2026届广东一模数学试题+答案

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2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)

数学

本试卷共5页，19题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场

号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡的

“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目

选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答

案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各

题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写

上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

1.已知集合A={2,al,B=1-2,b,若A=B,则a+b=

A.-2B.0C.2D.4

2.在(1-x)⁴+(1-x)⁵的展开式中，含x²的项的系数是

A.-4B.4C.-16D.16

3.已知i为虚数单位，复数z=(cos75°+isin75°)(cos15°+isin15°),则|z|=

A.1B.√2C.2D.√6

4.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=√3x的图象上，则

这个正三角形的边长为

A.√3B.3C.2√3D.6

5.已知数据x₁,x₂,x₃的平均数为1,方差为2,则数据x₁,x₂,x₃,2x₁-1,2x₂-1,

2x₃-1的方差为

A.4B.5C.6D.7

数学模拟测试(一)第1页(共5页)

6.已知右图是一个边长为3的九宫格(由9个边长为1的小正方形构

成),九宫格中有16个节点(如图加黑的16个点),从这16个点中

任选互不相同的三个点A,B,C,则AB·AC的最大值为

A.12B.13

C.15D.18

7.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4,P为正方形

BCC₁B₁的中心，Q为棱DD₁的中点，过点A,P,Q的平面

将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为

A.16B.18

C.D.24

8.已知曲线C:(x²-y)·3²-y=81,则曲线C上的点到原点距离的最小值为

B.2C.2√2D.√22

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列四个函数中，以2π为最小正周期，且在区间上单调递减的是

A.y=-sinxB.y=1+cosx

C.y=-tanxD.

10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯定理，随机事件A,B

存在如下关系：张同学每天的运动计划包括两种主要方

式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为,选择户外运

动的概率为·如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为

如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率则张同学

A.第二天去室内健身的概率为

B.第二天去户外运动的概率为

C.若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为·

D.若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率

数学模拟测试(一)第2页(共5页)

11.在半径为定值的球0的表面上有四个不共面的点A,B,C,D,且AB为球0的直

径，已知∠AOC和∠COD的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体ABCD存

在的情况下，使得四面体ABCD体积有唯一值的条件可以是

A.AD的长B.∠BCD的大小

C.CD与平面ABC所成角的大小D.二面角C-AB-D的大小

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

12.已知等差数列{an的前n项和为Sn,若a₅=3,则S₉=

13.如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月

牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点

0和点C,月牙尖的坐标分别为A(-1,2),B(2,-1),则圆C

的标准方程为_

14.如图，0为坐标原点，F₁,F₂为椭圆C:的两个焦点，过F₁,F₂分别

作椭圆C的切线l的垂线，垂足分别为H₁,H₂.当OH₁⊥OH₂时，△OH₁H₂的面积

为

四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19

题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题

卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.

15.(本小题满分13分)

如图，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=

∠FAB=90°,AD=2BC,AP=2BE.

(1)求证：C,D,E,F四点共面；

(2)设AB=2,BC=BE=1,求平面ADE与平面CDE夹角的余弦值.

数学模拟测试(一)第3页(共5页)

16.(本小题满分15分)

设函数f(x)=e-a,已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.

(1)求a的值；

(2)设函数证明：g(x)>-1.

17.(本小题满分15分)

设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A≤B,记

(1)若A,B,C成等差数列，求m的最小值；

(2)若a,b,c成等比数列，求m的取值范围.

18.(本小题满分17分)

设双曲线C:1(a,b>0)的离心率为2,其左、右焦点分别是F₁,F₂,过

F₂的直线l与双曲线C的右支交于点M,N.当MN与x轴垂直时，|MN|=6.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)求|MF₂|·|NF₂|的最小值；

(3)记△F₁MN的内切圆OP与双曲线C的一个公共点为Q,双曲线C的左顶点为

A,证明：∠APQ=2∠F₂PQ.

数学模拟测试(一)第4页(共5页)

19.(本小题满分17分)

甲社区有n个女生和n个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有n个女生

g₁,g₂,…,gn和2n-1个男生b₁,b₂,…,b₂n-1,其中女生g:(i=1,2,…,n)

认识男生b;(j=1,2,…,2i-1),但不认识其他男生.现从甲社区和乙社区分别

选出m(m=1,2,…,n)队选手参加社区比赛，每队选手均为2人.

(1)若n=3,m=1,求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；

(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区

选出的m队的不同的选法种数为Aₙ(m)和B(m).

(i)求A,(m),并证明：当2≤m≤n-1时，A(m)=An_1(m)+(2n-m)An-1(m-1)

三者之间的递推公式，并说明理由；

(ii)若乙社区将选出的m个男生和m个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果

满足参赛要求的概率.

数学模拟测试(一)第5页(共5页)

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2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)

数学参考答案

一、单项选择题

题号12345678

答案BDADBCDA

二、多项选择题

题号91011

答案BDACDABC

三、填空题

12.2713.(x-1)²+(y-1)²=514.2

四、解答题

15.【详解】(1)方法一：因为CE=BE-BC………………1分

且AD=2BC,AF=2BE………………2分

所以DF=AF-AD=2BE-2BC=2(BE-BC)=2CE……………3分

所以EC//DF……………4分

又因为点C,D,E,F不在同一条直线上，

所以EC//DF,………………………5分

所以C,D,E,F四点共面.………6分

方法二：如图1,因为AD=2BC,AF=2BE,

所以AD//BC,且AD=2BC,AF//BE,且AF=2BE………………1分

延长AB,DC交于点P₁,延长AB,FE交于点P₂…………………2分

……………3分

所以点P₁,P₂为同一点，记为点P…………………4分

即FE与DC交于点P,

故直线FE与DC共面…………………5分

所以C,D,E,F四点共面.……………………6分

数学模拟测试(一)参考答案第1页(共9页)

图1图2

(2)因为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,FAC平面ABEF,

FA⊥AB,

所以FA⊥平面ABCD,7分

又因为AD⊥AB,

所以，如图2,以点A为坐标原点，AB,AD,AF所在的直线分别为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),D(0,2,0),E(2,0,1),C(2,1,0),

AD=(0,2,0),DE=(2,-2,1),EC=(0,1,-1),8分

设平面ADE的法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁),

则即解得

取x₁=1,则n₁=(1,0,-2),…………10分

设平面CDE的法向量为n₂=(x₂,Y₂,Z₂),

即解得

取z₂=2,则n₂=(1,2,2),………………11分

所以|cos<n₁,……………12分

所以平面ADE与平面CDE夹角的余弦值……………13分

16.【详解】(1)因为f(x)=eˣ-a,

所以y=xf(x)=xe-ax,

y'=e-a+xe*,………3分

数学模拟测试(一)参考答案第2页(共9页)

因为x=0是函数y=xf(x)的极值点，

所以y'lx=o=1-a=0,解得a=1…………………5分

当a=1时，y'=e*-1+xe*=(x+1)eˣ-1,

方法一：当x>0时，

因为x+1>1,eˣ>1,

所以(x+1)eˣ>1,即y'>0,函数y=xf(x)单调递增；…………6分

当x<0时，

因为x+1<1,0<e*<1,

所以(x+1)eˣ<1,即y'<0,函数y=xf(x)单调递减；………7分

综上所述，x=0是函数y=xf(x)的极小值点，符合题意.故a=1……………8分

方法二：令φ(x)=(x+1)e-1,φ'(x)=(x+2)e*,

当x<-2时，φ'(x)<0,当x>-2时，φ'(x)>0,

故φ(x)在(-∞,-2)上单调递减，在(-2,+∞)上单调递增…6分

易知，当x≤-1时，φ(x)=(x+1)e*-1<0,

又因为φ(0)=0,且φ(x)在(-1,+∞)上单调递增，

所以-1<x<0时，φ(x)<0,x>0时，φ(x)>0………………7分

故当x<0时，φ(x)<0,即y'<0,函数y=xf(x)单调递减，当x>0时，φ(x)>

0,即y'>0,函数y=xf(x)单调递增，故x=0是函数y=xf(x)的极小值点，符合

题意.故a=1.…………………8分

(2)由(1)得f(x)=e*-1,所以,x≠0,

由(1)可知，x=0是函数y=xf(x)的极小值点，

所以对任意的x≠0,y=xf(x)>0………………10分

即证x-(e*-1)>-x(e*-1),化简得(x-1)(e*-1)+x>0,

令h(x)=(x-1)(e*-1)+x,h'(x)=xe*,…………………12分

当x∈(-∞,0)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，h'(x)>0,

h(x)单调递增，…………………13分

所以h(x)>h(0)=0……………14分

综上所述，在x∈(-∞,0)U(0,+∞)上恒成立.…15分

数学模拟测试(一)参考答案第3页(共9页)

……………4分

因为A,B,C成等差数列，

所以2B=A+C,

又因为A+B+C=π,

所以……………………5分

又因为A≤B,

所以……………………6分

因为A+B+C=π,

所以……………8分

当tanA取最大值时，m取得最小值，

因为

故当时，m取得最小值1.……………9分

(2)因为a,b,c成等比数列，

所以b²=ac,……………………10分

由(1)知

所以………11分

将b=√ac代入|a-c|<b<a+c并化简得(a-c)²<ac<(a+c)²,

同除以ac,,即

…………12分

数学模拟测试(一)参考答案第4页(共9页)

解得………13分

又因为A≤B,

所以a≤b,即a≤√ac,解得………14分

故m的取值范围………………15分

18.【详解】不妨设点M在第一象限，点N在第四象限.

(1)离心率①………1分

当x=c时，,所以即②……2分

又因为c²=a²+b²,……………3分

……………………4分

所以双曲线C的标准方程为………5分

(2)由(1)得F₂(2,0),

当直线MN斜率为0时，直线MN与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合

条件；……………6分

当直线MN斜率不为0时，设直线MN为x=ty+2,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),

化简得(3t²-1)y²+12ty+9=0,

…………………7分

由题意解得…………………8分

|MF₂I·|NF₂I=√1+t²·Iy₁1·√1+t²·

…………………10分

数学模拟测试(一)参考答案第5页(共9页)

因为

所以0<1-3t²≤1,

所以|MF₂I·|NF₂|的最小值为9.……………11分

(3)如图3,设◎P与边MN切于点E,

由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，

2|ME|=|MF₁I+|MN|-|NF₁I=|MF₁|+|MF₂|+

|NF₂I-|NF₁I=(2+|MF₂I)+|MF₂|-(|NF₁I-

|NF₂I)=2+|MF₂|+|MF₂I-2=2|MF₂I,

所以点F₂与点E重合，即◎P与边MN切于点F₂.

…………………13分

设⊙P与边F₁M切于点G,

所以|GF₁I=|MF₁I-|MG|=|MF₁I-|MF₂|=2,图3

在直角三角形PGF₁中，|PF₁I²=|PGI²+|GF₁I²=|PF₂I²+|GF₁I²=|PF₂I²+4,

设点P(x₀,yo),点Q(x₃,y₃),

则(xo+2)²+yỏ=(x₀-2)²+y2+4,

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所以点P在直线……………………14分

过点Q(x₃,y₃)作直线的垂线，交直线于点T,

………15分

设点Q关于的对称点为点D,

所以IQF₂|=2|QT|=|QD|.

因为点Q与点D,点A与点F2分别关于直线对称，

所以|DA|=|QF₂|=|QD|,|PA|=|PF₂|且|PQl=|PD|,所以点A,D,Q均在

⊙P上，且∠APD=∠DPQ=∠QPF₂,…………………16分

数学模拟测试(一)参考答案第6页(共9页)

所以∠APQ=2∠F₂PQ.17分

19.【详解】(1)设事件A₁表示“甲社区的参赛选手都是女生”,事件B₁表示“乙社区的

参赛选手都是女生”,事件A₂表示“甲社区的参赛选手都是男生”,事件B₂表示

“乙社区的参赛选手都是男生”,

贝.……………1分

所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况：都是男生或者都是女生，即

A₁B₁UA₂B₂.…2分

因为A₁NA₂=,

所以A₁B₁∩A₂B₂=,即事件A₁B₁与A₂B₂互斥，

易知事件A₁与B₁相互独立，事件A₂与B₂相互独立，………3分

所以所求事件的概率

……………5分

(2)(i)方法一：因为甲社区中男生和女生都认识，因此A,(m)=(C")²·A"=

…………6分

当2≤m≤n-1时，Aₙ_1(m)=(Cm_1)²·

Aₙ_(m-1)=(Cm二1)²·……7分

观察结构，运算

…………………8分

……………………9分

两边同时乘I得A,(m)=A-1(m)+(2n-m)A,_(m-1).

…………………10分

数学模拟测试(一)参考答案第7页(共9页)

方法二：因为甲社区中男生和女生都认识，因此Aₙ(m)=(C")²·Am=

……………6分

A,(m)表示甲社区从n个女孩和n个男孩选出m队，考虑甲社区中的女生X和男

生Y,可以分成以下四种情况：

①女生X和男生Y都没被选上，此时剩下n-1个男生和n-1个女生，从中选出

m队，共有A,-1(m)种选法；…………………7分

②女生X选上了，男生Y没被选上，第一步，从除女生X和男生Y外的n-1个男

生和n-1个女生中选出m-1队，共有An-1(m-1)种选法；第二步，男生还剩下

n-m+1人，排除男生Y,选一个男生和女生X组队，共有n-m种选法，因此②

共有(n-m)A,_1(m-1)种选法；

③女生X没选上，男生Y选上了，情况与②类似，共有(n-m)A,-1(m-1)种选

法；………………8分

④女生X和