2026年初中数学中考复习专题 平行四边形问题(含解析)

平行四边形问题一阶方法突破练1.如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，在平面内确定一点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形.请在图中画出符合要求的点P，保留作图痕迹并写出作图过程.2.如图，点A，B在正方形网格的格点上，请找出两组格点C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.3.如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(3,2),C(0,4)三点，在平面内确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求点D的坐标.4.如图，平面直角坐标系中，直线l1:y=−43x+4与y轴交于点B，直线l2:y=5.如图，抛物线y=−x6.如图，抛物线y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.点D为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.二阶设问进阶练例如图，抛物线y=−x²−3x+4与x轴交于A(1,0),B两点,与y轴交于点C.直线1y=4(1)点F为y轴上一点，若四边形CDEF为平行四边形，求点F的坐标;(2)在平面内存在一点G，使得以A，C，D，G为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，求点G的坐标；(3)已知点H为直线l与x轴的交点，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，是否存在点N，使以B，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；(4)若直线l与抛物线的另一交点为F，点P是抛物线上一点，点Q为平面内一点，当四边形FCPQ为平行四边形，且面积为某值时，符合题意的点P恰好有三个，求点P的坐标；(5)如图⑤，将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线与原抛物线相交于点C，与x轴交于J，K两点，且新抛物线的对称轴与x轴交于点L，平面内是否存在点S，使得以C，L，K，S为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点S的坐标；若不存在，请说明理由.三阶综合强化练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L:y=ax²+bx+c交x轴于A,B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,3),D(2,4)为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上有一点E，点E关于抛物线L的对称轴直线l的对称点为F，若点E的横坐标为−1,,连接CD,CF,DF,求.△CDF的面积；(3)创新题·“全等抛物线”解析式定义：对于任意两条抛物线y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂a₁≠0a₂≠0,当作图区答题区2.如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A(3,0),C两点,与y轴相交于点.B0(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若∠AOM=∠ABC,,求AM的长;(3)(y轴上的动点)在(2)的条件下，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，M，E，F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.作图区答题区3.如图，抛物线y=ax(1)求抛物线的解析式；(2)点C关于x轴的对称点为(C',求(3)(x轴上的动点+抛物线上的动点)若点F在抛物线上，是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为一边的平行四边形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.作图区答题区4.如图①,抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.且(OB=OC=4OA;(1)求抛物线的解析式；(2)如图②,若D为线段BC上一动点(不与B,C重合),将射线DC绕点D顺时针旋转90°交抛物线于点P，过点P作.PE‖x轴,交BC于点E.当.△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；(3)(y轴右侧抛物线上的动点)若点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线BC于点N，是否存在点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.作图区

考向1平行四边形问题一阶方法突破练1.解:如解图①,连接AB,AC,BC,分别过点A,B,C作BC，AC，AB的平行线，三条平行线的交点即为点P.点P₁,P₂,P₃即为所求.【一题多解】如解图②,连接AB,AC,BC,分别以点A,B，C为圆心，BC，AC，AB长为半径画弧，交点即为点P.点P₁,P₂,P₃即为所求.2.解：以AB为边的平行四边形ABCD如解图①所示(答案不唯一)；以AB为对角线的平行四边形ACBD如解图②所示(答案不唯一).3.解:如解图,连接AB,AC,BC,∵AB为平行四边形的一条边，∴过点C作AB的平行线,截取CD=AB,∴AB∥CD,AB=CD.∵点B先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度即得到点A，∴点C先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度即得到点D₁，∴D₁(-2,2).同理可得D₂(2,6).综上所述，点D的坐标为(-2，2)或(2,6).4.解:∵点A是直线l₁与直线l₂的交点,且在x轴上,∴A(3,0),设Pp①当PQ,AO为平行四边形的对角线时,则PQ,AO的中点重合，∴p+q=3+0−4∴P②当PA,QO为平行四边形的对角线时,则PA,QO的中点重合，解得p=2q=5∴P③当PO,QA为平行四边形的对角线时,则PO,QA的中点重合，解得p=4q=1∴P4−43;综上所述，点P的坐标为5.解:∵抛物线y=−x∴A−32∴直线BC的解析式为y=−∵点M为BC与对称轴的交点,∴M∵以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴分三种情况讨论，①如解图①，当CM为平行四边形的对角线时，过点C作AM的平行线，过点M作AC的平行线，交于点N₁，由点A平移到点M的平移规律得N②如解图②，当AC为平行四边形的对角线时，过点C作AM的平行线，过点A作CM的平行线，交于点N₂，由点M平移到点C的平移规律得N③如解图③，当AM为平行四边形的对角线时，过点M作AC的平行线,过点A作CM的平行线，交于点N₃，由点C平移到点M的平移规律得N₃−1−综上所述，点N的坐标为(2,24)或−2346.解:存在.∵抛物线y=x²-2x-3=(x+1)(x-3)=(x-1)²-4,∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).①当BC为平行四边形的一边时，如解图①，则DE∥BC,且DE=BC,∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴点E的横坐标为1.∵点B向左平移3个单位再向下平移3个单位到点C,∴点D的横坐标为-2或4,将D点横坐标代入抛物线解析式，∴D₁(-2,5),D₂(4,5),同理,由平移规律得E₁(1,8),E₂(1,2);②当BC为平行四边形的对角线时，如解图②，则BE=CD,∴点D的横坐标为2,∴D₃(2,-3),∴CD∥x轴,∴点E在x轴上,∴E₃(1,0).综上所述,点E的坐标为(1,8)或(1,2)或(1,0).二阶设问进阶练例解:(1)∵直线l:y=4∵抛物线y=−∴E−32∵点D为抛物线的对称轴与直线l的交点，∴将x=−32代入∴D由平行四边形的性质得DE=CF，∵C(0,4),且四边形CDEF是平行四边形,∴点F只能在直线CD的上方,∴点F的坐标为0(2)∵平行四边形以AC为边,A(1,0),C(0,4),D(-32①由点C向右平移1个单位，再向下平移4个单位到点A,得点D向右平移1个单位，再向下平移4个单位到点G②由点A向左平移1个单位，再向上平移4个单位到点C,得点D向左平移1个单位，再向上平移4个单位到点G∴点G的坐标为−12−2(3)存在,设点N的坐标为((n,-n²-3n+4),B(-4,0),H(-3,0).①当BH为平行四边形的一边时，BH∥MN，∴M∵MN=BH,∴|n+32|=1,解得n=−∴N−52②当BH为平行四边形的对角线时，∵平行四边形的对角线互相平分，.∴∴−4+−3=32+n,解得n=112,∴N11(4)∵四边形FCPQ为平行四边形，且面积为某值时，符合题意的点P恰好有三个，如解图①，∴直线PQ与CF上方的抛物线只有一个交点，∵P₁Q₁∥CF,设直线P₁Q₁的解析式为y=4联立y=43x+4+a∴Δ=1699−4a=0,∴x2+∴当PQ在CF下方时，PQ与抛物线有两个交点，由题意知,直线P₂Q₂可由CF向下平移16936个单位得到，故直线P₂Q₂的解析式为联立y=4解得x∴P2综上所述，点P的坐标为−13620936或132(5)存在.∵y=−∴设平移后的抛物线解析式为y=−x+∵新抛物线经过点C,∴将C(0,4)代入,得t=3,∴y=−x−∵新抛物线与x轴交于J，K两点，对称轴与x轴交于点L，∴L(32分三种情况讨论，如解图②.①当CK为平行四边形的对角线时，由点L平移到点C的平移规律得点K平移到点S₁的平移规律，即S②当LK为平行四边形的对角线时，由点C平移到点L的平移规律得点K平移到点S₂的平移规律，即S③当CL为平行四边形的对角线时，由点K平移到点L的平移规律得点C平移到点S₃的平移规律，即S综上所述，点S的坐标为(52,4):或112−4三阶综合强化练1.解：(1)抛物线的解析式为y=−(2)【思路点拨】要求△CDF的面积，可将其分成两个同底的三角形，再利用抛物线的对称性，得到F点到y轴的距离，即可求得△CDF的面积.如解图①，设直线l与线段CF交于点G，∵点E的横坐标为-1，点E关于直线l的对称点为点F,由(1)得，抛物线的对称轴为直线x=2，∴点F的横坐标为5，∴F(5,74设直线CF的解析式为y=kx+p,把(C(0,3)和F(5,74).代入，得p=35k+p=74∴直线CF的解析式为y=−14x+3,∴SCDF(3)存在.如解图②，当四边形ACBM₁为平行四边形时，由点C平移到点A的平移规律，得点M₁的坐标为(4，-3)；当四边形ABM₂C为平行四边形时，由点A平移到点C的平移规律，得点M₂的坐标为(8，3)；当四边形ABCM₃为平行四边形时，由点B平移到点C的平移规律,得点M₃的坐标为(-8,3),过点A，B，M₁的抛物线解析式L过点B，C，M₂的抛物线解析式L过点A，C，M₃的抛物线解析式L∵抛物线L的解析式为y=−∴抛物线L1:y1=14x22.解：(1)抛物线的解析式为y=x²−2x−3=x−1(2)∵抛物线y=x²−2x−3,当y=0时,解得x=3或x=-1,∴C(-1,0).∵B(0,-3),A(3,0),∴OA=OB=3,OC=1,∴AC=4,AB=32.∵∠AOM=∠ABC,∠MAO=∠CAB,∴△AMO∽△ACB,∴AMAC=∴AM=2(3)【思路点拨】根据特殊角∠OAB=45°,可得到△OAB为等腰直角三角形，得点M的坐标，分AM为边和AM为对角线两种情况，根据平行四边形对角线互相平分的性质及点M的坐标可得点F的横坐标，代入抛物线解析式即可得到点F的坐标.存在.由(2)可知AM=22,OA=OB,∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°,如解图①,过点M作MH⊥x轴于点H,∴MH=AH=2,∵OA=3,∴OH=1,∴M(1,-2).分两种情况：①当AM为平行四边形的边时，由点A平移到点M的规律得点F的横坐标为2或-2,如解图②,当x=2时,y=-3,∴F₁(2,-3);当x=-2时,y=5,∴F₂(-2,5);②当AM为平行四边形的对角线时，由点E平移到点M的规律得点F的横坐标为4，如解图③,当x=4时,y=5,∴F₃(4,5).综上所述,点F的坐标为(2,-3)或(-2,5)或(4,5).3.解：(1)抛物线的解析式为y=−(2)【思路点拨】一般求线段和的最小值问题时，考虑用对称性，找到点C关于x轴的对称点C'，通过构造直角三角形，并结合三角函数得到C'∵抛物线与y轴交于点C,∴C(0,3),∵点C'与点C关于x轴对称,∴点C'的坐标为(0,-3),如解图①,过点E作EM⊥AC于点M,过点C'作C'H⊥AC于点H,交OA于点E',在y=−34x2∴A(-4,0),C(0,3),∴AC=5,∴∴∵∠CAB+∠AC∴∠CAB=∠HC'C,∴cos∠CAB=cos∠HC'C.∵CC'=6,∴C'H=CC'⋅cos∠HC'∴OE'∴点E的坐标为−(3)【思路点拨】可通过作平行线，得到交点，联立解析式求点F坐标，也可以平移直线AC，平移后的直线与抛物线的交点即为所求点F.存在.如解图②,①过点C作CF₁∥x轴交抛物线于点F₁,过点F₁作F₁E₁∥AC交x轴于点E₁,此时四边形ACF₁E₁为平行四边形.∵C(0,3),∴点F₁的纵坐标为3,令y=3得−解得x=0(舍去)或x=-3,∴F₁②平移直线AC交x轴于点E₂，E₃，交x轴下方的抛物线于点F₂,F₃连接AF₂,CE₂,CE₃,AF₃,E₂F₂,E₃F₃.当AC=F₂E₂时，此时四边形ACE₂F₂为平行四边形，当AC=F₃E₃时，此时四边形ACE₃F₃为平行四边形.∵C(0,3),∴F₂,F₃|的纵坐标都是-3.令y=-3,得−解得x=−3−412∴综上所述，点F的坐标为(-3，3)或−3−412−34.解:(1)抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-4)=−x²+3x+4;(2)【思路点拨】根据点的坐标可得到直线BC的解析式，设出点E的坐标，用字母表示PE的长，再根据角相等得到△PDE∽△COB，三角形周长比即为相似比，通过列方程求出△PDE周长的最大值.∵OB=OC=4,∠BOC=90°,∴∠BCO=