4.3、比例的应用（重难点讲解+知识总结+同步练习+答案解析）（解析版）-2024-2025学年六年级数学下册（人教版）

2/2【新课同步学与练】2024-2025学年人教版六年级数学下册第四单元、比例4.3、比例的应用（重难点讲解+知识点总结+同步练习+答案解析）一、比例尺1、比例尺的意义一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。用公式表示为图上距离：实际距离＝比例尺，或图上距离实际距离＝2、比例尺的分类（1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。（2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。3、已知图上距离和实际距离，求比例尺：先统一单位，然后根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”列式，并化简为比的前项或后项是“1”的形式。4、已知图上距离和比例尺，求实际距离：可以根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，用解比例的方法求出，也可以把比例尺看作一个比值，用“图上距离÷比例尺＝实际距离”直接计算。5、已知实际距离和比例尺求图上距离：可以用解比例的方法计算，也可以根据“图上距离＝实际距离×比例尺”直接计算。6、应用比例尺画图①先确定比例尺；②根据比例尺求出图上距离；③根据图上距离画出相应的平面图；④标明平面图的名称和比例尺。二、图形的放大与缩小1、图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。2、把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。三、用正、反比例知识解决问题的解题步骤：①根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。②找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。③解比例。④检验并写出答语。知识点1：比例尺【典型例题1】将线段比例尺改写成数值比例尺则为（

）。A． B． C．【答案】C【分析】根据线段比例尺的意义，可知：图上1厘米代表实际距离50千米，先统一单位：将50千米化成5000000厘米，再根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，即可将线段比例尺改为数值比例尺。【详解】根据题意可知，图上1厘米代表实际距离50千米，50千米＝5000000厘米比例尺＝1∶5000000将线段比例尺改写成数值比例尺则为1∶5000000。故答案为：C【典型例题2】在一个比例尺是200∶1的图纸上，量得一个零件的长是2厘米，这个零件实际长（

）。A．4米 B．0.1毫米 C．0.4毫米【答案】B【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此进行计算即可。【详解】2÷200＝0.01（厘米）＝0.1（毫米）则这个零件实际长0.1毫米。故答案为：B【变式训练1】在一幅地图上量得北京到上海的距离为3.4cm，但北京到上海的实际距离是680km，这幅地图的比例尺是（），在这幅地图中量得阳新到武汉的距离是2.5cm，则阳新到武汉的实际距离是（）km。【答案】1∶20000000500【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此计算即可；再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此解答即可。【详解】3.4cm∶680km＝3.4cm∶68000000cm＝3.4∶68000000＝（3.4÷3.4）∶（68000000÷3.4）＝1∶200000002.5÷＝2.5×20000000＝50000000（cm）50000000cm＝500km则在一幅地图上量得北京到上海的距离为3.4cm，但北京到上海的实际距离是680km，这幅地图的比例尺是1∶20000000，在这幅地图中量得阳新到武汉的距离是2.5cm，则阳新到武汉的实际距离是500km。【变式训练2】把一个长6mm的精密零件画在图纸上，长6cm，则这幅图的比例尺是（）。【答案】10∶1【分析】图上距离是6cm，实际距离是6mm，利用“图上距离∶实际距离＝比例尺”直接列式计算即可。【详解】6cm∶6mm＝60mm∶6mm＝60∶6＝10∶1这幅图的比例尺是10∶1。【变式训练3】2020年武汉遭新型冠状病毒的袭击，武汉市火速建造了火神山和雷神山医院。雷神山在火神山的东偏南30°距离21千米处。请画出雷神山的位置。【答案】见详解【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据求出图上距离，以火神山为观测点，根据“上北下南，左西右东”结合图上角度确定方向，据此画图即可。【详解】21千米＝2100000厘米2100000×＝3（厘米）如图：知识点2：图形的放大与缩小【典型例题】一个长方形长9cm，宽6cm，按1∶3缩小后的长方形周长是（）cm，面积是（）cm2。【答案】106【分析】1∶3＝，长9m，宽6cm的长方形按1∶3的比缩小，即长和宽缩小到原来的，用乘法计算得缩小后的图形的长和宽，再利用长方形的周长公式和长方形的面积公式，求出缩小后的图形周长和面积。据此解答。【详解】9×＝3（cm）6×＝2（cm）（3＋2）×2＝5×2＝10（cm）3×2＝6（cm2）即按1∶3缩小后的长方形周长是10cm，面积是6cm2。【变式训练1】一个长3厘米、宽2厘米的长方形按5∶1放大，得到的图形的面积是（

）平方厘米。A．10 B．30 C．150【答案】C【分析】根据题意，一个长方形按5∶1放大，即长方形的各边都扩大到原来的5倍，用原来的长、宽分别乘5，求出放大后的长、宽；再根据长方形的面积＝长×宽，求出放大后长方形的面积。【详解】放大后的长是：3×5＝15（厘米）放大后的宽是：2×5＝10（厘米）放大后的长方形面积：15×10＝150（平方厘米）故答案为：C【变式训练2】如图：图形B是由图形A按（）∶（）放大后得到的，图形A和图形B的周长比是（），面积比是（）。【答案】211∶21∶4【分析】把图形A的每一条边放大到原来的2倍，就得到图形B，即把图形A按2∶1放大后可以得到图形B，图形放大或缩小后，对应边的比等于它们周长的比，最后根据“三角形的面积＝底×高÷2”求出图形A和图形B的面积比，据此解答。【详解】假设小正方形的边长为1。图形B的短直角边∶图形A的短直角边＝2∶1图形A的周长∶图形B的周长＝图形A的短直角边∶图形B的短直角边＝1∶2图形A的面积：2×1÷2＝1图形B的面积：4×2÷2＝4图形A的面积∶图形B的面积＝1∶4所以，图形B是由图形A按2∶1放大后得到的，图形A和图形B的周长比是1∶2，面积比是1∶4。【变式训练3】把一个三角形按1∶3缩小，缩小前后各边长的比是（），面积比是（）。【答案】3∶19∶1【分析】把一个图形的各边按一定的比例可以进行放大或缩小，从而得到该图形放大或缩小后的图形，一个图形放大或缩小之后，图形的大小变了，但是形状没有变，把图形按1∶3缩小，缩小前后各边的比是3∶1；缩小后三角形的各边是原来三角形各边的，三角形的面积＝底×高÷2，三角形的底和高同时缩小到原来的，那么三角形的面积缩小到原来的，最后求出缩小前与缩小后三角形的面积比，据此解答。【详解】分析可知，把一个三角形按1∶3缩小，缩小后各边的长度是缩小前各边长度的，缩小前后各边长的比是3∶1，缩小后三角形的面积是缩小前三角形面积的×＝，缩小前后三角形的面积比是9∶1。知识点3：用比例解决问题【典型例题】餐馆要给餐具消毒，要用200mL消毒液配成消毒水，如果消毒液与水的比是1∶180，应加入水（

）毫升。A．180 B．360 C．36000【答案】C【分析】由题意知：200mL消毒液与应加入的水的比的比值要等于1∶180的比值。据此解答。【详解】解：设应加入毫升水。200∶＝1∶180＝200×180＝36000故答案为：C【变式训练1】哥哥和妹妹两人从A、B两地同时出发相向而行，相遇时哥哥已经走了1000m；如果哥哥一开始就把速度提高为原来的2倍，相遇时，哥哥已经走了1200m，则A、B两地相距（）米。【答案】1500【分析】两次相遇的过程中，哥哥路程比是1000∶1200＝5∶6，前后的速度比是1∶2，根据速度＝路程÷时间，得出时间比的5∶3，弟弟的时间比也是5∶3，而弟弟的速度没有发生变化，由于路程和时间成正比5∶3，而两次的路程差是200米，是2份，每一份就是100米，则第一次相遇时弟弟行驶的路程是500米，加上哥哥行驶的路程，得出两地的距离。【详解】1000∶1200＝5∶61200－1000＝200（米）200÷（5－3）200÷2＝100（米）100×5＋1000＝500＋1000＝1500（米）则A、B两地相距1500米。【变式训练2】一间房屋用边长为3分米的地砖铺地需要112块，若改用边长为4分米的地砖铺地需要多少块？（用比例解）【答案】63块【分析】正方形面积＝边长×边长，设改用边长为4分米的地砖铺地需要x块，根据每块地砖的面积×块数＝房屋面积（一定），列出反比例算式解答即可。【详解】解：设改用边长为4分米的地砖铺地需要x块。4×4×x＝3×3×11216x＝100816x÷16＝1008÷16x＝63答：若改用边长为4分米的地砖铺地需要63块。【变式训练3】王叔叔家准备用边长是0.6米的正方形地砖装饰客厅地面，这样需要144块。装修公司建议改用面积是0.64平方米的正方形地砖铺地。请你算一算需要面积是0.64平方米的正方形地砖多少块。（用比例解答）【答案】81块【分析】由题意可知，设需要0.64平方米的正方形地砖x块，客厅的面积是一定的，则地砖的面积与块数成反比例关系，据此列比例解答即可。【详解】解：设需要0.64平方米的正方形地砖x块。0.64x＝（0.6×0.6）×1440.64x＝0.36×1440.64x＝51.840.64x÷0.64＝51.84÷0.64x＝81答：需要面积是0.64平方米的正方形地砖81块。一、选择题1．一块长16m，宽8m的长方形菜地，按1∶100的比例画出它的平面图。这个平面图的面积是（

）cm2。A．32 B．72 C．128【答案】C【分析】应用比例尺求图上距离，可以用实际距离乘比例尺。【详解】16米＝1600厘米，8米＝800厘米1600×＝16（厘米）800×＝8（厘米）16×8＝128（平方厘米）故答案为：C。2．甲有图书120本，乙有图书60本，甲给乙（

）本后，乙的图书与甲的图书比是4∶5。A．20 B．40 C．60【答案】A【分析】由题意可知：乙的图书数量加上甲给的图书数量与甲剩下的图书数量的比是4∶5，据此即可列比例求解。【详解】解：设甲送给乙x本后乙与甲的本数比是4∶5，则有（60＋x）∶（120－x）＝4∶5（60＋x）×5＝4×（120－x）5x＋4x＝480－3009x＝180x＝20故选：A3．下列（

）组中的两个图形，第2个图形是由第1个图形缩小得到的。A． B． C．【答案】C【分析】图形变小了，但形状没有发生变化，叫做图形的缩小，据此分析。【详解】A．形状发生了变化，第2个图形不是由第1个图形缩小得到的，排除；B．形状发生了变化，第2个图形不是由第1个图形缩小得到的，排除；C．图形变小了，形状没有发生变化，第2个图形是由第1个图形缩小得到的。4．把一个正方形的各边按1∶3缩小后，现在的图形和原来图形的面积比是（

）。A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9【答案】C【分析】假设原正方形的边长为3，则缩小后正方形的边长为3×＝1，再根据正方形的面积公式：S＝a2，据此求出现在和原来正方形的面积，进而求出现在的图形和原来图形的面积比。【详解】假设原正方形的边长为33×＝1（1×1）∶（3×3）＝1∶9则现在的图形和原来图形的面积比是1∶9。故答案为：C5．比例尺不变，图上距离扩大到原来的2倍，实际距离（

）。A．缩小到原来的 B．扩大到原来的2倍 C．不变【答案】B【分析】比例尺＝图上距离÷实际距离，根据比和除法的关系以及商的基本性质可知，图上距离和实际距离同时扩大相同的倍数或同时缩小到原来的几分之一，比例尺不变。据此解答。【详解】根据分析可知，比例尺不变，图上距离扩大到原来的2倍，实际距离扩大到原来的2倍。故答案为：B6．蚂蚁的实际长度是6mm。在一幅生物图上量得它的长度是3cm。这幅生物图的比例尺是（

）。A．1∶5 B．1∶2 C．5∶1【答案】C【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此代入数值进行计算即可。【详解】3cm＝30mm30mm∶6mm＝30∶6＝（30÷6）∶（6÷6）＝5∶1则这幅生物图的比例尺是5∶1。故答案为：C二、填空题7．一幅图的比例尺是，则图上1厘米表示实际距离（）千米，把这个线段比例尺改写成数值比例尺是（）。【答案】51∶500000【分析】观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离5千米；根据图上距离∶实际距离＝比例尺，将线段比例尺改写成数值比例尺即可。【详解】1厘米∶5千米＝1厘米∶500000厘米＝1∶500000一幅图的比例尺是，则图上1厘米表示实际距离5千米，把这个线段比例尺改写成数值比例尺是1∶500000。8．一个正方形，按4∶1放大后，得到的新正方形与原正方形的边长比是（），周长比是（）。【答案】4∶14∶1【分析】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1；正方形的周长＝边长×4，正方形的边长比＝周长比，据此填空。【详解】一个正方形，按4∶1放大后，得到的新正方形与原正方形的边长比是4∶1，周长比是4∶1。9．爸爸的平均步长是0.75米，笑笑的平均步长是0.5米，从笑笑家到学校，爸爸走了1200步，笑笑要走（）步。【答案】1800【分析】根据题意从家到学校的路程一定，那么平均步长和走的步数成反比例，笑笑的平均步长×步数＝爸爸的平均步长×步数，列比例解答。【详解】解：设笑笑要走x步。0.5x＝0.75×12000.5x＝900x＝180010．两张纸条，原来长度比为3∶2，都撕去15厘米后，长度比为7∶3。现在短纸条的长度是（）厘米。【答案】9【分析】设两张纸条原来长度分别为3x厘米和2x厘米，都撕去15厘米后，长度分别变为（3x－15）厘米和（2x－15）厘米，据此可知（3x－15）∶（2x－15）＝7∶3，据此解比例，进而求出（2x－15）的值。【详解】解：设两张纸条原来长度分别为3x厘米和2x厘米。（3x－15）∶（2x－15）＝7∶3（2x－15）×7＝3×（3x－15）14x－105＝9x－4514x－105＋105＝9x－45＋10514x＝9x＋6014x－9x＝9x＋60－9x5x＝605x÷5＝60÷5x＝1212×2－15＝24－15＝9（厘米）现在短纸条的长度是9厘米。11．一个长方形按照（）∶（）画出的图形面积相当于原面积的9倍。【答案】31【分析】根据长方形的面积＝长×宽，以及积的变化规律可知，长、宽都扩大到原来的3倍时，长方形的面积就扩大到原面积的9倍，据此得解。【详解】9＝3×3一个长方形按照3∶1画出的图形面积相当于原面积的9倍。12．一幅图的比例尺是，济南到青岛在这幅地图上相距12厘米，济南到青岛的实际距离是（）千米。【答案】360【分析】根据题意可知，图上1厘米表示实际30千米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，用12厘米除以比例尺，即可求出对应的实际距离。据此解答。【详解】1厘米∶30千米＝1厘米∶3000000厘米＝1∶300000012÷＝12×3000000＝36000000（厘米）36000000厘米＝360千米济南到青岛的实际距离是360千米。13．在一幅比例尺是1∶50000000地图上量得长城在图上的总长度是12.5厘米，长城实际总长度是（）千米。【答案】6250【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，然后单位换算即可。【详解】12.5÷÷100000＝625000000÷100000＝6250（千米）长城实际总长度是6250千米。14．在比例尺为1∶270000的地图上，A，B两点分别代表李家村和王家村，已知AB＝7厘米，那么李家村和王家村相距（）千米。【答案】【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，用7÷即可求出7厘米所对应的实际距离，再将单位换算成千米即可。【详解】7÷＝7×270000＝1890000（厘米）1890000厘米＝千米李家村和王家村相距千米。15．亮亮在比例尺是1∶120000的图纸上，量得刘庄新村的长是4厘米，宽是3厘米，刘庄新村的实际面积是（）平方千米。【答案】17.28【分析】由比例尺＝图上距离∶实际距离，分别求出刘庄新村的实际长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽解答。【详解】4÷＝4×120000＝480000（厘米）480000厘米＝4800米＝4.8千米3÷＝3×120000＝360000（厘米）360000厘米＝3600米＝3.6千米4.8×3.6＝17.28（平方千米）所以刘庄新村的实际面积是17.28平方千米。三、作图题16．（1）以直线a为对称轴画出轴对称图形的另一半。（2）将平行四边形绕点O顺时针旋转90°。（3）将三角形的各边按2∶1的比放大，画出放大后的图形。【答案】见详解【分析】补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。作旋转一定角度后的图形步骤：（1）根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；（2）分析所作图形，找出构成图形的关键点；（3）找出关键点的对应点，按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；（4）作出新图形，顺次连接作出的各点即可。把图形按照n：1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n：1。【详解】四、解答题17．博物馆展出一个高为19.6厘米的秦代将军俑模型，它的高度与实际高度的比是1∶10，这个将军俑的实际高度是多少？【答案】196厘米【分析】根据题意可知，秦代