湖南省邵阳市双清区2026年中考三模数学试题附答案

中考三模数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．的相反数是（）A． B． C． D．2．2024年我国新能源汽车年产量突破13000000辆，数据13000000用科学记数法表示为（）A． B． C． D．3．下列新能源汽车车标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．4．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．下列计算正确的是（）A． B．C． D．6．某班的名同学分钟仰卧起坐的成绩（单位：次）分别为：，这组数据的中位数是（）A． B． C． D．7．已知点在正比例函数的图象上，且，则的大小关系是（）A． B．C． D．8．如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（）A．8 B．8 C． D．9．判断命题“对任意实数，都有”是假命题，只需要举出反例，反例中的可以是（）A． B． C． D．10．定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（）A．为函数图象的“相反点”B．函数的图象存在两个“相反点”C．为函数的图象上唯一的“相反点”D．当时，函数的图象上无“相反点”二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11．分式有意义的条件是．12．若代数式的值等于22，则的值为．13．如图，是的直径，点是上一点．已知的半径为4，则弦的长为．14．如图，点是正五边形边上一点，过点作直线，则的度数为．15．已知电磁波的频率、波长满足关系：（为常数）．某种电磁波的频率为时，波长为．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为．16．四个相同的烧杯中，分别装有氢氧化钠溶液、稀硫酸溶液、氢氧化钙溶液及蒸馏水，从中任选一个烧杯滴入几滴酚酞溶液，则该烧杯的溶液变成红色的概率是．17．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是．18．如图，在中，，．分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点．连接，交边于点．连接，则的度数为．若，点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．计算：．20．先化简，再求值：，其中．21．某校兴趣小组开展“体育锻炼最能让我___________”的问卷调查，要求同学们从“A：享受乐趣；B：增强体质；C：锤炼意志；D：缓解压力；E：预防近视”任选一项填在横线上．调查结束后，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息完成下列问题：（1）本次调查学生的人数为___________人，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为___________度；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2400名学生，请你估计该校学生认为“体育锻炼最能让我锤炼意志”的人数．22．为践行健康第一教育理念，丰富体育活动项目，某校准备购买一批篮球和排球．已知购买1个篮球和4个排球，共需320元；购买5个篮球和2个排球，共需700元．（1）求篮球和排球的单价；（2）若学校准备购买篮球、排球共90个，总费用不超过7300元，那么最多能够购买篮球多少个？23．如图，过的顶点，作，分别交边，于点，线段与交于点，已知___________请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（）证明：四边形是菱形；（）若，，求四边形的面积．24．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动，并设计如下测量方案．活动主题测算某厂房一面墙的高度与长度测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某工厂的厂房的一面墙，墙面的形状为矩形，其示意图如下：测绘过程和数据信息①在厂房的墙面外取一点，使得点在同一冬克线上．用皮尺测得米；②无人机在处，以米/秒的速度竖直向上飞行了秒钟，飞行至处；③在处测得房顶的俯角，测得房顶的俯角；④用计算器计算得：，，．请根据表格中提供的信息，解决下列问题，（1）求厂房的高度；（2）求厂房的长度．25．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求点的坐标．（2）直线与抛物线交于，两点，其横坐标分别为，．若，，求的取值范围．（3）如图2，直线在第一象限交抛物线于点，交直线于点，交轴于点，过点作交于点．若，求的值．26．如图1，点在正方形的边上．将线段绕点顺时针旋转得到线段．边分别与相交于点．（1）证明：．（2）如图2，连接，与线段分别相交于点．①猜想与的数量关系，并说明理由；②设正方形的边长为，求线段的长（用字母和表示）．

答案1．【答案】B【解析】【解答】解：的相反数是．故选：B．

【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”解答即可．2．【答案】B【解析】【解答】解：，故答案为：B．【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤|a|<10，n为原数字的整数位数减1.3．【答案】B【解析】【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项A不符合题意；、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意；故答案为：．【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可求解．4．【答案】A【解析】【解答】解：∵由题意得：，

∴；

故答案为：A.

【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，可得关于m的不等式，求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，故选项A不符合题意；B、，原式计算错误，故选项B不符合题意；C、，原式计算正确，故选项C符合题意；D、，原式计算错误，故选项D不符合题意；故选：C．【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、幂的乘方、同底数幂的除法运算法则进行计算并判断即可．6．【答案】D【解析】【解答】解：数据由小到大排列为：，，，，，，，

∴这组数据的中位数是，

故答案为：．

【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大排列，再取最中间的数，即可得到中位数.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵正比例函数中，一次项系数，∴的值随的增大而减小.∵，∴，故答案为：．

【分析】根据正比例函数的性质，可得y随x的增大而减小，据此即可解答.8．【答案】C【解析】【解答】解：过点D作，，连接、交于点O，如图所示：由题意知：，，∴四边形是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴，∵，∴，∴平行四边形是菱形，旋转过程中，菱形的高DN，底AB会变化，∴两张纸片垂直，即时，底边最短，

∴此时面积为：，故答案为：C．

【分析】过点D作，，连接、交于点O．先证出四边形是平行四边形，再由，，可得，即可得平行四边形是菱形，结合图形得出旋转过程中，菱形的高不变，底变化，可知当两张纸片垂直时，底边最短，据此即可求出面积最小值．9．【答案】D【解析】【解答】解：对于任意实数a，都有，当时，a+1=0，，

∴反例中的a可以是﹣1.

故答案为：D．

【分析】正数和负数的平方都是正数，0的平方是0.据此解答即可.10．【答案】C【解析】【解答】解：由“相反数”的定义得：相反点一定在直线上，

A、令x＝﹣x，可得x=0，代入得：y=0，

为函数图象的“相反点”，故选项A正确，不符合题意；

B、令，可得或，代入得：

时，，时，，

和为函数图象的“相反点”，函数的图象存在两个“相反点”，故选项B正确，不符合题意；

C、令，可得x=0或，代入得：

x=0时，y=0；时，，

点和都是函数的图象上的“相反点”，不是函数的图象上唯一的“相反点”，故选项C错误，符合题意；

D、令，整理得：，

∵函数的图象上无“相反点”，∴方程无解，

，

解得：，

当时，函数的图象上无“相反点”，故选项D正确，不符合题意．

故答案为：C．

【分析】根据“相反点”的定义可知，相反点一定在直线上，判断函数与直线的交点情况即可．11．【答案】【解析】【解答】解：∵分式有意义，

，

∴，

故答案为：．

【分析】根据分式有意义时，分母不等于列出不等式即可求解.12．【答案】【解析】【解答】解：∵代数式的值等于22，

∴，∴；故答案为：．

【分析】根据题意可得关于x的方程，再解方程即可．13．【答案】4【解析】【解答】解：∵是的直径，的半径为4，

∴，，

∵∠ABC=60°，

∴，

∴；

故答案为：4．

【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得，进而可得，即可求解．14．【答案】【解析】【解答】解：即AE与m相交于点F，如图所示，∵五边形是正五边形，∴，∵，∴，∴，故答案为：．

【分析】正多边形外角和与平角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出∠FPB的度数，继而可求得∠1度数．15．【答案】15【解析】【解答】解：∵某种电磁波的频率为时，波长为，∴，∴当时，，故答案为：15．

【分析】先根据已知条件求出常数，再把代入，即可求出的值．16．【答案】【解析】【解答】解：∵有四个相同的烧杯，分别装有不同的液体，从中任选一个烧杯，每一杯被选中的情况数都相同，∴．∵酚酞溶液遇碱性溶液变红，氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液呈碱性，稀硫酸溶液呈酸性，蒸馏水中性，∴能使酚酞溶液变红的是氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液，共种情况，

∴．∴．故答案为：

【分析】准确判断出能使酚酞变红（即碱性）的溶液种类，从而可确定和的值，再根据概率的计算公式求解即可．17．【答案】【解析】【解答】解：由题意得，南海至北海的距离为d，

∴，，

联立函数解析式得：

解得：，

∴交点M的横坐标是；

故答案为：．

【分析】根据题意分别求出的函数解析式，再联立求出t的值，即可得到答案.18．【答案】；【解析】【解答】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，∴，∴，

∵，，AC=10，

∴.

过点作于，连接AN，如图所示：

∴，∵，∴，∴，

∴当点三点共线且时，的值最小，最小值为的长，

∵，

∴，

∴，∴，∴的最小值是，故答案为：；．

【分析】由由作图可知EF为线段BC的垂直平分线，即得，即可得.在△ABC中解直角三角形可求出AB的长；过点作于，可得，即得，可知当点三点共线且时，的值最小，最小值为的长，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解．19．【答案】解：．【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值，去绝对值，同时计算负整数指数幂和算术平方根，再化简运算即可．20．【答案】解：

，当时，原式．【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则进行计算，再代值计算即可．21．【答案】（1）120；135（2）解：D组的学生人数为：（人），故可补全条形统计图如下：（3）解：（人），

答：该校学生认为“体育锻炼最能让我锤炼意志”的人数约为200人．【解析】【解答】解：（1）本次调查学生的人数为：（人），扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为：，故答案为：120；135；

【分析】（1）B组的人数和B组的占比都知道，故用B组的人数除以其所占的百分比即可求得总人数；再用360°乘以A组所占的比例即可得到A组对应扇形的圆心角；（2）先用总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，即可补全条形统计图；（3）用学生总数2400乘以C组所占的比例即可估算出对应的人数．（1）解：本次调查学生的人数为：（人），扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为：，故答案为：120；135；（2）解：D组的学生人数为：（人），补全条形统计图如下：（3）解：（人），答：估计该校学生认为“体育锻炼最能让我锤炼意志”的人数为200人．22．【答案】（1）解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据题意可得：，解得：；答：篮球的单价是120元，排球的单价是50元；（2）解：设购买篮球a个，则购买排球个，根据题意可得：，解得：；所以a的最大值为40，答：最多能够购买篮球40个．【解析】【分析】（1）设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据题意得等量关系“1个篮球的钱+4个排球的钱＝320”“5个篮球的钱+2个排球的钱＝700”；据此即可得到关于x、y的方程组，再求解即可；（2）设购买篮球a个，则购买排球个，根据“购买总费用不超过7300元”得关于a的不等式，求出a的范围，再取最大整数即可．（1）解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据题意可得：，解得：；答：篮球的单价是120元，排球的单价是50元；（2）解：设购买篮球m个，则购买排球个，根据题意可得：，解得：；所以m的最大值为40，答：最多能够购买篮球40个．23．【答案】证明（1）：选择①：∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

即，

∵，

∴，

∴是菱形；

选择②：∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，，

∴，

即，

∵，

∴，

∴是菱形；

解（2）：∵四边形是菱形，

∴AD=CD，∠D=∠B=60°.

∵AM=6，AM⊥CD，

∴，.

∴.

∵CN⊥AD，

∴∠DCN=90°－∠D=30°.

∴.

∴.【解析】【分析】（）选择①：利用AAS证明△AON≌△COM，可得，即得，进而可根据等面积法证得，即可求证；

选择②：利用AAS证明△AON≌△COM，可得，，即得，进而根据等面积法可得，即可求证；（）根据菱形的性质得AD=CD，∠D=∠B=60°.分别在△ADM和△COM中解直角三角形，可求得AD，MD，CD以及OM的长，再利用即可得到四边形ABCO的面积.24．【答案】（1）解：延长交于点，r如图所示：

则，四边形是矩形，

∴，米，

由题意得，米，，.

在中，，CH=10米，

∴米，

∴米，

∴米.

答：厂房的高度为米；（2）解：在中，，FH=10米，

∴，

∴米，

∴米，

∵四边形是矩形，

∴米，

答：厂房的长度为米．【解析】【分析】（）延长DC交EF于点H，可得∠DHF=90°，四边形BEHC是矩形，于是有，米；由题意得EF=22米，∠FDH=∠GFD=14°，，在解直角三角形，可得FH的长，进而可根据线段的和差关系求得BC的长；（）在解直角三角形，求出DH的长度，进而可得DC，再根据矩形的性质即可求解.（1）解：延长交于点，则，四边形是矩形，∴，米，由题意得，米，，，在中，∵，∴米，∴米，∴米，答：厂房的高度为米；（2）解：在中，，∴，∴米，∴米，∵四边形是矩形，∴米，答：厂房的长度为米．25．【答案】（1）解：将点，代入抛物线得：，解得：，抛物线的解析式为，令，则，​​​​​​；（2）解：由整理得：，

则方程的两根为，，

，，

，

，

，，

，

∴

解得：；（3）解：过点作于点，如图所示：∵A(3，0)，C(0，3)，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3.

∵直线在第一象限交抛物线于点，交直线于点，交轴于点，

∴，，，（0<m<3）

∴，，，

∵，

∴，

∵轴，

∴，

∵，

∴为等腰直角三角形，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵∠DFA=∠FHG=90°，

∴△DFA∽△FHG，

∴，

∴，即，

∴，

解得：或（舍）．【解析】【分析】（1）先由待定系数法求出抛物线表达式，再令求出点；（2）由整理，由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式可得，代入得，再由，得到不等式组，求解即可；（3）过点作于点，可得，则，，，（0<m<3），计算得，，，证明为等腰直角三角形，可得，于是可表示出FH的长，证明△DFA∽△FHG，可得，代入线段可得关于m的方程，求解即可．（1）解：将点，代入抛物线得：，解得：，抛物线的解析式为，令，则，；（2）联立，即，整理得：，，，，，，，，∴解得：；（3）解：过点作于点，设直线，代入点，则，解得：，∴直线，∴，，∴，∵，∴，∵轴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴∴，∴，∴，解得：或（舍）．26．【答案】（1）证明：∵正方形，

∴，

∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，

∴，

∴，

∴，

∴；（2）解：①，理由如下；

①∵正方形，

∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，

∴∠ABD=∠CBD=