浙江省金丽衢十二校2025学年高三第二次联考数学

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金丽衢十二校2025学年高三第二次联考

数学试题

命题人：永康一中颜熙高雄略审核：浦江中学

本卷分选择题和非选择题两部分。考试时间为120分钟，试卷总分为150分。请考生将

所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x=2k+1,k∈N},B={x|x=4m+1,m∈N},则(▲)

A.ABB.ABC.A=BD.A∩B=

2.复数的虚部为(▲)

A.BC.D.

3.向量a=(1,x),b=(x,2),若a//b,则x²=(▲)

A.0B.√2C.2D.4

4.已知A,B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，F为C的右焦点，若△ABF的一个内角为

120°,则椭圆C的离心率为(▲)

C

A.BD

5.已知A,B,C,D为空间中的四个不重合的点，则“点A,B,C,D不共面”是“直线AB和

CD不相交”的(▲)条件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要

6.已知函数f(x)=2√3sinxcosx+2cos²x向右平移φ(φ>0)个单位后是偶函数，则φ的

最小值为(▲)

A.B.C.D.

数学试题卷第1页(共4页)

1

7.掷一枚均匀的骰子2次，记出现的点数分别为a,b,令X=min{a,b},则X的数学期望

E(x)=(▲)

C

AB.D.

8.已知[x]表示不超过x的最大整数(例如[-1.2]=-2),数列{an}满足a₁=1,

则下列说法正确的是(▲)

A.[a₂]=2B.

C.对任意n,an+1an+an+1-2a=1恒成立D.存在n∈N°,an>an+1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知幂函数f(x)=(m²-2m-2)”为增函数，则下列说法正确的是(▲)

神墙

A.m=3B.函数y=f(x)·sinx为增函数

C.函数y=f(x)-3x极大值为2D.若,则f(cosx)<f(cos2x)

10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3c·cosA,a=4,则下列说法

正确的是(▲)

A.tanA=2tanCB.b²=3(a²-c²)

C.a>2cD.△ABC的面积最大值为6

11.有30个人，他们的身高各不相同，从矮到高依次记为h,h₂,…,h3o·现在让他们排成m

行n列的矩形队列(m,n∈N'),,把每一列最矮的人选出，并把其中最高的人的身高设为

a;把每一行最高的人选出，并把其中最矮的人的身高设为b,则下列说法正确的是

(▲)

A.当m=1时，b=h₃0

B.当n>1时，a≥h

C.任何一种列队方式，都有a≤b

D.当m,n>1时，无论如何列队，a与b都不可能相等

数学试题卷第2页(共4页)

2

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数f(x)=√3cosx+sinx的最小正周期为_▲

13.已知展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为

▲.(结果用数字表示)

14.在平面直角坐标系xoy中，圆C:(x-1)²+(y-a)²=a²(a>0)与x轴交于点F,若圆

上恰有一点P满足到直线l:x=-1的距离等于|PF|,则圆C的半径是▲·

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本题满分13分)随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：

超市ABCDEFG

广告支出(x)123581013

销售额(y)20304040505050

(1)计算广告支出与销售额之间的相关系数(结果保留两位小数);

(2)根据以上数据建立销售额关于广告支出的经验回归方程，参考公式与数据如下：

一元线性回归方程9=bx+a中，,√960≈31.

16.(本题满分15分)已知数列{a,}满足4a+1-aa+1+2aₙ=9(nen'),a=2.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)设,求数列{b}的前n项和Sπ.

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3

17.(本题满分15分)已知焦点在x轴上的双曲线E过两点P(2,1),Q(2,-1),M为E上的

动点，直线PM,QM与渐近线l:y=x分别相交于点A,B.

(1)求曲线E的方程。神墙

(2)证明：|AB|为定值，并求出该定值.

18.(本题满分17分)

已知函数f(x)=-x²+ax+b(a,b∈R),g(x)=1nx.

(1)当a=b=1时，求函数y=f(x)-g(x)的零点个数；

(2)若f(x),g(x)的图像有一个交点为P,且两者在点P处的切线互相垂直，

(i)证明：对所有符合题意的实数a,b,都有f(-1)≤-2;

(ii)设0为坐标原点，记O|P|的最小值为d,证明：

19.(本题满分17分)

如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆

内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=2√2,

C是PA的中点.

(1)证明：AB⊥平面POB;

(2)当三棱锥O-HPC的体积最大时，求OB的长；

(3)是否存在一个点Q,满足点Q到点C,H,0,A,B的距离均相等?若存在，求出二面角

Q-CH-B的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由.

数学试题卷第4页(共4页)

4

金丽衢十二校2025学年高三第二次联考

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

12345678

BBCAACDC

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

91011

ACABDABC

三、填空题：本题共3小题，神墙每小题5分，共15分.

12.2π13.70

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：

(1)

………4分

代入数据得………8分

(计算结果为0.86也给分；代入数据结果算错给1分)

代入数据得………11分

a=y-bx=40-2.25×6=26.5,…………13分

所以销售额关于广告支出的经验回归方程为=2.25x+26.5.

数学参考答案第1页(共6页)

16.解：

(1)由题意得a≠4(否则不满足题设条件),故…3分

故数列是等差数列.………6分

(作差思想给1分)

(2)由(1)得故………………8分

…………9分

两式相减,…………14分

所以…………………15分

17.解：

(1)设E的方程………………1分

由渐近线是y=x知a=b,…………3分

故E的方程为x²-y²=a²,将点P(2,1)坐标代入解得a²=3,………………5分

故E的方程为x²-y²=3.

(2)设点M(x₀,y。),点A(t,t),B(s,s),由题意得

…………7分

解得

数学参考答案第2页(共6页)

…………………9分

………………11分

将E的方程x²-y²=3代入分母消去2,整理后得s-t=-1,………………13分

所以|AB|=√1+k²|s-1|=√2为定值.……………15分

18.解：

(1)令h(x)=f(x)-g(x)=-x²+x+1-Inx,)恒成立，

因此h(x)是减函数，…………3分

而h(1)=1>0,h(e)=-e²+e<0,故由零点存在定理得h(x)在区间(1,e)上存在一个零

点，即为h(x)的唯一零点，因此h(x)恰有神墙一个零点………5分

(2)(i)设点P(x₀,y。),则y。=-x。²+ax₀+b=Inx₀,6分

又由两切线互相垂直……7分

解得a=x₀>0,b=Ina=Inx₀,……………………8分

即点P(a,Ina)

由此f(-1)=-1-a+Ina,记为函数m(a),

,故m(a)≤m(1)=-2即f(-1)≤-2.…………11分

(ii)由(i)得P(a,Ina),因此|OP²=a²+(Ina)²,令F(x)=x²+(Inx)²,

…………………12分

令G(x)=x²+Inx,知G(x)为增函数，,G(1)=1>0,

因此G(x)存在唯一零点……………14分

当x∈(0,x₁)时F'(x)<0,F(x)单调递减；当x∈(x₁+∞0)时F'(x)>0,

F(x)单调递增.

………………17分

数学参考答案第3页(共6页)

19.解：

(1)由题意得PO⊥平面AOB,故PO⊥AB,又AB⊥OB,OB∩PO=0,

OB,POc平面POB,故AB⊥平面POB3分

(2)由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形，PA=2√2,故PO=OA=2.

解法一：

……………5分

设∠OPB=α,则在Ri△POB中，…6分

…………8分

由重要不等式可得上式：,………10分

当且仅当时等号成立，此时,……11分

即当三棱锥O-HPC的体积最大时，OB的长为

解法二：

由(1)得AB⊥平面POB,故AB⊥OH,又OH⊥PB,PB∩AB=B,

PB,ABc平面PAB,故OH⊥平面PAB5分

故OH⊥PC.

又OC⊥PC,OCnOH=0,OC,OHc平面OCH,故PC⊥平面OCH.…7分

又OH⊥CH.

因此OH²+CH²=OC²=2.9分

………………10分

当且仅当CH=OH=1时等号成立，此时可在Rt△POB中算得.……11分

数学参考答案第4页(共6页)

(3)解法一：

以O为坐标原点，OA为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系.

A(2,0,0),P(0,0,2),C(1,0,1),

设∠AOB=θ,则B(2cos²θ,2cosθsinθ,0),

设OH=λOB+(1-λ)OP,由OH⊥1PB解得,………12分

故点H坐标为(22cos²θ,2λsinθcosθ,2-22).

设Q(x,y,z),由0Q=AQ=BQ=CQ=HQ代入坐标解得Q(1,0,0).

,C=(0,0,1).

设平面QCH的法向量为n₁=(x₁,y₁,z),得

取x₁=2λcosθsinθ得

n₁=(22cosθsinθ,1-2λcos²θ,0),

设平面CHB法向量为n₂=(x₂,y₂,=2),得

取x₂=1得