5.3二元一次方程的应用（第2课时借助表格梳理等量关系）（教学设计）数学北师大版2024八年级上册

5.3.2二元一次方程组的应用(第2课时)教学设计1.教学内容本节选自北师大版2024八年级上册第五章“二元一次方程组”，是“二元一次方程组的应用”第2课时，核心内容为借助表格梳理实际问题中的已知量、未知量及数量关系，进而建立二元一次方程组解决利润、营养品配制、商品调价、行程、达标率等与生活紧密相关的复杂问题，同时回顾并深化“审、设、列、解、验、答”的解题步骤。2.内容解析本节是二元一次方程组应用的进阶内容，承接上一课时“直接找等量关系列方程组”，聚焦“复杂问题中梳理等量关系”这一难点，通过表格这一可视化工具，将分散的数量关系系统化，实现“生活具体问题”到“二元一次方程组”的转化，是培养学生数学建模能力和逻辑分析能力的关键载体，也为后续学习更复杂的方程（组）应用奠定方法基础。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握用“表格法”梳理收支、配比类实际问题的关键信息，用“线段图法”分析路程类实际问题的数量关系;熟练按照“审、设、列、解、验、答”六步，列二元一次方程组解决实际问题。1.教学目标（1）能借助表格或线段图梳理实际问题中的已知量、未知量及数量关系，熟练按照“审、设、列、解、验、答”步骤列二元一次方程组解决问题。（2）通过分析工厂利润、营养品配比等实例，经历“梳理信息—找等量关系—列方程组”的过程，提升分析问题、转化问题的能力。（3）感受二元一次方程组在生活、生产中的实际应用，体会数学与现实世界的联系，激发学习数学的兴趣与探索精神。2.目标解析（1）学生能独立用表格梳理利润、行程问题中的已知量与未知量，能根据等量关系列出方程组，求解后能结合实际意义检验结果是否合理。（2）学生在小组交流中，能清晰阐述“先确定表格行列标题（如‘年份’‘总收入’），再填量，最后找关系”的表格梳理思路，能独立将行程、达标率等新问题转化为表格形式。（3）生在解决“营养品配制”“商品调价”等与生活相关的问题时，能积极参与思考，主动分享解题思路，体会数学在解决实际问题中的作用，增强学习数学的自信心。（一）学生已有知识及掌握情况学生在七年级已学习一元一次方程的应用，掌握了“找等量关系列方程”的基本思路；上一课时又学习了二元一次方程组的应用，明确了“审、设、列、解、验、答”的步骤，能解决等量关系较直接的问题（如“两个数和为10，差为2”），对“利润=总收入-总支出”“路程=速度×时间”等基本数量关系有一定认知，具备初步的数学分析能力。（二）预估教学中遇到的困难以及解决困难的办法1.困难一：无法准确梳理复杂问题中的核心量，难以搭建表格框架。解决办法：以“工厂利润问题”为切入点，先带领学生逐一“圈画题目中的量”（如去年总收入、去年总支出、今年总收入等），再引导学生将“量”分类（如按“年份”分，或按“收入、支出、利润”分），逐步搭建表格，再填充已知量与未知量，降低表格搭建难度。2.困难二：填充表格时，无法将“比例关系”（如“甲商品降价10%”）转化为具体表达式（如“(1-10%)x”），导致表格信息不完整。解决办法：先回顾“比一个数增a%，列式为‘数×(1+a%)’”的基础公式，再在表格对应单元格旁标注转化过程（如“今年总收入：x×(1+20%)”），让学生先跟着写，再独立尝试，教师巡视指导易错点。困难三：填完表格后，无法从表格中提炼出2个独立的等量关系，导致列不出方程组。解决办法：教学中在表格旁标注“等量关系提示”（如利润问题表格旁写“去年利润=去年总收入-去年总支出”“今年利润=今年总收入-今年总支出”），引导学生对照表格找“总和”“差值”“倍数”类关系，小组内互相检查“是否找到2个独立关系”。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确找出复杂实际问题中的两个等量关系，避免量与量之间的混淆;准确确定复杂问题的核心量，将比例、百分比等关系转化为表格中的表达式，并从中提炼独立的等量关系。1.回顾旧知，导入新课教学活动：(1)提问引导：“上节课我们学了用二元一次方程组解决问题，谁能说出步骤？”（学生回答后，教师板书“审、设、列、解、验、答”）；“列方程组最关键的一步是什么？”（学生回答“找等量关系”）。(2)情境过渡：“如果问题里有‘去年’‘今年’两个时间，还有‘总收入’‘总支出’‘利润’多个量，直接找等量关系容易乱，有没有办法帮我们理清这些量？今天我们就学习‘借助表格梳理等量关系’（板书课题）。”(设计意图：设计意图：通过回顾旧知，激活学生对“列方程组步骤”和“找等量关系”的已有认知，再通过“复杂问题难梳理”的情境，引发学生的探究需求，自然导入新课。)(教学建议：若学生忘记“列方程组步骤”，可结合简单实例（如“x+y=5，x-y=1”）回顾，避免占用过多时间；过渡时可让学生说说“之前遇到多量问题时的困扰”，增强代入感。）一、探究新知某工厂去年的利润（总收入-总支出）为200万元.今年的总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？1、这个问题涉及哪些量？去年的总收入、去年的总支出、今年的总收入、今年的总支出、去年的利润、今年的利润。2、这些量之间有怎样的等量关系？（1）去年的利润=去年的总收入-去年的总支出；（2）今年的总收入=去年的总收入×（1+20%）；（3）今年的总支出=去年的总支出×（1−10%）；（4）今年的利润=今年的总收入-今年的总支出。（设计意图：让学生经历“自主找量—小组验证”的过程，突破“确定核心量”的难点，为后续设计表格奠定基础。）（教学建议：若学生圈出无关量（如“工厂名称”），可引导对比“是否参与计算”，帮助排除无关量；汇总时将核心量分类（如“去年相关量、今年相关量”），方便后续表格设计。）3、你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流.年份总收入/万元总支出/万元利润/万元去年xyx-y今年(1+20%)x(1−10%)y780（设计意图：通过“教师示范—学生跟随—自主转化”的梯度设计，让学生掌握表格填写方法，同时将“比例关系转化”和“等量关系提炼”融入表格梳理过程，降低难点。）（教学建议：填写“今年总收入”时，若学生混淆“(1+20%)x”和“x+20%”，可举例“去年收入100万，今年增20%是120万，100×1.2=120，而100+0.2=100.2，显然不对”，用具体数值验证；找等量关系时，让学生指着表格单元格说“谁减谁等于谁”，确保理解。）解方程组，验答教学活动：让学生独立解方程组x-y=2001.2x-0.9y=780，答：去年总收入2000万元，总支出1800万元.（设计意图：巩固二元一次方程组的求解方法，强化“验、答”步骤的重要性，让学生形成完整的解题闭环。）（教学建议：若学生解方程组时出错（如消元时符号错误），可让板演学生说说“每一步的依据”，全班共同找出错误原因；检验环节强调“既要验方程，也要验实际意义”（如“收入、支出不能为负”）。总结表格梳理方法:在解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流。（1）先明确题目涉及的核心量，确实表格的行或列标题；（2）将题目中的已知量和未知量对应填充到表格的单元格中；（3）在表格里清晰呈现量与量之间的关系，根据表格列方程组。（设计意图：通过学生自主总结，将表格梳理方法显性化，便于后续迁移应用。）（教学建议：总结时让学生结合利润问题实例对应每一步，避免方法与实例脱节（如“定核心量”对应“年份、总收入等”）。二.典例分析医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？分析：设每餐需要甲原料xg,乙原料yg，则有成分甲原料xg乙原料yg所配制的营养品其中所含蛋白质0.5x0．7y0.5x+0.7y其中所含铁质x0．4yx+0.4y甲原料中所含蛋白质+乙原料中所蛋白质=35甲原料中所含铁质+乙原料中所铁质=400.5x+0.7y=35，x+0.4y=40。解：设每餐需要甲原料xg、乙原料0.5x+0.7y=35解这个方程组，得x=28所以，每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好满足患者的需要。（设计意图：通过自主探究，让学生将利润问题中学到的表格梳理方法迁移到新场景，检验知识掌握情况，同时提升自主解题能力。）（教学建议：若学生表格设计多样（如“行设原料，列设成分”或“行设成分，列设原料”），只要合理，均给予肯定，避免限制学生思维；若学生漏填“所配制营养品的蛋白质含量0.5x+0.7y”，可提问“患者需要的35单位蛋白质从哪来”，引导补充。）1.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是(C)B.A.B.A.D.C.D.C.某公司购买甲、乙两种货物，设甲、乙两种货物的进货价分别为x元和y元。若已知两种货物的进货价共30000元，则可列方程x＋y=30000；若共获利3150元，已知甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，则可列方程10%x＋11%y=3150，由此可得方程组x+y=3000010%x+甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h，那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？设甲、乙两人的速度分别是xkm/h和ykm/h，填写下表并求x，y的值。两种情况甲的路程乙的路程甲、乙两人的路程之和第一种情况甲先走2h(2+2.5）x2.5y36第二种情况乙先走2h3x(2+3)y36解：设甲、乙两人的速度分别是xkm/h和ykm/h，根据题意，得（解方程组，得x=6所以，甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h。4.甲、乙两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%.如果甲班学生的体育达标率为87.5%，乙班学生的体育达标率为75%，那么甲、乙两班各有多少名学生?设甲班有x名学生，乙班有y名学生，填写下表并求出x，y的值。