2026版高考物理二轮复习微切口3　圆周运动中的受力和能量问题

微切口3圆周运动中的受力和能量问题类型1有摩擦作用如图所示，一轻支架由水平段ON和竖直段OO′组成．轻弹簧一端固定于O点，另一端与套在水平杆ON上的A球相连，一根长为10cm的轻绳连接A、B两球．A球质量mA＝1kg，B球质量mB＝4kg，A球与水平杆的动摩擦因数μ＝0.36，弹簧原长20cm，劲度系数k＝450N/m.初始时使A球尽量压缩弹簧并恰好处于静止状态．现使系统绕OO′轴缓慢转动起来，转动过程中保持A、B两球始终与OO′在同一竖直平面内，当系统以某角速度稳定转动时，细绳与竖直方向成37°角，此时弹簧的弹力大小恰好与初始时相同．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2.求：(1)初始时弹簧的长度．(2)细绳与竖直方向成37°角时，系统转动的角速度．(3)整个过程中驱动力对系统所做的总功．答案：(1)0.16m(2)5rad/s(3)7.46J【解析】(1)初始时弹簧处于压缩状态，A球恰好处于静止状态，设初始时弹簧的压缩量为Δl，弹簧原长为l0则kΔl＝μ(mA＋mB)g代入数据解得Δl＝0.04m所以初始时弹簧的长度l＝l0－Δl＝0.16m(2)当系统以某角速度稳定转动，弹簧的弹力大小与初始时相同时，对B球，有mBgtan37°＝mBω2rBrB＝l0＋Δl＋Lsin37°代入数据解得ω＝5rad/s(3)根据能量守恒，整个过程中驱动力对系统所做的总功等于两球的动能增加量、B球的重力势能增加量以及A球与水平横杆间摩擦产生的内能之和W＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mBveq\o\al(2,B)＋mBg(L－Lcos37°)＋μ(mA＋mB)g·2ΔlvA＝ωrArA＝l0＋ΔlvB＝ωrB代入数据解得W＝7.46J.类型2无摩擦作用(2021·江苏卷)如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°.现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到0，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反，重力加速度为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)装置静止时，弹簧弹力的大小F.(2)环A的质量M.(3)上述过程中装置对A、B所做的总功W.答案：(1)eq\f(3,8)mg(2)eq\f(9,64)m(3)eq\f(31,30)mgL【解析】(1)设AB、OB的张力分别为F1、F2，A受力平衡F＝F1sin37°B受力平衡F1cos37°＋F2cos37°＝mgF1sin37°＝F2sin37°解得F＝eq\f(3,8)mg(2)设装置转动的角速度为ω对A有F＝Mω2·eq\f(8,5)L对B有mgtan53°＝mω2·eq\f(4,5)L解得M＝eq\f(9,64)m(3)B上升的高度h＝eq\f(1,5)L，A、B的动能分别为EkA＝eq\f(1,2)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω·\f(8,5)L))2EkB＝eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω·\f(4,5)L))2根据能量守恒定律可知W＝(EkA－0)＋(EkB－0)＋mgh解得W＝eq\f(31,30)mgL.求解圆周运动中受力和能量问题的方法1.选择研究对象，根据运动状态求某一个力或合力．2.根据圆周运动的知识求向心力、向心加速度等．3.根据功能关系或动能定理求解该过程中外力对装置所做的功．(2025·如皋第二次适应性考试)如图所示，足够长的水平轻杆中点O固定竖直轻质转轴，小球A和B分别套在水平杆中点两侧，原长L0＝0.8m的轻质弹簧一端固定在O点，下端与套在转轴上的小球C连接，C分别与A、B用长L＝1m的轻质细线连接．装置静止时，两根绳恰好拉直且无张力．在外力作用下，装置绕转轴缓慢增大转速，C缓慢上升．小球A、B、C的质量均为m＝1kg，均可看成质点，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10m/s2.求：(1)弹簧的劲度系数k.(2)当绳AC与水平方向成37°时，装置转动的角速度ω.(3)从静止开始到绳AC与水平方向成37°过程中，外力对装置做的功W.答案：(1)50N/m(2)eq\f(5\r(6),3)rad/s(3)eq\f(44,3)J【解析】(1)小球C受力平衡k(L－L0)＝mg解得k＝50N/m(2)设AC绳与水平方向成37°时对小球C有2Tsin37°＝mg＋k(L0－Lsin37°)对小球A有Tcos37°＝mω2Lcos37°解得ω＝eq\f(5\r(6),3)rad/s(3)细绳从竖直位置到与水平方向成37°过程中，弹簧弹性势能不变，小球的速度v＝ωLcos37°竖直转轴对小球系统做功W＝mg(L－Lsin37°)＋2×eq\f(1,2)mv2解得W＝eq\f(44,3)J.配套热练1.如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，细线与水平杆平行，环A的质量为m，小球B的质量为2m.现使整个装置绕竖直轴以角速度ω匀速转动，细线与竖直方向的夹角为37°.缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动，细线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等，已知重力加速度为g(1)当装置转动的角速度为ω时，细线OB的长度s.(2)当装置转动的角速度为2ω时，弹簧的弹力大小F.(3)装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，细线对小球B做的功W.答案：(1)eq\f(5g,4ω2)(2)2mg(3)eq\f(199mg2,144ω2)【解析】(1)当装置转动的角速度为ω时，对小球B有T1cos37°＝2mgT1sin37°＝2mω2ssin37°解得OB的长度s＝eq\f(5g,4ω2)(2)当装置转动的角速度为2ω时，设OB的长度变为s′，对小球B有T2cos53°＝2mgT2sin53°＝2m(2ω)2s′解得s′＝eq\f(5g,12ω2)设细线的长为L，对圆环A分析角速度为ω时，T1－F＝mω2(L－s)角速度为2ω时，T2＋F＝m(2ω)2(L－s′)解得F＝2mg(3)装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，对小球B分析重力势能的变化量ΔEp＝2mg(scos37°－s′cos53°)动能的变化量ΔEk＝eq\f(1,2)·2m[(2ωs′·sin53°)2－(ωs·sin37°)2]细线对小球B做的功W＝ΔEp＋ΔEk＝eq\f(199mg2,144ω2)2.(2025·常州调研)如图所示，直角细支架竖直段AB粗糙、水平段BC光滑且均足够长，AB段、BC段各穿过一个质量1kg的小球a与b，a、b两球通过长1m的细线连接．支架以初始角速度ω1绕AB段匀速转动，此时细线与竖直方向的夹角为37°，两小球在支架上不滑动．现缓慢增大角速度至足够大，此后又缓慢减小至ω2，ω1＝ω2＝eq\r(10)rad/s，在此过程中小球a由静止缓慢上升至最高点后缓慢下滑．小球a与AB段间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.支架转动角速度从ω1变化到ω2过程中，求：(1)初始时刻，细线中的张力大小．(2)小球a重力势能的变化量．(3)细线与竖直方向夹角θ的最大值(用三角函数表示)．答案：(1)10N(2)2J(3)见解析【解析】(1)当角速度为ω1时，对小球b有T1sinθ1＝mωeq\o\al(2,1)r1其中r1＝Lsinθ1解得T1＝10N(2)当角速度为ω2时，对小球b分析得T2＝10N对小球a有T2sinθ2＝N2T2cosθ2＋f2＝mgf2＝μN2联立解得cosθ2＋0.5sinθ2＝1解得θ2＝53°小球a重力势能的变化量ΔEp＝mg(Lcosθ1－Lcosθ2)解得ΔEp＝2J(3)缓慢增大角速度，a球缓慢上升过程中Tsinθ＝NTcosθ－f＝mgf＝μN可得T(cosθ－μsinθ)＝mg对b有Tsinθ＝mω2Lsinθ联立解得cosθ－μsinθ＝eq\f(g,ω2L)当ω趋于无穷大时，θ最大，此时cosθm－μsinθm＝0解得tanθm＝23.(2024·南通第三次调研)如图所示，足够大的光滑板固定在水平面内，板上开有光滑的小孔O，细线穿过小孔，将小球A、B、C拴接．小球A在光滑板上做匀速圆周运动，小球B、C自然下垂处于静止状态．已知小球A、B、C的质量均为m，小球A到小孔O的距离为L，重力加速度为g.(1)求小球A做圆周运动的速度大小v0.(2)剪断B、C间细线瞬间，小球A的加速度大小为aA，求此时小球B的加速度大小aB.(3)剪断B、C间细线后，小球B运动到最高点的过程中(小球B未与板接触)，细线对小球B做的功为W.求小球B运动到最高点时小球A的角速度大小ω.答案：(1)eq\r(2gL)(2)aA－g(3)eq\f(\r(2m2gL－2Wm),mgL＋W)g【解析】(1)小球A做圆周运动，设A、B间绳中的张力为F1小球B、C静止，则F1＝2mg小球A做匀速圆周运动有F1＝meq\f(v\o\al(2,0),L)解得v0＝eq\r(2gL)(2)剪断B、C间细线，设A、B间绳中的张力为F2对小球A有F2＝maA对小球B有F2－mg＝maB解得aB＝aA－g(3)小球B由静止运动到最高点上升高度为h，由动能定理得W－mgh＝0小球A、B组成的系统机械能守恒得mgh＋eq\f(1,2)mω2(L＋h)2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得ω＝eq\f(\r(2m2gL－2Wm),mgL＋W)g4.如图所示，半球形光滑圆弧槽固定在水平转台上，转台可绕竖直轴OO′转动，圆弧槽半径为R，圆心为O.质量为mA的小球A通过长L＝3R的细线连接小球B，两球静止时，A球恰在槽内壁P点，PO与水平方向间夹角θ1＝60°.现将A球移至圆弧槽的左端点Q由静止释放，转台保持静止．已知重力加速度为g.(1)求B球的质量mB.(2)求A球运动到P点时的动能EkA.(3)若将A球固定在P点，使转台绕OO′轴从静止开始缓慢加速转动，直到细线QB与竖直方向间夹角θ2＝30°，求此过程中转台对两球做的功W.答案：(1)eq\f(\r(3),3)mA(2)eq\f(8\r(3)－6,39)mAgR(3)eq\f(33\r(3)－32,48)mAgR【解析】(1)对A球在P点受力分析如图所示，OQP为正三角形，槽对A球的支持力FN与线中张力T大小相等．则2Tsinθ1＝mAg又T＝mBg解得mB＝eq\f(\r(3),3)mA(2)设A球运动到P点的速度为vA，此时B球的速度为vB，则vAsinθ1＝vB对A、B组成的系统，根据机械能守恒定律有mAgRsinθ1＝mBgR＋eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,A)