悉的生活与科学实例出发，制造认知冲突（不同于一般的相似），引导学生聚焦于“对应点连线共点”这一核心现象，为新课切入提供强有力的现实动机。

活动2：动手操作——探秘“神奇的光点”

学生两人一组，提供一张印有一个简单多边形（如三角形ABC）的纸、一根大头针（作为固定点O）、一支笔和一把直尺。要求：将大头针固定在多边形外一点O，用笔尖沿着多边形边缘“描摹”，同时用眼睛瞄准笔尖和大头针，在另一张纸上标记下视线与纸面交汇的新点，最终连接新点。

结果：学生将得到一个放大或缩小的新图形A’B’C’。

提问：这个新图形和原图形有什么关系？操作中那个固定点O起了什么关键作用？

设计意图：通过简易的物理模拟（类似小孔成像原理），让学生在“做数学”中亲身感受位似变换的生成过程，将抽象思维与动手体验紧密结合，深刻理解“位似中心”的核心作用。

第二环节：合作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

活动3：数学抽象——给这种关系起个名

基于以上实例和操作，教师引导学生用精准的数学语言描述共性：

1.两个图形是相似的。

2.图形上任意一组对应点（如A与A‘）的连线，都经过同一个定点O。

3.这个定点O到对应点的距离之比是一个定值k（即OA‘:OA=k）。

师生共同归纳定义：

如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一点，并且任意一组对应点到这点的距离之比都相等，那么这两个多边形叫做位似多边形，这个点叫做位似中心，这个比值叫做位似比。

强调：“任意”二字体现了定义的严谨性。同时，明确位似是一种特殊的相似关系。

活动4：概念辨析——火眼金睛

利用GeoGebra展示多组动态图形（包括位似、一般相似、旋转相似、非相似图形），让学生快速判断哪些是位似图形，并指出位似中心和估计位似比。特别设置一个陷阱图形：两个相似三角形，其对应点连线看似平行（即交于无穷远点）。引导学生讨论：这是位似吗？根据定义，对应点连线必须交于一个定点，平行可视为交于无穷远点，在仿射几何中有讨论，但在初中平面几何范畴内，我们主要研究位似中心为有限点的情形。

设计意图：通过正反例辨析，特别是对“平行线”这一边界情况的探讨，加深学生对位似定义关键要素的理解，培养思维的严密性。

第三环节：深度探究，归纳性质（预计时间：20分钟）

活动5：性质探矿——分组实验报告

学生以4人小组为单位，借助GeoGebra完成“位似图形性质探究任务单”。

任务一（基础组）：

1.给定△ABC和位似中心O（在形外），作出位似比为2的位似图形△A‘B’C‘。

2.测量并填写：∠A与∠A‘的大小关系；边BC与B’C‘的长度比；OA与OA’的长度比；直线AA‘与BB’的位置关系。

3.拖动点O（移至形内、形上），或改变位似比（设为0.5，-1，-2），重复观察上述关系。

任务二（进阶组）：

在任务一基础上，

4.探究：当位似比k>0和k<0时，图形的位置有何不同？（结论：k>0时，对应点位似中心同侧；k<0时，异侧，图形也“倒置”）。

5.猜想并验证：位似图形中，对应边之间除长度成比例外，还有什么位置关系？（结论：平行或共线）。

6.连接非顶点的一对对应点（如BC边中点与B‘C’边中点），观察其连线是否经过位似中心O？

各小组汇报发现，教师引导全班归纳、补充、修正，形成系统的性质板书：

1.性质1（核心）：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比|k|。

2.性质2（位置）：若k>0，对应点位似中心同侧；若k<0，对应点异侧（此时也称为反向位似）。

3.性质3（边角）：位似图形的对应角相等，对应边平行（或在同一直线上）。

4.性质4（推广）：位似图形中，任何一对对应线段（不限于边）的比都等于位似比|k|，且该线段的中点等特殊点也构成位似关系。

设计意图：将性质发现的过程完全交给学生，通过信息技术支持的探究，让隐藏的规律动态、直观地显现。分层任务设计照顾差异性，确保所有学生都能参与并有所得。对位似比正负的探究是突破难点的关键。

活动6：微视频赏析——《生活中的位似美学》

播放一段3分钟短片，展示：

1.文艺复兴时期绘画中的透视原理（近大远小，消失点即为位似中心）。

2.分形几何中的自相似结构（如谢尔宾斯基三角形）。

3.企业Logo设计中的位似运用（如俄罗斯套娃式图案）。

4.电影院放映机与银幕成像的光路图。

设计意图：将数学知识与艺术、科技、商业深度融合，展现位似的广泛应用与美学价值，升华学生的认知，激发学习内驱力。

第四环节：应用迁移，分层巩固（预计时间：12分钟）

练习设计（分层递进，学生自主选择至少完成A、B两组）

A组：概念巩固（面向全体）

1.判断：①所有的位似图形都是相似图形。（）②所有的相似图形都是位似图形。（）

2.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OA:OD=2:3，则△ABC与△DEF的周长比为______。

3.在网格纸中，以点O为位似中心，画出四边形ABCD位似比为1/2的图形。

B组：技能应用（面向大多数）

1.已知五边形ABCDE，请你选择一个位似中心（自己标定），用尺规作图法，作出它的位似图形，要求位似比为3:2。

2.如图，△ABC与△A‘B’C‘是位似图形，点O为位似中心。若S△ABC=4，且OB‘:OB=3:2，求S△A’B‘C’。

3.小明在绘制班级区域地图时，需要将操场的平面图放大。原图上操场是一个长方形，长5cm，宽3cm。他想把它放大成图上长15cm的长方形，请问：

(1)放大的位似比是多少？

(2)新图的宽是多少？

(3)如果他把位似中心选在原图长方形的一个顶点上，请描述新图形与原图形的位置关系。

C组：思维拓展（面向学有余力者）

1.探究题：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将点P(a,b)按位似比k进行变换，求变换后点P‘的坐标。并思考：这与我们之前学过的哪种变换在形式上有关联？

2.设计题：利用位似变换的原理，设计一个具有“中国风”元素的、具有层次感的对称图案草图，并简要说明你的设计思路和位似中心、位似比的选择。

3.挑战题：已知四边形ABCD和其内部一点O。请说明，如何仅用直尺（无刻度），过O点作一条直线，将四边形的面积分为1:2的两部分。（提示：利用位似构造等积变形）

设计意图：分层练习满足不同层次学生的需求，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。C组题目链接坐标系、融合美育、触及尺规作图深水区，为拔尖创新人才的早期培养提供素材。

第五环节：总结反思，体系内化（预计时间：5分钟）

活动7：思维导图共创

教师抛出核心关键词“位似”，邀请学生以“接龙”方式，共同在黑板上或利用希沃白板的思维导图功能，构建本节课的知识网络图。从中心词“位似”出发，衍生出定义、要素（图形、中心、比）、性质（距离、位置、边角）、作图、应用等分支。

示例框架：

位似

/|\

定义性质应用

(特殊相似)/|\\

|距离比位置关系边角关系绘图、地图、艺术...

要素：图形、中心、比(k>0/k<0)

活动8：反思性提问

教师提出两个问题，学生静思一分钟，然后随机邀请分享：

1.“今天我们学习了图形的第四种变换——位似。它和之前学习的平移、旋转、轴对称有什么根本性的不同？（引导思考：前三种保持距离不变，是全等变换；位似改变距离，是相似变换）。”

2.“如果让你向一位小学生解释‘位似’，你会用哪个生活中的例子或打一个什么比方？”

设计意图：通过构建思维导图，将零散知识点系统化、结构化，形成良好的认知图式。反思性提问促进学生进行元认知，对比新旧知识，实现知识的意义建构和深度理解。

六、分层作业设计（课后延伸）

【必做题】（夯实基础，人人过关）

1.阅读教科书相关章节，整理课堂笔记，准确复述位似的定义和三条主要性质。

2.完成课本后配套的基础练习题（第X页第1-4题）。

3.找一个生活中的位似实例，用手机拍下来或画出来，并尝试标出可能的位似中心和估计位似比。

【选做题A】（应用实践，巩固提升）

1.利用GeoGebra或其它绘图软件，创建一个动态的位似变换模型：用户可以自由拖动位似中心、改变位似比，观察图形的实时变化。将你的作品截图或录屏分享到班级学习平台。

2.查阅资料，了解“小孔成像”的物理原理，并用位似的知识解释为什么像是倒立的，且像的大小与物距、像距有什么关系？撰写一份不超过300字的科学小报告。

【选做题B】（跨界融合，拓展思维）

1.数学与艺术：研究一位运用几何原理进行创作的艺术家（如埃舍尔），分析其作品中是否蕴含位似思想，并尝试模仿创作一幅简单的位似图案画。

2.数学与科技：了解“图像缩放算法”（如双线性插值）在数码相机、手机屏幕显示中的基本原理，思考其与数学上位似变换的近似与区别。与信息技术老师或同学进行一次小型交流。

七、教学评价设计

7.1过程性评价

1.课堂观察：记录学生在动手操作、小组讨论、汇报展示中的参与度、思维活跃度和合作情况。

2.任务单分析：检查“位似图形性质探究任务单”的完成质量，评估学生的探究能力、观察归纳能力和数学表达能力。

3.技术应用评价：评估学生使用GeoGebra进行探究的熟练度和利用技术发现规律的能力。

7.2成果性评价

1.分层练习反馈：通过A、B、C三组练习的完成情况，精准诊断学生对概念的理解深度和技能掌握层次。

2.创意作品评价：对选做作业中的动态模型、科学报告、艺术创作等进行评价，关注其创新性、严谨性和跨学科融合度。

3.单元小测：在本课时后的小测验中，设置涵盖概念辨识、性质应用、简单作图的题目，进行量化评价。

7.3评价量表样例（用于小组探究汇报）

评价维度

优秀（4-5分）

良好（3分）

待改进（1-2分）

探究发现

全面、准确地发现了位似图形的多项关键性质。

发现了主要性质，但可能不够全面或有细小偏差。

探究方向不明确，未能有效发现核心性质。

论证表达

能用清晰的数学语言和几何直观（如软件演示