九年级数学下册《折叠问题微专题复习》导学案

九年级数学下册《折叠问题微专题复习》导学案

一、设计理念与背景

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于图形与几何领域的要求，本设计聚焦图形的轴对称变换，旨在通过微专题的形式，打破新课标下复习课的边界。本课不仅是对折叠知识的简单回顾，更是引导学生从“解题”向“解决问题”，从“知法”向“明理”转变的关键节点。课程设计秉持“学为中心”的理念，以折叠过程中的“变”与“不变”为线索，通过精心设计的问题链，驱动学生进行深度思考和探究性学习。我们致力于将碎片化的知识点进行结构化整合，引导学生构建起关于折叠问题的认知体系，提升几何直观、逻辑推理和数学建模的核心素养，最终实现“会当凌绝顶，一览众山小”的复习效果。

二、教学内容分析

【基础】折叠问题的本质是轴对称变换，是初中数学中图形与几何部分的核心内容，也是历年中考的【高频考点】。它并非孤立的知识点，而是全等三角形、等腰三角形、直角三角形、勾股定理、相似三角形以及圆等核心知识的交汇点【重要】。本微专题旨在通过梳理折叠现象，挖掘其背后隐含的轴对称性质，即全等变换与垂直平分线的性质，并以此为基础，探究在矩形、正方形等特殊四边形背景下，折叠问题中常见的数量关系和位置关系。通过对折痕（对称轴）、对应点、对应线段及角度的分析，帮助学生建立“折痕为对称轴，折痕前后的图形全等，对应点连线被折痕垂直平分”的【核心】认知模型，为后续解决更为复杂的动态几何问题奠定坚实的基础。

三、学情分析

九年级学生已系统学习了三角形、四边形、勾股定理、相似三角形及轴对称等基础知识，具备了一定的逻辑推理和空间想象能力。然而，在面对复杂的折叠图形时，学生普遍存在以下【难点】：一是无法从复杂的图形中剥离出基本的几何模型，如等腰三角形、母子型相似或一线三等角模型；二是对动点生成的折叠问题缺乏动态想象，难以抓住变化过程中的不变量；三是方程思想的渗透不够熟练，在将几何关系转化为代数方程时存在障碍。因此，本节课的教学重点在于引导学生掌握“寻找不变量、构造基本图形、建立方程模型”的通性通法，帮助学生跨越从静态图形到动态分析的思维鸿沟。

四、教学目标

1.知识与技能目标【基础】：深刻理解折叠问题的本质是轴对称变换，熟练掌握折叠前后图形的对应关系（对应边相等、对应角相等、对应点连线被折痕垂直平分）。能够运用这些性质解决有关角度、线段长度和图形面积的计算问题。

2.过程与方法目标【重要】：经历“操作—观察—猜想—证明”的数学活动过程，体会转化思想（将折叠问题转化为三角形全等或相似问题）、方程思想（利用勾股定理或相似比建立方程）和数形结合思想在解决几何问题中的重要作用。通过图形的运动变化，初步学会在动态背景下捕捉静态关系的方法。

3.情感态度与价值观目标：在探究折叠问题的过程中，培养学生严谨的逻辑思维习惯和敢于探索的scientificspirit。通过解决层层递进的问题，增强学生学好数学的信心和成就感，感受几何图形的对称美及其内在的逻辑美。

五、教学重难点

1.【教学重点】：掌握折叠的本质属性，能够从折叠后的图形中挖掘出相等的线段和相等的角，并能熟练运用勾股定理、相似三角形等知识解决问题。

2.【教学难点】：探索并发现折叠问题中基本图形（如等腰三角形、直角三角形、相似三角形）的构造方法，尤其是在点的位置发生变化时，如何通过方程模型求解相关量，以及在特定条件下（如三点共线）的数量关系探究。

六、教学准备

多媒体课件（PPT）、几何画板动态演示软件、矩形纸片若干（供学生课堂操作使用）、导学案。

七、教学实施过程

（一）溯源探新，激活思维——预学展示与本质提炼

上课伊始，教师并不急于给出结论，而是通过一个简单的动手操作，唤醒学生对轴对称的原有认知。请同学们拿出准备好的矩形纸片，随意的进行一次折叠，然后观察并思考：在这一折叠过程中，哪些元素没有发生变化？哪些关系是恒成立的？这一环节旨在让学生在直观操作中，初步感知轴对称的【核心】性质。随后，教师请几位同学展示自己的折叠成果，并引导全班同学从数学的角度进行归纳总结。学生通过讨论交流，能够清晰地认识到：无论怎么折，折叠前后的两个图形是全等的，因此对应线段相等、对应角相等；同时，折痕就是对称轴，它垂直平分对应点所连成的线段。教师顺势在黑板和课件上提炼出这两条【重要】的“折叠性质”，并明确指出，这是解决一切折叠问题的逻辑起点和【高频考点】。通过这种“做中学”的方式，将抽象的数学概念具体化、生动化，不仅激发了学生的学习兴趣，更为后续的深入探究埋下了伏笔。

（二）典例精析，构建模型——矩形中的折叠探究

本环节以最常见的矩形为背景，设计了一个由浅入深、环环相扣的探究序列，旨在引导学生在解决问题的过程中，逐步建构解决折叠问题的基本策略。

1.【基础】型探究：求角度与线段长

教师出示一个基础例题：如图，将矩形ABCD的一个角沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处。

问题1：若已知∠DAE=20°，求∠FEC的度数。

这个问题非常基础，学生只需利用折叠的对应角相等（∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE=20°）和矩形的直角性质，通过简单的直角三角形内角和或互余关系即可求解。其目的在于强化学生对折叠性质“对应角相等”的直接应用能力，属于低起点、入口宽的题目，确保所有学生都能参与进来。

问题2：若已知矩形宽AB=8，长AD=10，求EC的长。

这是求线段长度的经典问题，也是【高频考点】。教师在引导学生分析时，要抓住关键步骤：首先，由折叠可知AF=AD=10，AB=8，在Rt△ABF中利用勾股定理易求得BF=6，从而得到FC=4。此时，教师启发学生思考：我们要求的是EC，它位于Rt△EFC中，已知FC=4，但EF和EC都是未知的。怎么办？引导学生发现，折叠带来了ED=EF，而ED+EC=DC=8。因此，可以设EC为x，则EF=ED=8-x。在Rt△EFC中，利用勾股定理建立方程：x²+4²=(8-x)²，解得x=3。通过此题，教师要帮助学生总结出解决折叠问题求线段长度的通法——方程思想，即利用折叠性质将未知线段集中到同一个直角三角形中，然后借助勾股定理建立方程求解【重要】。

2.【难点】型探究：探寻基本图形

在例1的基础上进行变式：若将矩形沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，CE与AD交于点F。

问题3：请判断△ACF的形状，并说明理由。

这是一个极具探究价值的问题。学生通过观察，容易发现△ACF中似乎有等角。教师引导学生利用折叠性质：∠ACB=∠ACE。再由矩形对边平行，得到∠ACB=∠CAF（内错角）。因此，∠CAF=∠ACF，从而判定△ACF是等腰三角形。此问旨在培养学生从折叠条件和平行条件中综合寻找角的关系，识别出“折叠+平行”必然生成等腰三角形这一【核心】基本模型。这不仅是对知识的综合运用，更是对几何直觉的培养。

3.【拓展】型探究：对应点连线问题

承接上题，教师提出问题4：连接BE，请判断BE与AC的位置关系，并说明理由。

这一问题直指折叠的另一本质属性——对称轴垂直平分对应点连线。由于折叠，点B和点E关于折痕AC对称，因此AC垂直平分BE。教师在此处可以引导学生回顾性质，并指出这是处理折叠问题中关联对应点连线的【重要】方法。通过这一连串的追问，学生在解决一个个具体问题的过程中，不仅掌握了知识，更在头脑中构建起了解题的基本模型和思想方法，实现了从“学会”到“会学”的跨越。

（三）合作探究，突破思维——动态折叠中的最值与存在性

当学生对静态折叠问题有了深入理解后，教师引入动态元素，将思维推向新的高度。利用几何画板展示动态变化的折叠问题：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是BC边上的一个动点，将矩形沿AE折叠，使点B落在点B'处。

问题5：在点E的运动过程中，当B'恰好落在矩形的一条对角线上时，求BE的长。

这是典型的“动点”与“存在性”结合的问题，属于中考的【热点】和【难点】。学生先独立思考，然后在小组内交流讨论。教师巡回指导，提示学生抓住折叠的不变量：AB'始终等于AB=6，且∠AB'E=∠B=90°。这里需要分两种情况讨论：

情况一：B'落在对角线BD上。此时，由于折叠，B'是B关于折痕AE的对称点，则AE垂直平分BB'。但引导学生从另一个角度思考：因为∠AB'E=90°，所以∠ADB'与∠AB'D的关系？或者利用面积法求解，过B'作垂线。更常用的方法是，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD=10。由折叠性质可得AB'=6，则B'D=4。设BE=B'E=x，则CE=8-x。在Rt△B'CE和Rt△B'DA中寻找相似关系。可以发现，由于∠CB'E+∠EB'B+∠AB'D=180°，且∠AB'D+∠ADB'=90°，利用等角转换，可得△B'CE∽△DAB'，从而建立比例式求出x=3。

情况二：B'落在对角线AC上。同样，由AB'=6，在Rt△ABC中，AC=10，可得B'C=4。设BE=x，则CE=8-x，B'E=x。在Rt△B'CE中，利用勾股定理（∠EB'C=90°？这里需论证∠AB'C是直角，因为∠AB'E=90°，且B'在AC上，故∠AB'C=90°），直接可得x²+4²=(8-x)²，解得x=3。通过几何画板的动态演示，验证这两种情况下的图形，让学生直观感受到在临界状态下，几何关系虽然变化，但方程思想依然是解决问题的利器。此环节极大地锻炼了学生分类讨论和数学建模的能力【非常重要】。

（四）变式训练，融会贯通——折痕的确定与计算

在学生掌握了基本的折叠计算和动态分析后，教师将问题进一步深化，从求点的位置过渡到求折痕本身。

问题6：在上述矩形中，点E、F分别在线段BC、CD上，将矩形沿EF折叠，使得点C恰好落在AD边的中点处（设该点为M），求折痕EF的长度。

这个问题综合性更强，它涉及到了折痕的确定。教师引导学生分析：点M是C的对应点，那么折痕EF应满足什么条件？根据轴对称性质，EF是线段CM的垂直平分线。因此，要确定折痕EF，首先要找到CM的中点，并过该点作CM的垂线，该垂线与BC、CD的交点即为E、F。但在计算长度时，我们不能直接作垂线，需要借助几何关系。由折叠可知，EM=EC，且MF=FC。设EC=x，则BE=8-x，在Rt△BEM中，BM是AD的一半？题目中M是AD中点，所以AM=DM=4。过M作MN⊥BC于N，则MN=6，BN=AM=4，EN=4-x？需仔细分析。更巧妙的方法是利用勾股定理或相似。因为MF=FC，且FC=6-DF，MD=4，在Rt△MDF中，MF²=DF²+4²，即(6-DF)²=DF²+16，可解得DF=5/3，则MF=13/3。连接MC，则MC=√(6²+4²)=2√13。由于EF垂直平分MC，根据相似三角形（△MOC∽△CDF？或利用三角形面积法），可以求出OC的长度，再通过△MOC∽△MDF？实际上，过C作CH⊥AD于H，则CH=6。在Rt△MHC中，MC已知。利用等积变换或射影定理可以求出EF的一半。或者通过构建坐标系，用解析法求解。教师在此处引导学生多角度思考，体会不同解法的优劣，培养学生的思维广度和深度。这一例题的设置，旨在让学生从“求对称点”到“求对称轴”，逆向运用折叠性质，对轴对称变换的理解更加全面和深刻。

（五）链接中考，实战演练——综合应用与提升

为了让学生更好地适应中考要求，教师精选一道近年来的中考真题或改编题进行实战演练。题目设计为包含多个小问的综合题，层层递进。

例如：已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是边AD上的一个动点（不与A、D重合），将矩形沿BP折叠，点A落在点A1处。

（1）如图1，当点A1落在边CD上时，求AP的长。

（2）如图2，连接A1D，若△PA1D是等腰三角形，求AP的长。

（3）如图3，连接A1C，当△BA1C是以A1C为腰的等腰三角形时，直接写出AP的长。

这道题涵盖了折叠求值、存在性探究和分类讨论等多个维度。第（1）问是学生熟悉的勾股定理建方程模型，属于【基础】得分点。第（2）问引入了等腰三角形的存在性问题，需要分情况讨论PA1=PD、A1P=A1D、DP=DA1三种情况，每种情况都需要结合折叠性质和矩形的边长进行严密的推理和计算，对学生综合能力要求较高，属于【重要】区分点。第（3）问则更具挑战性，需要判断以A1C为腰的两种情况，即BA1=A1C或A1C=BC，结合BA1=BA=3，BC=4，利用勾股定理或坐标法求解，是真正的【难点】和压轴点。在讲解过程中，教师充分利用几何画板动态演示点P运动过程中，A1、D、C构成的三角形形状的变化，直观展示等腰出现的临界状态，帮助学生建立动态几何的直观感受。通过此题，学生不仅巩固了知识，更提升了解决复杂综合问题的信心和能力。

（六）归纳总结，画龙点睛——思想方法与素养提升

课堂的最后，教师引导学生回顾本节课的学习历程，从知识、方法、思想三个层面进行总结。

首先，知识层面：再次明确折叠的本质是轴对称变换，核心性质包括全等和垂直平分。

其次，方法层面：归纳出解决折叠问题的“三步曲”：第一步，找对应——利用折叠性质标记出相等的边和角；第二步，找Rt△——确定一个包含未知量的直角三角形；第三步，建方程——设未知数，利用勾股定理或相似三角形对应边成比例建立方程【非常重要】。

再次，思想层面：提炼出本节课贯穿始终的数学思想——方程思想、转化思想（将复杂图形转化为基本三角形）、分类讨论思想和数形结合思想。

最后，教师寄语：折叠问题的千变万化，但万变不离其宗。只要抓住轴对称这个“宗”，掌握好“找对应、构Rt△、建方程”的通法，就能以不变应万变，在几何的世界里自由翱翔。