2026年初中数学中考复习专题45 二次函数综合题

第第页微专题45二次函数综合题类型一二次函数与线段有关问题1.综合与探究如图，抛物线y＝14x2－32x－4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，－4），作直线AC，BC，P是直线BC（1）求A，B两点的坐标，并求出直线AC，BC的函数表达式；（2）过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交直线AC于点T，当P为线段TQ的中点时，求此时点P的坐标.第1题图2.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）与抛物线y＝ax2＋c（a≠0）交于A（8，6），B两点，点B的横坐标为－2.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB下方抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，连接PO，设点P的横坐标为m.若点P在x轴下方，求△POC周长的最大值，并求此时m的值.第2题图3.如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A（－3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，P是直线BC下方抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，过点P作PD∥AC，交BC于点D，求线段PD的最大值.第3题图4.如图，抛物线y＝a（x－1）2＋2的对称轴交x轴于点A，且抛物线分别交y轴于点B（0，1），交直线AB于点C，顶点为D，P是对称轴右侧抛物线上一动点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接OP，OP与直线BC交于点M，当OM＝12MP时，求点P的坐标（3）如图②，过点P作PE∥x轴，PF∥y轴，分别交直线CD于点E，F.若EFCD＝316，求点P类型二二次函数与面积有关问题[2022.23（2）]1.（2024扬州）如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－2，0），B（1，0）两点.（1）求b，c的值；（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标.第1题图2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，且OC＝3.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，BC，P为抛物线上一点，当S△ABC＝2S△PBC时，求点P的坐标.第2题图3.（2022广东23题12分）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q.（1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标.第3题图4.如图，抛物线y＝－x2－4x＋5与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC.（1）求点A，B的坐标及直线AC的函数解析式；（2）过点C作CP⊥AC，交抛物线于点P，连接OP交AC于点D，连接AP，求△PAD的面积.第4题图5.如图，抛物线y＝ax2＋32x＋c与x轴交于A（－1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，2），点D是抛物线上异于点A的一个动点，直线AD与直线BC交于点E（1）求直线BC的函数解析式；（2）在点D运动的过程中，当∠AEC＝45°时，求△ABE的面积；（3）当点D在第一象限抛物线上运动时，连接BD，设△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1S第5题图类型三二次函数与特殊图形存在性有关问题一阶设问突破 方法解读二次函数中等腰三角形的存在性问题：1.找点：两圆一线①若AD＝AC，以点A为圆心，AC长为半径画圆；②若CD＝AC，以点C为圆心，AC长为半径画圆；③若AD＝CD，作AC的垂直平分线；2.求点：设出点D的坐标，根据点A，C，D的坐标，表示出线段AC，CD，AD的长度，由等量关系分别列方程求解即可.例如图，已知抛物线y＝12x2－x－4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）如图①，连接AC，若点D为x轴上的动点，当△ACD是等腰三角形时，求点D的坐标；例题图①方法解读二次函数中的角度问题：1.角度相等：常与线段的平行或特殊三角形结合，最终将角度问题转化为线段问题；2.角度固定值：常见的角度有15°，30°，45°，60°，90°，常放在特殊三角形中，利用三角形三边关系或三角函数求解；3.角度的倍数关系：利用三角形的内外角关系和等腰三角形的性质求解.（2）如图②，连接BC，若点P为抛物线上的动点，当∠PAB＝∠ABC时，求点P的坐标；例题图②方法解读二次函数中平行四边形的存在性问题：1.找点：分情况讨论：①当BC为平行四边形的边；②当BC为平行四边形的对角线，根据平行四边形一组对边平行且相等确定点的位置；2.求点：①通过点的平移，构造全等三角形求点坐标；②由中点坐标公式求顶点坐标.（3）如图③，连接BC，若E，F分别为抛物线和x轴上的动点，是否存在点F，使以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；例题图③方法解读二次函数中直角三角形的存在性问题：1.找点：两线一圆①若∠MBC＝90°，过点B作BC的垂线；②若∠MCB＝90°，过点C作BC的垂线；③若∠BMC＝90°，以BC为直径作圆；2.求点方法一：代数法：设出点M的坐标，根据点B，C，M的坐标，表示出线段BC，BM，CM的长度，再根据对应情况，由勾股定理分别列方程求解即可；方法二：几何法：作垂线，构造一线三垂直模型，表示出线段长用勾股定理或相似建立等量关系.（4）连接BC，若点M在抛物线的对称轴上.①如图④，是否存在点M，使以点B，C，M为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；例题图④方法解读二次函数中全等三角形存在性问题：1.找等角（边）：根据相对应的字母找到已存在隐含的等角（边）；2.表示边长：明确全等后需相等的对应边，直接或间接设出所求点的坐标，再表示线段长；3.建立关系式并计算：利用全等三角形对应边相等列等式，其中对于对应关系不确定的三角形全等，需分情况讨论.②如图⑤，若点M为对称轴与x轴的交点，连接CM，点Q是坐标平面内的点（不与点M重合），是否存在点Q，使得△BCQ与△BCM全等，若存在，求出所有满足条件的点Q，若不存在，请说明理由.例题图⑤方法解读二次函数中相似三角形的存在性问题：1.找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在隐含的等角；2.表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段长；3.建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算求解.③如图⑥，若点M为对称轴与BC的交点，连接AC，点N为x轴上的动点，是否存在点N，使△BMN与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.例题图⑥二阶综合训练 1.（2024梅州市一模）如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（5，0），B（－1，0），C（0，－5）.（1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）直线x＝t（0＜t＜5）交二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象于点P，交直线AC于点Q，是否存在实数t，使△CPQ为等腰三角形，若存在，请求出这样的t值；若不存在，请说明理由.第1题图2.（2021广东25题10分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（－1，0），且对任意实数x，都有4x－12≤ax2＋bx＋c≤2x2－8x＋6.（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C，点M是（1）中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC.（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若点P为x轴上一动点，当点P以每秒3个单位长度的速度从点O出发，沿x轴正方向匀速运动，连接CP，设点P运动的时间为t，当以C，O，P为顶点的三角形与△AOC相似时（不包含全等），求t的值；（3）若点Q是直线BC上一动点，试判断是否存在点Q，使得以C，D，Q为顶点的三角形是直角三角形.若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第3题图

类型一二次函数与线段有关问题1.解：(1)当y＝0时，14x2－32x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝∵点A在点B的左侧，∴A(－2，0)，B(8，0)，设直线AC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－2，0)，C(0，－4)分别代入得b＝解得b＝∴直线AC的函数表达式为y＝－2x－4，∵B(8，0)，C(0，－4)，∴同理可得直线BC的函数表达式为y＝12x－4(2)设P(m，14m2－32m－∵QT∥y轴，∴Q(m，12m－4)，T(m，－2m－4)∴PQ＝12m－4－(14m2－32m－4)＝－14m2PT＝14m2－32m－4－(－2m－4)＝14m2＋∵P为线段TQ的中点，∴PQ＝PT，∴－14m2＋2m＝14m2＋1解得m1＝0(舍去)，m2＝3，∴P(3，－254)2.解：(1)将A(8，6)代入y＝kx，得8k＝6，解得k＝34∴直线AB的解析式为y＝34x当x＝－2时，y＝34×(－2)＝－3∴B(－2，－32)将A(8，6)，B(－2，－32)分别代入y＝ax2＋c(a≠0)得64a＋c=6∴抛物线的解析式为y＝18x2－2(2)设P(m，n)，则18m2－2＝n当点P在x轴下方时，－2＜m＜4，n＜0，∵C(43n，n)∴OC＝－53n，OP＝m2＋n2＝m2＋∵PC＝m－43n，18m2－2＝∴OP＋PC＋OC＝18m2＋2＋m－43n－＝18m2＋m－3n＋＝18m2＋m－3(18m2－2)＝－14(m－2)2＋9∵－14＜0，∴当m＝2时，△POC的周长最大，最大值为93.解：(1)将A(－3，0)，B(4，0)分别代入y＝ax2＋bx－4中，得9a－3b∴抛物线的解析式为y＝13x2－13x－(2)在y＝13x2－13x－4中，令x＝0，得y＝－∴C(0，－4).∵A(－3，0)，B(4，0)，∴OA＝3，OB＝OC＝4，AB＝7，∴AC＝5.如解图，过点P作x轴的平行线，交BC于点M，∵PM∥AB，∴∠PMD＝∠ABC.∵PD∥AC，∴∠PDM＝∠ACB，∴△PMD∽△ABC，∴PMAB＝PDAC，即PM7∴PD＝57PM设直线BC的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，将B(4，0)，C(0，－4)分别代入，得4k＋d=0∴直线BC的解析式为y＝x－4.设点P的坐标为(m，13m2－13m－4)，0＜m＜∴M(13m2－13m，13m2－13∴PM＝m－(13m2－13m)＝－13m2＋∴PD＝57×(－13m2＋43m)＝－521(m－2)∵－521＜0∴当m＝2时，线段PD有最大值，最大值为2021第3题解图4.解：(1)∵抛物线y＝a(x－1)2＋2交y轴于点B(0，1)，∴将点B(0，1)代入y＝a(x－1)2＋2中，得1＝a(0－1)2＋2，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋2＝－x2＋2x＋1；(2)如解图①，过点M，P分别作MN⊥x轴于点N，PQ⊥x轴于点Q，则MN∥PQ，由(1)得A(1，0)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(1，0)，B(0，1)分别代入y＝kx＋b中，得k＋解得k＝∴直线AB的解析式为y＝－x＋1，∵MN∥PQ，∴△MNO∽△PQO，∴MNPQ＝ONOQ＝∵OM＝12MP，∴OM＝13∴MNPQ＝ONOQ＝OMOP∴MN＝13PQ，ON＝13第4题解图①设P(p，－p2＋2p＋1)(p＞1)，则M(p3，－p3∴PQ＝－p2＋2p＋1，MN＝－p3＋1∴－p3＋1＝13(－p2＋2p＋整理，得p2－3p＋2＝0，解得p1＝1(舍去)，p2＝2，∴－p2＋2p＋1＝1，∴点P的坐标为(2，1)；(3)【思路点拨】一般遇到线段成比例，可考虑三角形相似，求出线段长，利用平行关系得到点坐标之间的关系，通过点在直线或抛物线上确定点坐标.如解图②，③过点C作CG⊥AD，交DA延长线于点G.联立y＝解得x1=3y∴B(0，1)，C(3，－2)，∴CG＝3－1＝2，∵PE∥x轴，PF∥y轴，∴∠PEF＝∠GCD，∠PFE＝∠GDC，∴△PEF∽△GCD，∴PEGC＝EFCD，即PE2∴PE＝38∵y＝－(x－1)2＋2，∴D(1，2)，设直线CD的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，将C(3，－2)，D(1，2)分别代入y＝k1x＋b1(k1≠0)中，得－2=3k1＋∴直线CD的解析式为y＝－2x＋4.设P(t，－t2＋2t＋1)，①如解图②，当点P在点E的右侧时，则E(t－38，－t2＋2t＋1)，1＜t＜3∵点E在直线CD上，∴－t2＋2t＋1＝－2(t－38)＋4整理，得4t2－16t＋15＝0，解得t1＝32，t2＝5∴点P的坐标为(32，74)或(52，－图②图③第4题解图②如解图③，当点P在点E的左侧时，则E(t＋38，－t2＋2t＋1)，t＞3∵点E在直线CD上，∴－t2＋2t＋1＝－2(t＋38)＋4，整理，得4t2－16t＋9＝0解得t3＝4+72，t4＝4－7∴点P的坐标为(4+72，－3+4综上所述，点P的坐标为(32，74)或(52，－14)或(4+类型二二次函数与面积有关问题1.解：(1)将点A(－2，0)，B(1，0)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得－4－2b∴b的值为－1，c的值为2；(2)由(1)可知，二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2，设P(m，n)，∵点P在二次函数的图象上，∴n＝－m2－m＋2.∵A(－2，0)，B(1，0)，∴AB＝3，又∵△PAB的面积为6，∴12×AB×｜n｜＝6，解得n＝±4当n＝4时，即－m2－m＋2＝4，化简得m2＋m＋2＝0，该方程无实数解，不符合题意；当n＝－4时，即－m2－m＋2＝－4，化简得m2＋m－6＝0，解得m1＝2，m2＝－3，综上所述，点P的坐标为(2，－4)或(－3，－4).2.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，∵OC＝3，∴C(0，3)，将点C(0，3)代入y＝a(x＋1)(x－3)中，得－3a＝3，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3；(2)∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝3－(－1)＝4，∴S△ABC＝12AB·OC＝12×4×3＝∵S△ABC＝2S△PBC＝6，∴S△PBC＝3，由B(3，0)，C(0，3)可得BC所在直线的解析式为y＝－x＋3，①如解图①，当点P位于BC上方时，过点P作PM∥BC交y轴于点M，∴S△PBC＝S△MBC＝3＝CM×∴CM＝2，M(0，5)，∴直线PM的解析式为y＝－x＋5，联立y＝解得x1＝1，x2＝2，∴点P(1，4)或(2，3)；第2题解图②如解图②，当点P在BC下方时，同理可得，M(0，1)，∴直线PM的解析式为y＝－x＋1，联立y＝解得x1＝3－172，x2∴点P(3－172，17－12)或综上所述，点P的坐标为(1，4)或(2，3)或(3－172，17－12)或3.解：(1)∵A(1，0)，AB＝4，∴B(－3，0).将点A(1，0)，B(－3，0)分别代入y＝x2＋bx＋c中，得1+b解得b=2∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3；(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴C(－1，－4).设直线BC的解析式为y＝k1x＋m1(k1≠0)，将点B(－3，0)，C(－1，－4)分别代入y＝k1x＋m1中，得－3解得k1∴直线BC的解析式为y＝－2x－6，设直线AC的解析式为y＝k2x＋m2(k2≠0)，将点A(1，0)，C(－1，－4)代入y＝k2x＋m2中，得k2解得k2∴直线AC的解析式为y＝2x－2.∵PQ∥BC，∴设直线PQ的解析式为y＝－2x＋n，令y＝0，得x＝n2∴P(n2，0)联立直线AC与直线PQ的解析式，得y=2解得x＝∴Q(n+24，n∵点P在线段AB上，∴－3≤n2≤1即－6≤n≤2，∴S△CPQ＝S△CPA－S△QPA＝12×(1－n2)×4－12×(1－n2)×(－n－22)＝－18∵－18＜0，－6≤n≤2∴当n＝－2时，S△CPQ取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为(－1，0).4.解：(1)令y＝－x2－4x＋5中y＝0，得－x2－4x＋5＝0，解得x1＝－5，x2＝1，∴A(－5，0)，B(1，0).令x＝0，得y＝5，∴C(0，5)，设直线AC的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－5，0)，C(0，5)的坐标代入，得0=－5k＋∴直线AC的函数解析式为y＝x＋5；(2)设点P的坐标为(m，－m2－4m＋5)，∵A(－5，0)，C(0，5)，∴AC2＝50，CP2＝(m－0)2＋(－m2－4m＋5－5)2＝m2＋(－m2－4m)2，AP2＝(m＋5)2＋(－m2－4m＋5)2.∵PC⊥AC，∴∠PCA＝90°，∴AC2＋CP2＝AP2，∴50＋m2＋(－m2－4m)2＝(m＋5)2＋(－m2－4m＋5)2，解得m＝－3或m＝0(舍去)，∴P(－3，8).设直线OP的解析式为y＝k1x(k1≠0)，将P(－3，8)的坐标代入，得8＝－3k1，∴k1＝－83∴直线OP的解析式为y＝－83x令－83x＝x＋5，解得x＝－15∴D(－1511，4011∴S△PAD＝S△PAO－S△DAO＝12×5×(8－4011)＝5.(1)∵抛物线y＝ax2＋32x＋c与x轴交于点A(－1，0)，与y轴交于点C(0，2)∴将点A(－1，0)，C(0，2)代入抛物线y＝ax2＋32x＋c中得a－32＋∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋32x＋令y＝0，解得x＝－1或x＝4，∴点B的坐标为(4，0)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点B，C的坐标代入，得4k＋b=0∴直线BC的函数解析式为y＝－12x＋2(2)如解图，连接AC，∵A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)，∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，AB＝5，∴在Rt△OAC中，AC＝OA2＋OC2＝12＋22＝5，在Rt△OCB中∴AC2＋BC2＝(5)2＋(25)2＝25＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，又∵∠AEC＝45°，∴CE＝AC＝5，∴S△ABC＝12AB·OC＝12×5×2＝5，S△ACE＝12AC·CE＝12×5×①如解图①，当点E在线段BC上时，S△ABE＝S△ABC－S△ACE＝5－52＝5②如解图②，当点E在线段BC的延长线上时，S△ABE＝S△ABC＋S△ACE＝5＋52＝15∴△ABE的面积为52或15图①图②第5题解图(3)如解图③，过点B作BG⊥AD于点G，过点D作DI∥y轴，交直线BC于点I，过点A作AH∥y轴，交直线BC于点H，则DI∥AH，∴△EDI∽△EAH，∴DEAE＝DI∵A(－1，0)，将x＝－1代入y＝－12x＋2中，得y＝－12×(－1)＋2＝∴点H的坐标为(－1，52)∴AH＝52∵点D在第一象限的抛物线上，∴设D(m，－12m2＋32m＋2)，则I(m，－12m＋2)(0＜m∴DI＝(－12m2＋32m＋2)－(－12m＋2)＝－12m2∴S1S2＝12DE·BG12AE·BG＝DEAE＝DIAH＝－12m∵－15＜0∴当m＝2时，S1S2第5题解图③类型三二次函数与特殊图形存在性有关问题一阶设问突破例解：(1)∵抛物线的解析式为y＝12x2－x－4∴当y＝0时，12x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝4∵点A在点B的左侧，∴A(－2，0)，B(4，0)，当x＝0时，y＝－4，∴C(0，－4).∴OA＝2，OC＝4，∴由勾股定理得AC＝AO2＋O∴当△ACD是等腰三角形时，分以下三种情况：①当AD＝AC时，如解图①，点D位于点D1或D2处，此时AD＝AC＝25，∴点D1的坐标为(－2－25，0)，点D2的坐标为(25－2，0)；②当CD＝AC时，如解图①，点D位于点D3处，∵OC⊥AD3，∴OA＝OD3＝2，∴点D3的坐标为(2，0)；③当AD＝CD时，如解图①，点D位于点D4处，设点D4的坐标为(a，0)，则AD4＝a＋2，CD4＝a2∴a＋2＝a2＋42，解得∴点D4的坐标为(3，0).综上所述，点D的坐标为(－2－25，0)或(25－2，0)或(2，0)或(3，0)；例题解图①(2)由(1)得A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－4)，∴OA＝2，OB＝OC＝4，∴∠OBC＝45°，设点P的坐标为(n，12n2－n－4)当∠PAB＝∠ABC时，分以下两种情况：①当点P在x轴上方时，如解图②，过点A作AP1∥BC交抛物线于点P1，过点P1作P1Q1⊥x轴于点Q1，∴∠P1AB＝∠ABC＝45°，此时点P位于点P1处，∴P1Q1＝AQ1，∵AQ1＝OA＋OQ1＝2＋n，P1Q1＝12n2－n－4∴12n2－n－4＝2＋n，解得n＝－2(舍去)或n＝6当n＝6时，12n2－n－4＝8∴点P1的坐标为(6，8)；②当点P在x轴下方时，如解图②，过点A作AP2⊥BC交抛物线于点P2，过点P2作P2Q2⊥x轴于点Q2，同理可得AQ2＝2＋n，P2Q2＝－(12n2－n－4)∵∠P2AB＝∠ABC＝45°，∴AQ2＝P2Q2，∴2＋n＝－(12n2－n－4)，解得n＝－2(舍去)或n＝2当n＝2时，12n2－n－4＝－4∴点P2的坐标为(2，－4).综上所述，点P的坐标为(6，8)或(2，－4)；例题解图②(3)存在.由(1)知B(4，0)，C(0，－4)，∴OC＝4，以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，分以下两种情况：①当BC为平行四边形的边时，如解图③，点E位于点E1或E2或E3处，点F相应的位于点F1或F2或F3处，∵四边形BCF1E1为平行四边形，∴BC∥E1F1，BC＝E1F1，∵点F1在x轴上，∴点E1到x轴的距离为4，令y＝4，即12x2－x－4＝4解得x1＝1＋17(舍去)，x2＝1－17，∴点E1的坐标为(1－17，4)，同理可得点E2的坐标为(1＋17，4)，∵B(4，0)，C(0，－4)，∴由平移的性质得点F1的坐标为(－3－17，0)，点F2的坐标为(17－3，0)；∵四边形BCE3F3为平行四边形，∴BF3∥CE3，BF3＝CE3，∴点E3与点C关于直线x＝－－12×1∴0+xE2＝1，解得xE∴点E3的坐标为(2，－4)，∴CE3＝2，∴OF3＝OB＋CE3＝6，∴点F3的坐标为(6，0)；②当BC为平行四边形的对角线时，如解图③，点E位于点E4处，点F相应的位于点F4处，连接E4F4交BC于点G，∵四边形BE4CF4为平行四边形，∴点G为BC，E4F4的中点，∴0+42＝2，0－4∴点G的坐标为(2，－2)，∵BF4∥CE4，∴点E4与点E3重合，∴E4(2，－4)，∴2+xF2＝2，解得xF∵点F在x轴上，∴点F4的坐标为(2，0).综上所述，点F的坐标为(－3－17，0)或(17－3，0)或(6，0)或(2，0)；例题解图③(4)①存在.∵抛物线的解析式为y＝12x2－x－4＝12(x－1)2－∴抛物线的对称轴为直线x＝1.设点M(1，t)，则BM2＝(1－4)2＋(t－0)2＝t2＋9，CM2＝(1－0)2＋(t＋4)2＝t2＋8t＋17，BC2＝(4－0)2＋(0－4)2＝32，以点B，C，M为顶点的三角形为直角三角形时，分以下三种情况：(i)当∠MBC＝90°时，如解图④，点M位于点M1处，由勾股定理得BC2＋BM2＝CM2，即32＋t2＋9＝t2＋8t＋17，解得t＝3，∴点M1的坐标为(1，3)；(ii)当∠MCB＝90°时，如解图④，点M位于点M2处，由勾股定理得BC2＋CM2＝BM2，即32＋t2＋8t＋17＝t2＋9，解得t＝－5，∴点M2的坐标为(1，－5)；(iii)当∠BMC＝90°时，如解图⑤，点M位于点M3或点M4处，由勾股定理得BM2＋CM2＝BC2，即t2＋9＋t2＋8t＋17＝32，解得t1＝－2－7，t2＝7－2，∴点M3的坐标为(1，7－2)，点M4的坐标为(1，－2－7).综上所述，点M的坐标为(1，3)或(1，－5)或(1，7－2)或(1，－2－7)；图④图⑤例题解图②存在.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴M(1，0)，由(1)知B(4，0)，C(0，－4)，∴BM2＝(4－1)2＝9，CM2＝(1－0)2＋(0＋4)2＝17，设点Q的坐标为(m，n)，则BQ2＝(4－m)2＋n2，CQ2＝m2＋(－4－n)2，当△BCQ与△BCM全等时，分两种情况：(i)当BM＝BQ，CM＝CQ，即△BCM≌△BCQ时，BM2＝BQ2，即9＝(4－m)2＋n2，CM2＝CQ2，即17＝m2＋(－4－n)2，解得m＝1－n，代入9＝(4－m)2＋n2得，n1＝0，n2＝－3，∴m1＝1，m2＝4，∵点Q不与点M重合，∴点Q的坐标为(4，－3)；(ii)当BM＝CQ，CM＝BQ，即△BCM≌△CBQ时，BM2＝CQ2，即9＝m2＋(－4－n)2，CM2＝BQ2，即17＝(4－m)2＋n2，解得m＝－n－1，代入17＝(4－m)2＋n2得，n3＝－1，n4＝－4，∴m3＝0，m4＝3，∴点Q的坐标为(0，－1)或(3，－4).综上所述，点Q的坐标为(4，－3)或(0，－1)或(3，－4)；③存在.由(1)得A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－4)，AC＝25，设BC所在直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将B(4，0)，C(0，－4)分别代入，得4k＋b=0∴BC所在直线的解析式为y＝x－4，当x＝1时，y＝－3，∴点M的坐标为(1，－3)，∵OB＝OC＝4，∴BC＝42，同理易得BM＝32，当△BMN与△ABC相似时，分以下两种情况：(i)当△BMN∽△BCA时，如解图⑥，点N位于点N1处，∴BMBC＝B∵BA＝OA＋OB＝6，∴3242＝BN16，∴ON1＝BN1－OB＝12∴点N1的坐标为(－12，0)(ii)当△BMN∽△BAC时，如解图⑥，点N位于点N2处，∴BMBA＝B∴326＝BN242，∴BN2＝OB，此时点N2与点O重合，∴点N2的坐标为(0，0).综上所述，点N的坐标为(－12，0)或(0，0)例题解图⑥二阶综合训练1.解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(5，0)，B(－1，0)，∴二次函数的解析式可设为y＝a(x－5)(x＋1)＝a(x2－4x－5)，将点C(0，－5)代入，得－5a＝－5，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2－4x－5；(2)存在.设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A，C代入，得5k＋b=0∴直线AC的解析式为y＝x－5，设点P(t，t2－4t－5)，则点Q(t，t－5)，∴PQ2＝(－t2＋5t)2，PC2＝t2＋(t2－4t)2，CQ2＝2t2，当PQ＝CQ时，△CPQ为等腰三角形，PQ2＝CQ2，即(－t2＋5t)2＝2t2，解得t＝0(舍去)或5－2或5＋2(舍去)；当PQ＝PC或PC＝CQ时，△CPQ为等腰三角形，PQ2＝PC2，即(－t2＋5t)2＝t2＋(t2－4t)2，解得t＝0(舍去)或t＝4，PC2＝CQ2，t2＋(t2－4t)2＝2t2，解得t＝0(舍去)或t＝3或t＝5(舍去).综上所述，存在实数t，使△CPQ为等腰三角形，t的值为5－2或3或4.2.解：(1)令4x－12＝2x2－8x＋6，解得x1＝x2＝3，∴当x＝3时，