2026届湖北省楚天协作体高三3月联考数学

高三数学参考答案

一.选择题部分

12345678

CBABDACB

91011

ADBCDACD

7.【详解】对于①选项,设{an}的前n项和为Sn,S2n.an，

所以数据a1,a2,a3,,a2n-1的平均数是an，故①选项正确：

对于②选项，当n=2时，取{bn}为2，4，8，

平均数为b2=4，故②选项错误；

对于③选项，a1,a2,a3,,a2n-1的中位数是an，b1,b2,b3,,b2n-1的中位数是

bn,bnb2n2anan，故③选项正确；

对于④选项，数列{an}的前2n-1项和为S2n-1=(2n-1).an，

所以数列{an}的前2n-1项和的平均数为an，

数列{bn}是各项均为正数，且公比q>1的等比数列，

所以b1<b2<<b2n-1，

所以{bn}的前2n-1项和b1+b2++b2n-1<(2n-1)b2n-1，

所以数列{bn}的前2n-1项和的平均数小于bn，

由③选项知，bn<an，所以数列{an}的前2n-1项和的平均数比{bn}的前2n-1项和的平均数

大，④选项正确.

8.【详解】由关于x的方程2lnx2+1有实根，得关于x的方程ln(ax

有实根，

设方程的实根为则

ln(ax+)=·x0，ln

得到.，即·，

ax0+=eax0+b-e=0

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设点,b)，则点在直线

P(aPx0xy-e

21

x+

点O(0,到直线0的距离d=，

0)x0xy-e=

4

设t函数f(t)=,t≥,求导得f,

当t<1时，f,(t)<0；当t>1时，f,(t)>0，

函数f(t)在[,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，

2222

因此f(t)min=f(1)=e，|OP|≥d=f(t)≥e，则a+b=|OP|≥e，

(3

ae

e0

检验：当时，,由=，2，此时222；

t=1x0=±解得{a+b=e

b

l

e

e=0

由，解得，此时a2+b2=e2

11.根据题意可知准线方程为2x+1=0，即C的准线方程为x=-，

所以-=-，即p=1，

所以m=2p=2，

则抛物线C的方程为：y2=2x，故A正确；

依题意得直线l的方程为y=kx-1，

当k=0时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，

当k≠0时，代入y2=2x，

得k2x2-(2k+2)x+1=0，

则Δ=4(k+1)2-4k2=8k+4>0且k≠0，解得k且k≠0，

所以k的取值范围是(0,+∞)，故B错误；

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据韦达定理可得：

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2

所以.=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-1)(kx2-1)=(1+k)x1x2-k(x1+x2)+1，

代入可得：

若k>m，即k>2，则0<<，

2

))

所以-=(|-1l-1∈(|-,0l，

(,(,

即.的取值范围是故C正确；

因为直线OB的方程为y=x，

2

所以点D的坐标为，

设线段AD的中点为N(x0,y0)，则x0

则x0+y0=x1++==

所以点N(x0,y0)在直线x+y=0上，故线段AD的中点在一条定直线上.故D正确

二.填空题

12.15014.2

三.解答题

第3页共9页

15.（1）零假设H0为：学生的满意度与学部无关..........1分

代入2×2列联表中的数据可得：

Kx0.01........4分

根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，

故可认为学生的满意度与所处学部无关.........5分

（2）从不满意的学生中，采用分层抽样的方法，得到初中部学生与高中部学生的抽样比为

2:1，则9名使用者中初中部6人、高中部3人..........6分

因为4人中高中部人数为X，所以X的可能取值为0,1,2,3，其对应的概率分别为：

,P...........10分

X的分布列为：

X0123

P

故数学期望为E.........13分

16.（1）连接AC、BD、EF，

根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF的中点，

所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以AE∥FC,DE∥BF，......2分

又AE平面EAD，FC丈平面EAD，AE∥FC，所以FC/平面EAD，.....3分

DE平面EAD，FB丈平面EAD，所以FB∥平面EAD，.......4分

FB//平面EAD，FC/平面EAD，又FB、FC在平面ECB内相交于点F，

所以平面EAD//平面FCB.....6分

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（2）根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系

则A(,0,0),D(0,-,0),F(0,0,-),B(0,,0)，......7分

所以·、iYV

=(,·、2,0),=(,0,2),=(0,,0)，

设平面FAD的一个法向量为=(x,y,z)，则丄,丄，

(l.=0(l·、x+y=0

所以{，即{,令x=-1，则y=z=1，

l.FA=0l、x+z=0

所以平面FAD的一个法向量为=(-1,1,1)，.....9分

因为点P为棱EB上的动点，

所以设=λ,(0≤λ≤1)

则λ()+λ(、i=((1-λ)λ分

=+=+=-,00,-2,、2)-,、)，....10

设直线AP与平面FAD成的角为θ,

.AP2·、2

sinθ===、

2

2,分

.2+2(1-λ)+2λ2「1)3......12

.12(|λ-+

L|(2,4

又0≤λ≤1，

当λ=时，=，当λ=1或0时，=，.......14分

(sinθ)max(sinθ)min

故直线AP与平面FAD成的角的正弦值的范围分

17.（1）因为.=1，即：4Sn+(-2n-1)an=1→4Sn-(2n+1)an=1．①.......1分

当n=1时，4S1-3a1=1，

又S1=a1，所以a1=1．.....2分

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当n≥2时，4Sn-1-(2n-1)an-1=1，②

．

由①-②整理得：4an=(2n+1)an-(2n-1)an-1

整理得=)，......3分

由累乘法得：an=a

代入比值：ann-1,...5分

当n=1时，a1=1=2×1-1，符合上式，

．

所以数列{an}的通项公式为an=2n-16分

（2）当n为偶数时，

Tn=(b1+b3+b5+...+bn-1)+(b2+b4+b6+...+bn)

=(a1+1)+(a3+1)+(a5+1)+...+(an-1+1)+(3a2+3a4+3a6+...+3an)

2

所以Tn-Sn=n+n，n为偶数(n≥2)，.........9分

由Tn-Sn>λn恒成立，得λ<n+，

n是偶数，当n=2时，n+有最小值，所以分

当n为奇数时，n+1为偶数，

所以Tn-Sn=nn为奇数，.......13分

由Tn-Sn>λn恒成立，得λ<n+-，

又f=x在[1,+∞)上单调递增，

所以当n=1时，f=n有最小值1，所以λ<1．

综上，实数λ的取值范围是(-∞,1).......15分

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18.（1）由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，有tan，可得b=a，......1分

又由点T在双曲线C上，有

代入b=y3a，有，可得a=1，b=，.......2分

故双曲线的标准方程为x分

222

（2）设点M的坐标为(x0,y0)，则x0-=1，即3x0-y0=3．

双曲线的两条渐近线ll的方程分别为

1，2x-y=0,x+y=0，

y0y0

则点M到两条渐近线的距离分别为d,d，....5分

则

d1d

所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值．.....7分

（3）存在λ=2．

①当x0=2时，MF=AF=3，又N是AM的中点，

所以上AFN=上MFN=45。，所以上AFM=2上AFN，此时λ=2．....9分

②当x0≠2时．

ⅰ)当M在x轴上方时，由A(-1,0),M(x0,y0)，可得kAM

所以直线AM的直线方程为y=(x+1)，.....10分

把x代入得N

所以则分

kNFtan上AFN

由二倍角公式可得tan2上AFN分

因为直线MF的斜率kMF=及tan上AFM=-k，

-MF

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所以tan上AFM则tan上AFM=tan2上AFN．.....14分

)

因为上AFM∈(0,π),上AFN∈(|0,l，

(,

所以上AFM=2上AFN．......15分

ⅱ)当M在x轴下方时，同理可得上AFM=2上AFN．

故存在λ=2，使得上AFM=2上AFN．......17分

19.（1）由题意求导可得f,(x)=......1分

当x∈(0,e)时，f,(x)>0,f(x)在x∈(0,e)上单调递增，

当x∈(e,+∞)时，f,(x)<0,f(x)在x∈(e,+∞)上单调递减，

则fmax=f分

当x>1时，f(x)>0，当x→+∞时，f(x)→0，当x→0时，f(x)→-∞.

所以f(x)的大致图象如图所示.

...3分

当