广东省广州市2026年普通高中毕业班综合测试(一)数学试题（含答案）

广东省广州市2026年普通高中毕业班综合测试(一)数学试题

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相

应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.若z(2+i)=5,则z=

A.-2+iB.2-iC.2+iD.-2-i

2.集合A=x∈Z∣x2−2x≤0的子集个数为

A.3B.4C.7D.8

log3x−1,，x＞1

3.已知函数f（x）=则f(f(log₃2))=

3x，x≤1，

A.-1B.0C.log₃2D.2

ππ

4.函数fx=sinx+sin−x的最小正周期是

63

3ππ

A.2πB.C.πD.

22

5.已知向量a=(2,3),b=(0,1),向量c满足c·(a-b)=1,则|c|的取值范围是

2211

A.+∞B.0C.+∞D.0

4488

6.函数f(x)=sinx-xcosx在区间(-3π,3π)上的极值点个数为

A.4B.5C.6D.7

7.已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点为F，圆.M:x+12+y2=16与C交于A,B两点，若直线AM与直线

BM的斜率之积为-3，则|AF|=

7

A.3B.C.4D.5

2

2

8.在正三棱柱ABC−ABC中，AB=2,AA=1,点D是平面ABC上的动点，则AD+CD的最小值是

111112

52325333

A.B.C.D.

4242

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量X(单位：g)服从正态分布N(μ,σ²),且

17

P(X＜14)=,PX≤18=.从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量X在区间[14，18]上的件

88

数记为ξ，则

3

A.μ=16B.P14≤X≤18=

4

27

C.Pξ=1=D.E(ξ)=3

64

10.已知x≠y，则下列命题正确的是

π

A.∃x,y∈0,sinx+siny＜sinx+y

2

πx+y

B.∀x,y∈0,sinx+siny＜2sin

22

π

C.∃x,y∈0,sinx−siny＜sinx−y

2

πx−y

D.∀x,y∈0,sinx−siny＜2sin

22

11.已知曲线C的方程为F(x,y)=0,集合T=xy∣Fxy=0,若对任意的x1y1∈T,都存在x2y2∈T,使得

x1y2−2=x2y1成立，则称曲线C为α曲线.下列方程所表示的曲线为α曲线的是

A.x2+y2=5B.x-y-1=0C.y=lnxD.y=e−x−2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

x2y25

12.已知椭圆+=1（m＞0）的离心率为,则m=.

m+1m5

3

13.已知函数f(x+1)为奇函数,当x＜1时,fx=ax2−xa≠0,若f(x)在1上单调递增，则a的取值范围

2

是.

14.某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪(记为△ABC)，点D，E在△ABC的边上，

线段DE把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为米.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

21an+1

已知数列{an}的首项a1=,且满足=.

3an+12an

1

(1)证明：数列−1为等比数列；

an

1

(2)若数列+n的前n项和Sn小于120，求n的最大值.

an

16.(15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60∘,

PA⊥平面ABCD,点E是棱PB的中点.

(1)求证:AB⊥CE;

3

(2)若点B到平面PCD的距离为，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.

2

17.(15分)

甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标

者获胜.假设甲每次射击命中目标的概率均为α(0＜α＜1),乙每次射击命中目标的概率均为β(0＜β＜1)，

各次射击结果互不影响.

(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为p，求p(用α，β表示)；

(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求β的最小值.

1

参考公式:若0＜q＜1,则∞q'=1+q+q2+q3+⋯=.

l=01−q

18.(17分)

已知函数f(x)=(1-2x)lnx+ax-1.

(1)若a=1,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)有且仅有1个零点，求a的值；

(3)若存在a,使得f(x)≤a+b对任意x＞0恒成立,证明:a-b＜4.

19.(17分)

x2y2

已知双曲线C：－=1（a＞b＞0）的焦点到其渐近线的距离为.2,点22

a2b2

在C上.

(1)求C的方程;

(2)点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且∣AB∣=22,线段AB的中点为M.

(i)设E03,F0−3,求|ME|·|MF|的最大值;

(ii)设P(-t,0),Q(t,0)(t＞1),点M不在x轴上，若∠MQP=2∠MPQ,

∣MP∣

求的取值范围.

∣MQ∣

参考答案

1-8.

【答案】C

【答案】D

【答案】B

【答案】C

【答案】A

【答案】A

【答案】C

【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】CD

11.【答案】ABD

12.【答案】4

13.【答案】[1,+∞)

14.【答案】20

1an+111

15.1==×an+,

an+12an22

111

两边同时-1，有−1=−1,

an+12an

1

−1

an+11

所以1=(常数),

−12

an

111

所以−1是首项为,，公比为的等比数列.

an22

1

(2)设数列的前n项和为Tn,

an

1n1n

所以T−n=1−,所以T=n+1−,

n2n2

1n1+nnn+1n+21n

所以S=T+1+2+⋯+n=n+1−+=−

nn2222

16.(1)取AB中点F,连接AC,FC,EF

因为平行四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘,所以△ABC是等边三角形

又因为是中点，所以

FABCF⟂AB

又因为E,F分别是PB,AB中点,所以.EF‖AP

又因为AP⊥底面ABCD,AB⊂底面ABCD,所以AP⊥AB

所以EF⊥AB

又因为FC⊥AB,EF,FC⊂平面EFC,EF∩FC=F

所以平面

AB⟂EFC

又因为EC⊂∓面EFC,所以AB⊥CE

(2)连接AC,BD交于点O,以O为原点张云帆讲数学

分别以OB，OC平行于AP的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系

B300,C010,D−300

设AP=a,所以P(0,-1,a)

设平面PCD的法向量为n1=x1y1z1

CD=−3−10,CP=0−2a

→→

·n=0

CD1⇒−3x1−y1=0

{→→{

−2y1+az1=0

CP·n1=0

令z1=6,则y1=3a,x1=−3a,所以n1=−3a3a6

又因为DB=2300,

∣DB⋅n∣∣−6a∣3

所以点B到面PCD的距离d=1==

∣n∣222

13a+9a+36

所以a=3,所以平面PCD的法向量n1=−3396,P0−13

又因为A(0,-1,0),所以AP=003,AB=310

设平面PAB的法向量n2=x2y2z2

→→

AF·n=03z2=0

2⇒

{→→{

3x2+y2=0

AB·n2=0

令x2=1,则y2=−3,z2=0,所以n2=1−30

设平面PAB与平面PCD夹角为θ,

∣n⋅n∣3

所以cosθ=12=.

∣n∣n∣4

12

17.(1)甲先射，甲第2次射且胜的概率为p

第1次甲不中,1-α,

第1次乙不中,1-β,

第2次甲中，α，

所以p=(1-α)(1-β)α.

(2)乙先,乙胜为pz,甲胜为p甲,

乙胜：第1次乙中，β，

第1次乙不中，第1次甲不中，第2次乙中，1−β21−α2β,

第1，2均未命中，第3次乙中，1−β21−α2β,

因为构成等比，首项q1=β,公比q=(1-α)(1-β),

β

故p=∞β[1−α1−βk=.

乙k=01−1−α1−β

1−βα

同理，甲胜：p=,

甲1−1−α1−β

α

因为p＞p,所以β＞α1−β⇒β＞,

乙甲1+α

1

又α∈(0,1),所以β=.

min2

18.f(x)=(1-2x)lnx+ax-1

1−2x

f'x=−2lnx++a

x

1−x−21

(1)当a=1时,f'x=−2lnx+,f''x=−＜0,

xxx2

所以f'(x)单调递减,又f'(1)=0,所以f'(x)在(0,1)为正,(1+∞为负

所以f(x)在(0,1)为↗,(1,+∞)为\.

−21

2f''x=−＜0

xx2

所以f'(x)单减,f'(1)=a-1

①由(1)知,a=1时,f(1)=0,(0,1)↗,(1,+∞)\,此时仅有1个零点1,此时(a=1符合；

'

②当a＞1时,f1=a−1＞0,∃x0＞1,使fx0=0,f(x)在0x0↑,x0+∞,

'1−2x02x0−1

fx0=0⇒−2lnx0++a=0⇒a=2lnx0+,

x0x0

fxmax=fx0=1−2x0lnx0+ax0−1

=1−2x0lnx0+2x0lnx0+2x0−1−1

=lnx0+2x0−2,

设h(x)=lnx+2x-2∴h(1)=0,所以h(x)＞0

所以fxmax=lnx0+2x0−2＞0,又x→0,f(x)→-∞,

所以f(x)有两个零点，舍.

''

③当a＜1时,f1=a−1＜0,∃x0∈01,使fx0=0,f(x)在(0x0/,x0+∞＞

fxmax=fx0=lnx0+2x0−2,由②知fx0＜0,所以f(x)＜0无零点，舍

综上,a=1

(3)f(x)≤a+b即(1−2xlnx+ax−1≤a+b,即b≥1−2xlnx+ax−1−1=gx

若对∀x＞0恒成立,即b≥gxmax,

1−2x1

又g'x=−2lnx++a=−2lnx++a−1

xx

−21

g''x=−＜0,g''x＜0⇒g'x

xx2

且x→0时,g'x→+∞,x→+∞时，g'x→−∞

'11

故∃x0＞0,使gx0=0即−2lnx0++a−2=0,即a=2lnx0−+2

x0x0

此时gxmax=gx0=1−2x0lnx0+ax0−1−1

1

=1−2x0lnx0+2lnx0−+2x0−1−1

x0

1

=−lnx0+2x0+−4

x0

欲证a-b≤4,此时b≥gx0⇒−b≤−gx0

11

所以a−b≤a−gx0=2lnx0−+2+lnx0−2x0−+4

x0x0

2

=3lnx0−2x0−+6

x0

2−2x2+3x+2−2x+1x−2

设px=3lnx−2x−+6⇒p'x==

xx2x2

p(x)max=p(2)=3ln2-4-1+6=3ln2+1=3×0.7+1=3.1＜4

所以a-b≤4,证毕.

x2y222

19.1b=2,所以−=1,所以−=1,所以a2=1

a22a22

y2

所以x2−=1所求

2

(2)渐近线:y=±2x,设Ax12x1,Bx2−2x2,μxy

2

2

因为∣AB∣=22,所以x1−x2+2x1+x2=22

22

所以x1−x2+2x1+x2=8

2y2

所以2y=2×4x2=8即