5.2二元一次方程组的解法 （第2课时 加减消元法）（导学案）（解析版）

5.2二元一次方程组的解法第2课时加减消元法1.学生能准确理解加减消元法的概念，知道通过将方程组中两个方程相加或相减，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解的方法即为加减消元法.2.学生在探索加减消元法的过程中，经历“观察方程组特点—提出消元思路—尝试求解—总结方法”的过程，培养观察能力、分析推理能力和逻辑思维能力．掌握用加减法解二元一次方程组.理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.第一环节自主学习温故知新：1.解二元一次方程组的基本思想是什么？”我们之前学习了哪种消元方法？“消元，将二元转化为一元”；代入消元法2.你能用代入法解下列方程组吗？解:由①得：y=21−3x

将③代入②,得2x-5×21−3x

5=﹣112x-(21−3x)=﹣112x-21+3x=﹣5x=10→求解将x=2代入③，得y=3→回代求解原方程组的解x=2新知自研：自研课本P117-P118页的内容，思考：【学法指导】情景引入◆1.观察上面的这个方程组，思考：这个方程组中y的系数有什么特点？除了代入法，有没有更简便的方法消去y呢？”y的系数互为相反数，相加可以可以消去y.◆2.尝试按照下面的提示解方程组.3x+5y【解答】解:由①+②得：3x+2x=21-11→消元解得：x＝2把x＝2代入①，得6+5y=21解得：y=3∴原方程组的解是x=2●探究一：用加减消元法解二元一次方程◆1.例3:解方程组：2x−5y【分析】（1）系数相等时，如何消去x呢？相等的两个数相减得0，因此可以用两个方程相减”.即：①左边－②左边=①右边－②右边【解答】解：②－①得：3y－(﹣5y)=﹣1﹣7解得：y=﹣1将y＝﹣1代入①，得2x+5=7解得：x=1∴原方程组的解是：x完成解题并检验.◆2.例4:解方程组:【分析】（1）这个方程组中x和y的系数都不互为相反数，也不相等，该如何用消元法求解呢？使得未知数的系数相等或互为相反数，再用加减法消元.【解答】解：由①×3，得6x+9y=36③由②×2，得6x+8y=34④由③﹣④，得y=2将y=2代入①，得2x+6=12解得：x=3∴原方程组的解是x=3【思考】（1）上面的解法是“消去x”尝试如何“消去y”来解方程组.（2）在变形的过程中的注意事项是什么？变形时方程两边所有项都要乘，不能漏乘常数项.◆3.总结归纳：（1）上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？基本思路：消元；化二元→一元.（2）加减消元法：加减消元法的一般步骤：是通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数,这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法.①同一未知数的系数互为相反数时，把两个方程的两边分别相加.②同一未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相减.（3）同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，如果其中一未知数的系数呈倍数关系时，利用等式的性质，使得未知数的系数相等或互为相反数，再用加减法消元.（4）如何优先选择代入消元法或加减消元法？①解二元一次方程组时，根据方程组系数的特点选择较简单的方法消元；②当方程组较复杂时，通常先化简变形，再选择最佳方法消元．【例题导析】自研下面典例的内容，回答问题：典例分析例1：用加减消元法解下列方程组【分析】由于方程组中的未知数y的系数互为相反数，因此可以直接用加减消元法，把方程中的①+②可消去系数y，求出x的值，再求y的值即可解答..【解答】解：①＋②，得8x＝16，解得x＝2，把x＝2代入②，解得y＝－eq\f(3,2)，∴原方程组的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－\f(3,2)))例2：解方程组：【分析】这个方程组适合用代入法还是加减法？为什么？【分析】方程②中y的系数是﹣1，可用代入法（用x表示y）；也可将②×3，使y的系数变为﹣3，与①中y的系数3互为相反数，用加减法消元”.【解答】解法一：②×2，得4x﹣2y=﹣10③①﹣③，得5y=15y=3将y=3代入②得x=﹣1∴原方程组的解是x解法二：②×3，得6x﹣3y=-15③①+③，得10x=﹣10解得：x=﹣1将x=-1代入②，得﹣2﹣y=﹣5解得：y=3∴原方程组的解是x第二环节合作探究小组群学A.探讨如何用加减消元法解二元一次方程组；B.交流例题的解题思路和易错点.C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1．用加减消元法解二元一次方程组x−y=5①2x−3y=3②时，下列方法中，能消元的是（D2．已知方程组x+2y=52x+y=1，则x+y的值是（AA．2 B．0 C．−1 D．−23．若x=3−ty=5+t，则x与y的关系式是x+y=84．解方程组4x+5y=13①4x−5y=3②时，既可用①-②消去未知数x，也可用①+②消去未知数y，方程组的解是5．解方程组：x−解：解：x−②−①×2解得y=2，把y=2代入②得：x=3，∴方程的解为x=3y=26．（拓展提升）在解方程组ax−y=7x+by=14时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到方程组的解为x=2y=6，乙看错了方程组中的b，而得到方程组的解为(1)求出a和b的值；（1）解：ax−y=7①x+by=14②

把解得b=2；把x=−2y=−5代入①得−2a+5=7解得：a=−1；(2)求出原方程组的正确解．解：（2）把a=−1，b=2代入ax−y=7x+by=14得③+④把y=21代入③得x=−28∴原解方程组的解为x=−28y=21题型一：加减消元法1．对于方程组4x−7y=−17①4x+4y=15②，用加减法消去xA．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2【分析】根据加减消元法，将方程①﹣方程②即可．【解答】解：方程①﹣方程②得，﹣11y＝﹣32，故选：C．【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是正确解答的前提．2．用加减消元法解方程组x+3y=4①2x−y=1②A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3【分析】方程组利用加减消元法判断即可．【解答】解：用加减消元法解方程组x+3y=4①2x−y=1②时，①×2﹣②或①×（﹣2）+②消去x，②×（﹣3）﹣①或①+②×3消去y故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．3．用加减法解方程组3x+2y=7①x+2y=−3②具体步骤如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x＝2；（3）把x＝2代入①，解得y=12A．（4） B．（3） C．（2） D．（1）【分析】第（1）步两方程相减时出现错误．【解答】解：用加减消元法解方程组：3x+2y=7①x+2y=−3②．（1）①﹣②，得2x＝10；（2）所以x＝5；（3）把x＝5代入①，得y＝﹣4；（4）所以这个方程组得解为x=5最先出现错误的一步是（1），故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．关于x、y的二元一次方程组6x−5y=3①3x+y=−15②，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用②×2﹣①得到的方程是【分析】利用加减消元法进行计算即可．【解答】解：解二元一次方程组6x−5y=3①3x+y=−15②时，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用②×2﹣①得到的方程是：7y故答案为：7y＝﹣33．【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．5．已知二元一次方程组0.8x+0.7y=3−8x−2y=7，用加减法解该方程组时，将方程①两边同时乘以，再将得到的方程与方程②两边相，即可消去【分析】解决本题关键是寻找式子间的关系，寻找方法降元，可把x的系数化为相同，然后用加法化去，达到消元的目的．【解答】解：0.8x+0.7y=3①把①式两边同时乘以10，得：8x+7y＝30③，②+③得：5y＝37即可消去x，解得：y=37把y＝5代入①或②可求解x．【点评】本题主要考查了加减消元法的步骤，使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解．题型二：加减法解二元一次方程组6．用加减法解下列方程组：（1）3x+2y=12，（2）4x+5y=9，【分析】（1）利用①+②消去y得出关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，利用①﹣②消去x得出关于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得出方程组的解；（2）利用①+②消去y得出关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，利用①﹣②消去x得出关于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得出方程组的解．【解答】解：（1）3x+2y=12①3x−2y=5②①+②得：6x＝17，解得：x=17①﹣②得：4y＝7，解得：y=7∴原方程组的解为x=17（2）4x+5y=9①4x−5y=−1②①+②得：8x＝8，解得：x＝1，①﹣②得：10y＝10，解得：y＝1，∴原方程组的解为x=1y=1【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．7．用加减法解下列方程组：（1）3m+2n=163m−n=1（2）3s+4t=72s−3t=−1【分析】利用加减消元法解各方程组即可．【解答】解：（1）3m+2n=16①3m−n=1②①﹣②得：3n＝15，解得：n＝5，将n＝5代入②得3m﹣5＝1，解得：m＝2，故原方程组的解为m=2n=5（2）3s+4t=7①2s−3t=−1②①×2﹣②×3得：17t＝17，解得：t＝1，将t＝1代入①得3s+4＝7，解得：s＝1，故原方程组的解为s=1t=1【点评】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．8．用加减法解下列方程组：（1）3x+2y=73x−4y=13（2）6x+5y=253x+4y=20【分析】利用加减消元法解方程即可．【解答】解：（1）3x+2y=7①3x−4y=13②①﹣②得：6y＝﹣6，解得：y＝﹣1，将y＝﹣1代入①得：3x﹣2＝7，解得：x＝3，故原方程组的解为x=3y=−1（2）6x+5y=25①3x+4y=20②②×2﹣①得：3y＝15，解得：y＝5，将y＝5代入①得：6x+25＝25，解得：x＝0，故原方程组的解为x=0y=5【点评】本题考查加减消元法解方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．9．用加减法解下列方程组：（1）3x−7y=−1①3x+7y=13②（2）2x+3y=3①3x+2y=11②【分析】（1）两方程相加求出x的值，再求y的值；（2）变形方程，再相减，求其中一个未知数的值，再计算另一个未知数的值．【解答】解：（1）3x−7y=−1①3x+7y=13②①+②得：6x＝12，x＝2，把x＝2代入①得：6﹣7y＝﹣1，y＝1，∴方程组的解为：x=2y=1（2）2x+3y=3①3x+2y=11②方程组变形为：6x+9y=9③6x+4y=22④③﹣④得：5y＝﹣13，y=−13把y=−135代入①得：2x+3×（x=27∴方程组的解为：x=27【点评】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．10．用加减法解下列方程组：（1）3x+7y=9，（2）x−2=2(y−1)，【分析】（1）利用①+②消去y得出关于x的一元一次方程，解方程求出x＝2，将x＝2代入①求出y的值，即可得出方程组的解；（2）把原方程组化为x−2y=0①2x+y=10②，利用①+②×2消去y得出关于x的一元一次方程，解方程求出x＝4，将x＝4代入②求出y【解答】解：（1）3x+7y=9①4x−7y=5②①+②得：7x＝14，解得：x＝2，把x＝2代入①得：6+7y＝9，解得：y=3∴原方程组的解为x=2y=（2）原方程组可化为x−2y=0①2x+y=10②①+②×2得：5x＝20，解得：x＝4，把x＝4代入②得：8+y＝10，解得：y＝2，∴原方程组的解为x=4y=2【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．题型三用适当的方法解二元一次方程组11．用适当的方法解下列方程组．（1）x=2y−14x+3y=7；（2）3x+2y=2【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；（2）用方程①×3﹣②×2，可消去未知数y，求出未知数x，进而得出y的值．【解答】解：（1）x=2y−1①4x+3y=7②把①代入②，得4（2y﹣1）+3y＝7，解得y＝1，把y＝1代入①，得x＝1，故原方程组的解为x=1y=1（2）3x+2y=2①2x+3y=28②①×3﹣②×2，得5x＝﹣50，解得x＝﹣10，把x＝﹣10代入①，得y＝16，故原方程组的解为x=−10y=16【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．12．用适当的方法解下列方程组：（1）2x−3y=7x−3y=7．（2）0.3p+0.4q=4【分析】（1）利用加减法消元法解二元一次方程组即可；（2）先整理方程，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．【解答】解：（1）2x−3y=7①x−3y=7②①﹣②得x＝0，把x＝0代入②得0﹣3y＝7，解得y=−7∴方程组的解为x=0y=−（2）整理原方程组得3p+4q=40①2p−9q=−20②①×2﹣②×3得35q＝140，q＝4，把q＝4代入②得2p﹣36＝﹣20，解得p＝8，∴方程组的解为p=8q=4【点评】本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．13．用适当的方法解下列方程组（1）x+y=52x+y=8；（2）2x+3y=7【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．【解答】解：（1）x+y=5①2x+y=8②由①，可得：x＝5﹣y③，③代入②，可得：2（5﹣y）+y＝8，解得y＝2，把y＝2代入③，解得x＝3，∴原方程组的解是x=3y=2（2）2x+3y=7①3x−2y=4②①×2+②×3，可得13x＝26，解得x＝2，把x＝2代入①，解得y＝1，∴原方程组的解是x=2y=1【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．14．用适当的方法解下列方程组：（1）2x+3y=16①x+4y=13②；【分析】（1）②×2﹣①得出5y＝10，求出y，再把y＝2代入②求出x即可；（2）整理后得出得2s+t=9①3s−2t=24②，①×2+②得出7s＝42，求出s，再把s＝6代入①【解答】