2.3 确定二次函数的表达式 教学设计 北师大版数学九年级下册

2.3确定二次函数的表达式教学设计北师大版数学九年级下册课题：XX科目：XX班级：XX年级课时：计划1课时教师：XX老师单位：XX一、教学内容本节课内容选自北师大版数学九年级下册“2.3确定二次函数的表达式”。主要内容包括二次函数图象与系数的关系，二次函数表达式的一般形式，以及如何根据图象确定二次函数的表达式。通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数图象与系数的关系，并能够根据图象确定二次函数的表达式。二、核心素养目标培养学生数据分析观念，通过探究二次函数图象与系数的关系，提升学生数学建模能力。强化逻辑推理，引导学生从图象特征中抽象出二次函数表达式，提高学生数学抽象素养。增强几何直观，让学生在观察和操作中感受函数图象的变化规律，培养空间观念。三、教学难点与重点1.教学重点

①掌握二次函数图象与系数之间的关系，能够根据二次函数的图象特征确定其系数。

②理解并运用二次函数表达式的一般形式，能够根据给定的条件写出相应的二次函数表达式。

2.教学难点

①在分析二次函数图象与系数关系时，学生可能难以准确判断系数的正负及其对图象的影响。

②从图象特征抽象出二次函数表达式时，学生可能遇到困难，尤其是在处理复杂图象或非标准形式时。

③学生需要将抽象的数学概念与具体的图象变化相结合，这一过程对学生的数学抽象能力提出了较高要求。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版数学九年级下册教材，方便学生跟随教材内容学习。

2.辅助材料：准备与二次函数图象相关的图片、图表和视频，以帮助学生直观理解二次函数的特性。

3.实验器材：准备直尺、圆规等绘图工具，用于学生绘制二次函数图象。

4.教室布置：设置分组讨论区，便于学生合作探究；在黑板上预留空间，用于展示学生的绘图和计算过程。五、教学过程一、导入新课

同学们，上一节课我们学习了二次函数的图象，知道了二次函数的图象是一条抛物线。今天，我们要深入探讨二次函数的本质，确定它的表达式。请大家打开课本，翻到第二部分第三章的第三节，我们一起来看看今天的课题：确定二次函数的表达式。

二、探究新知

（一）活动一：回顾知识，发现问题

同学们，我们先回顾一下之前学习的知识。请大家用一句话概括一下二次函数图象的基本特征。

（学生回答）

很好，二次函数图象是一条抛物线。接下来，我们来看看一个具体的例子。请大家观察屏幕上的这个抛物线，它能帮助我们确定哪些信息？

（学生回答）

是的，我们可以根据抛物线的形状、开口方向、顶点位置等信息来确定二次函数的性质。那么，如果我们要写出这个二次函数的表达式，我们应该怎样做呢？

（二）活动二：合作探究，解决问题

为了解决这个问题，我们可以分成小组进行探究。每个小组准备一张白板、几支粉笔和一些空白纸。我们小组的任务是，通过观察图象，写出这个二次函数的表达式。

请大家在小组内讨论，可以画出抛物线，也可以根据已知信息列出方程组。记住，我们的目标是确定系数a、b和c的值。

（学生分组讨论，教师巡视指导）

同学们，经过一段时间的讨论，我相信你们已经找到了答案。请各小组派代表来分享一下你们的结果。

（学生汇报，教师点评）

（三）活动三：展示方法，总结规律

同学们，通过刚才的探究，我们发现确定二次函数的表达式有以下几种方法：

1.已知抛物线的顶点坐标和开口方向，直接写出顶点式；

2.已知抛物线的两个交点坐标，通过解方程组找到对称轴和顶点，进而写出顶点式；

3.已知抛物线上的一个点坐标和对称轴，通过解方程找到另一个交点，进而写出顶点式。

那么，哪种方法更为简单高效呢？请大家结合刚才的探究过程，分析一下。

（学生讨论，教师总结）

（四）活动四：应用新知，巩固练习

现在，我们来完成一些练习题，巩固今天所学的内容。

1.已知抛物线的顶点坐标为（-1，3），开口向上，写出这个二次函数的表达式。

2.已知抛物线与x轴交于点（-2，0）和（4，0），写出这个二次函数的表达式。

3.已知抛物线经过点（2，5），且对称轴为y轴，写出这个二次函数的表达式。

请大家独立完成这些练习，注意审题和运算。

（学生完成练习，教师巡视指导）

三、课堂小结

今天，我们学习了确定二次函数的表达式，掌握了三种基本方法。通过这节课的学习，相信大家对二次函数的理解更加深入了。希望大家能够运用所学知识，解决实际问题。

四、课后作业

为了进一步巩固今天所学内容，请大家完成以下作业：

1.列举生活中常见的二次函数实例，并写出其表达式；

2.尝试用不同的方法确定一个给定抛物线的表达式；

3.研究二次函数的性质，如对称性、顶点坐标、开口方向等，并尝试用图象来解释。

今天的课就上到这里，希望大家能够通过课后作业，巩固所学知识。下课！六、学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握程度

-学生能够根据二次函数的图象特征，如顶点坐标、开口方向、对称轴等，确定二次函数的系数。

-学生能够根据给定的条件，如抛物线与坐标轴的交点、特定点的坐标等，写出相应的二次函数表达式。

-学生能够识别并区分顶点式、交点式和一般式，并能根据具体问题选择合适的形式进行表达。

2.抽象思维能力

本节课的教学活动注重培养学生的数学抽象能力，主要体现在：

-学生能够从具体的图象特征中抽象出二次函数的一般性质，如对称性、顶点坐标等。

-学生能够将数学概念与实际情境相结合，通过观察和分析图象，抽象出二次函数的表达式。

-学生在解决实际问题时，能够运用抽象思维，将问题转化为数学模型，并运用所学知识进行求解。

3.数学建模能力

本节课的教学活动旨在提升学生的数学建模能力，主要体现在：

-学生能够根据实际问题，建立合适的二次函数模型，并运用模型进行预测和分析。

-学生能够从实际问题中提取关键信息，并将其转化为数学表达式，从而构建数学模型。

-学生在解决模型问题时，能够运用数学工具和方法，如方程求解、函数分析等，对模型进行验证和优化。

4.解决问题的能力

本节课的教学活动注重培养学生的解决问题能力，主要体现在：

-学生能够运用所学知识，解决与二次函数相关的实际问题，如优化问题、预测问题等。

-学生在解决实际问题时，能够灵活运用不同的方法，如代数方法、几何方法等，寻找最优解。

-学生在遇到复杂问题时，能够分解问题，逐步解决，提高解决问题的效率。

5.团队合作能力

本节课的教学活动采用小组合作探究的方式，旨在培养学生的团队合作能力，主要体现在：

-学生能够在小组内积极交流，分享自己的观点和思路，共同解决问题。

-学生能够尊重他人的意见，学会倾听和接纳不同的观点，形成共识。

-学生在团队合作中，能够分工合作，发挥各自的优势，共同完成任务。七、典型例题讲解1.例题一：

已知抛物线的顶点坐标为（1，-4），开口向上，求这个二次函数的表达式。

解题过程：

因为抛物线的顶点式为\(y=a(x-h)^2+k\)，其中\((h,k)\)为顶点坐标，所以直接代入顶点坐标（1，-4）得：

\(y=a(x-1)^2-4\)。

2.例题二：

已知抛物线与x轴交于点（-2，0）和（4，0），求这个二次函数的表达式。

解题过程：

抛物线的交点式为\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)，其中\(x_1\)和\(x_2\)为抛物线与x轴的交点。代入交点（-2，0）和（4，0）得：

\(y=a(x+2)(x-4)\)。

3.例题三：

已知抛物线经过点（2，5），且对称轴为y轴，求这个二次函数的表达式。

解题过程：

对称轴为y轴，说明抛物线为\(y=ax^2+c\)的形式。代入点（2，5）得：

\(5=a(2)^2+c\)。

因为对称轴为y轴，顶点坐标形式为\((0,c)\)，所以\(c=-4a\)。代入上面的方程得：

\(5=4a-4a\)。

解得\(a=1\)，因此\(c=-4\)。

所以，二次函数的表达式为\(y=x^2-4\)。

4.例题四：

已知抛物线的图象经过点（0，3），顶点坐标为（2，-1），开口向上，求这个二次函数的表达式。

解题过程：

直接代入顶点坐标（2，-1）到顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)中得：

\(-1=a(2-2)^2-1\)。

解得\(a=0\)。

因为开口向上，所以\(a>0\)，这里\(a\)应为正值，但由于\(a=0\)，说明题目中的抛物线实际上是y轴的平行线，所以\(y=3\)。

5.例题五：

已知抛物线的图象与y轴的交点为（0，2），顶点坐标为（1，-3），开口向下，求这个二次函数的表达式。

解题过程：

直接代入顶点坐标（1，-3）到顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)中得：

\(-3=a(1-1)^2-3\)。

解得\(a=0\)。

因为开口向下，所以\(a<0\)，这里\(a\)应为负值，但由于\(a=0\)，同样说明题目中的抛物线实际上是y轴的平行线，所以\(y=2\)。八、板书设计1.本文重点知识点

①二次函数图象与系数的关系

②二次函数表达式的一般形式

③确定二次函数表达式的三种方法

2.关键词

①顶点式：\(y=a(x-h)^2+k\)

②交点式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)

③一般式：\(y=ax^2+bx+c\)

3.重点句子

①“二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向和大小由系数a决定。”

②“二次函数的顶点坐标为（h，k），其中h为对称轴的x坐标，k为抛物线的最高或最低点。”

③“确定二次函数的表达式可以通过顶点坐标、交点坐标或图象上的特定点来完成。”课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了“确定二次函数的表达式”，重点掌握了以下内容：

1.二次函数图象与系数的关系，特别是系数a对抛物线开口方向和大小的影响。

2.二次函数表达式的一般形式，包括顶点式、交点式和一般式，以及它们之间的转换。

3.确定二次函数表达式的三种方法：利用顶点坐标、利用交点坐标和利用特定点。

当堂检测：

为了检测学生对本节课内容的掌握情况，我们将进行以下检测：

1.选择题：

-二次函数\(y=-2x^2+4x-1\)的图象开口