【新教材】人教版（2024）八年级上册数学：第十五章《轴对称》单元教学设计

第第页【新教材】人教版（2024）八年级上册数学：第十五章《轴对称》单元教学设计课标要求概念与性质：通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。作图：能画出简单平面图形（点、线、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，写出已知顶点坐标的多边形对称图形的顶点坐标，并理解对应顶点坐标之间的关系。性质探索：探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆等图形的轴对称性质。欣赏与应用：认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形，将轴对称知识应用于实际问题中，如设计轴对称图案等。内容解读一、数学分析1.1轴对称在初中数学中的地位：轴对称《在义务教育数学课程标准2011版》对图形和几何内容分析如下：图形与几何课程内容，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开，主要包括：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移，旋转、轴对称，相似和投影；平面图形的基本性质的证明；物体和图形的位置及运动的描述，运用坐标描述图形的位置和运动。轴对称——建立不同几何图形之间的联系的重要途径。线、角等基本图形与轴对称的联系（2）平行（主要是平移）与轴对称的联系引入轴对称的知识，使得我们可以从图形变换的角度重新认识平移，把平移纳入图形变换，形成新的研究几何的体系中；（3）轴对称与全等三角形之间的联系引入轴对称知识，使得我们可以从轴对称的角度再认识有关全等三角形的问题，体会用全等三角形来研究经过一次轴对称变换后的图形与原图形之间的关系的作用．建立两者的联系，可以加强轴对称等知识的运用，可以为图形之间的图形变换提供除平移之后的第二种变换方式－－轴对称．1.2轴对称知识贯穿于学生学习的各个阶段：《轴对称》是人教版八年级上册第十三章的内容，它与现实生活联系紧密，轴对称的知识在小学已有初步的渗透，在初中阶段，它不但与图形的三种运动方式（平移、翻折、旋转）中的翻折有着不可分割的联系。本套教材在不同阶段安排了图形变换的内容：第五章相交线与平行线—5.4平移（七年级下），第十二章轴对称（八年级上），第二十三章旋转（九年级上）。1.3轴对称的数学教育价值1.3.1有利于对学生数学审美意识的培养，激发数学学习兴趣。通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习以及动手操作，让学生关注生活，学会观察，增强交流。激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动中，体会图形的美，同时感悟数学来源于生活又用于生活。通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法，在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生数形结合的思维意识。数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象、引发联想、启迪思维、拓宽思路、迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。1.3.2有利于培养学生的图形变换能力，提高图案设计水平。在我们生活的现实世界中，充满了许多轴对称的现象，如生活中许多图形的设计等.通过实际操作，认真体验的过程，发展学生空间思维，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用。感悟数学的应用价值，能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，学习轴对称这些都有助于学生在数学学习的活动中，培养学生的应用意识和探究精神，养成良好的思维品质，锻炼克服困难的意志。1.3.3有利于数学思想方法的渗透，提高学生空间想象能力。轴对称在生活中用处很大。教学中存在着大量的、有趣的实践活动，例如要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？解决问题的方法，渗透着数学思想、方法，在活动中获得成功体验.因此，中学数学轴对称的教学，有利于培养学生的动手实践能力，更有助于学生数学学习兴趣的培养。通过学习，学生可以认识到数学与其它学科的紧密联系，可以进一步地体会到“数学来源于生活，又服务于生活”的数学观.用轴对称知识解决相应的数学问题。二、标准分析《轴对称》与现实生活联系紧密，在小学已有初步的渗透，初中阶段，它既是前面全等三角形概念的拓展与延伸，又是图形全等的具体应用，是与平移、旋转等相关联的又一种图形变换方式，也是今后研究等腰三角形、特殊四边形等图形性质的重要依据和基础。“轴对称为培养几何直观和几何观念提供新的角度和方法，实现以多种途径发展学生的空间观念的构想；作为《数学课程标准》规定的四个内容领域之一，“空间与图形”主要研究现实世界中物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换。轴对称为培养几何直观和几何观念提供新的角度和方法，实现以多种途径发展学生的空间观念的构想；通常，几何学家是按照集合的法则，通过在原图形的点与新图形（称为映象）的点之间建立一种对应关系来描述有关变换的概念的。如果一个平面图形的每一个点只对应于它在此平面内的映象中的一个点，并且映象中的每一个点也只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换能够保持图形的大小和形状不变的变换称为保距变换。而只改变图形的大小，不改变图形的形状的变换称为保角变换。平移变换、旋转变换和轴对称变换：平移变换是最简单的保距变换。如果原图形中的点都沿着平行的途径运动一个恒等的距离而到达映象，这样的变换称为平移。对平移来说，原图形中所有的点到它的映象的距离彼此相等。距离和方向是平移的两个要件。轴对称变换是第二种保距变换。如果在一张纸上画一个图形，把一面平面镜的末端放在纸上，并且在镜子里看到这个图形，那么原图形就被反射了。由反射产生一个图形的映象的过程，也叫轴对称变换。反射由一条反射线所确定，反射线也叫对称轴。反射线是连接图形中的任意一点与该点映象之间的所有线段的垂直平分线.轴对称图形，也可以用反射来定义。如果一个图形的一部分被某一条直线反射后，得到的映象恰好等同于原图形的其余部分，这个图形即被称为轴对称图形。该直线叫做对称轴。三、教材分析3.1课标教材与大纲教材的对比：借助图形直观了解和认识轴对称、轴对称图形的概念。（义务教育阶段不可能也没必要给出图形变换的严格定义）通过图形的运动变化和具体的实例，探索了解轴对称、理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称。能按要求作出简单平面图形经过一次或两次对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。会用尺规作图作线段的垂直平分线（了解作图的道理，保留作图的痕迹），理解和掌握线段垂直平分线的两个性质定理。了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的轴对称性及其相关性质。能运用轴对称的知识解决简单的问题。如（1）简单的极值问题（2）在等腰三角形中运用对称简单的图形构造解决几何问题（3）图形分割等认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形，认识在自然界和现实生活中的应用，激发学生答的学习兴趣，感悟数学美。3.2课标各种版本学习《轴对称》的顺序、以及目录安排对比。3.3教材内容解析本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上，利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形.轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。3.3.1.知识结构框图3.3.2.内容分析本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上，利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形.轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。13.1节“轴对称”中，根据学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，从整体上概括出轴对称的特征。结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这一性质，讨论了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。13，2节“轴对称变换”中，通过观察一系列的图形，引出了轴对称变换并归纳其特征，通过作轴对称图形、简单的图案设计、确定最短路线等活动，使学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵。用坐标表示轴对称，从数量关系的角度刻画了轴对称变换。教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形.13.3研究的是等腰三角形的相关知识.等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质.由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛.等腰三角形的许多特殊性质，都和它是轴对称图形有关.利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”、“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容。轴对称的性质是本章的重点，轴对称变换的应用，利用轴对称设计图案，用坐标表示轴对称等都是围绕这一性质进行的.另外，等腰三角形的性质和判定也是本章的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，应用也比较广泛。对于一些有关等腰问题的证明，相对于前面全等的证明，推理的依据多了，图形、题目的复杂程度也增加了，因此会使一些学生感到无处下手，这是本章教学的一个难点。设计意图本章的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中也有着广泛的应用，因此在教学中要注意联系实际，从实际出发引入概念，并将所学知识应用到实际生活中，使学生体会“具体——抽象——具体”的认识过程。建议：可以较多地发动学生参与，尤其是学习较不自信的那些同学，比如利用轴对称的观点解释现实生活中的有关现象、简单地利用轴对称设计图案、一些选址问题的实验比较等。教材在内容处理上，加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合。论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重大的作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用。教科书大多通过留空、设问、设置“思考”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，经历知识的“再发现”过程。在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式。在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形的证明有机整合。动手能力的提升来自于模仿和体会，让学生总处于一个旁观者的角色去欣赏老师的完美表现，培养不出创新人才。“想要成为一个伟大的厨师，最快速的方法，就是守在另外一个伟大的厨师旁边，用你的眼睛看他，用你的耳朵听他，用你的心去感受他，否则即使你拿到了烹饪大师的食谱，但是你依然无法做出跟他一样的佳肴美味，因为你没有他的手势，火候以及灵感。”在数学学习的背后，隐藏着许许多多只可意会，不可言传，也无法用任何手段表达出来的奥秘，我认为只能使孩子们在较为轻松的环境下去自己参与体会。加深对数学教学本质的基本看法的研究，领会教材编写意图。如数学教学教材的三节中，设计编排了观察、探究、思考、讨论、归纳等栏目，这些栏目的设置既符合学生学习的认知特点，又为学生的自主学习与合作学习起到了导学的作用，教学中要充分挖掘这些栏目的导学作用，即不包办学生对这些问题的探究，又加强引导与点拨，进而培养学生的分析、观察、猜想、思考、推理能力。处理好过程与结果的关系。联系实际，引导学生经历知识形成的过程.如：轴对称现象在生活中是很常见的，教材选用了从天安门到故宫图作为章头图，在第1节的开头，也举出了如自然景观、分子结构、建筑物、艺术作品、日常生活用品、窗花等实际例子，通过对实际例子观察，既可让学生感受对称现象在生活中存，又可让学生经历轴对称概念引入的过程。注意让学生经历观察实验归纳论证的过程。例如，对于等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质的得出，教科书通过设置一个“探究”“思考”栏目，让学生剪出等腰三角形，并进一步利用轴对称的性质思考其中相等的线段和相等的角，进而发现等腰三角形的性质。接下来，从上面的操作过程启发，通过做出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等证明等腰三角形的这两个性质。这种处理，将实验几何与论证几何有机的整合在一起，使学生经历了一个观察、实验、探究、归纳、推理、证明的认识图形的全过程，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论之后的自然延续，完成好由实验几何到论证几何的过渡。满足学生多样化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间，加强针对指导。本章内容中有许多需要发挥学生想象和个性的活动，如欣赏轴对称图案，利用轴对称进行图案设计，探究对称轴是与坐标轴平行（垂直）时轴对称的坐标特点，发现等腰三角形中相等的线段等等，这些内容都为学生个性化的学习提供了空间。教学时应有意识地满足学生多样化的学习需求真正为学生提供个性化学习的时间和空间。例如，对于利用轴对称设计图案，不同学生可能会有不同的创意，也会有不同的操作方法（如折叠、剪纸、扎眼、计算机等）完成自己的创意，教师应该鼓励学生大胆想象、大胆尝试，不能用唯一的标准判断全体学生的成果，要把关注点放在活动中的数学层面上，看学生是否真正理解了轴对称变换的特点。资源应用国家智慧中小学，教材资源，生活实例等学习过程设计教学计划与课时分配八年级上册“轴对称”一章，主要包括轴对称和等腰三角形的相关内容。本章共安排了三个小节和两个选学内容，教学时间约需15课时，具体分配如：13.1轴对称(3课时)13.1.1从生活对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称概念，从整体上概况出轴对称的特征。（1课时）13.1.2作轴对称图形的对称轴（1课时）13.1.3关于坐标轴对称的点的坐标的关系（1课时）13.2轴对称变换（3课时）13.2.1轴对称与全等（1课时）13.2.2轴对称与坐标（1课时）13.2.3轴对称与图案设计（1课时）13.3等腰三角形(4课时)13.3.1等腰三角形定义和性质（1课时）13.3.2等腰三角形性质的应用（1课时）13.3.3等边三角形的性质和判定方法（1课时）13.3.4等边三角形的应用（1课时）数学活动、小结(2课时)单元测试与试卷讲评(3课时)教学环节教学过程及设计意图情境引入课题：13.31等腰三角形（第一课时）教学设计及说明1、温故而知新.什么样的图形是轴对称图形？2、欣赏生活中美丽的图片。思考：⑴这些美丽的图片中都包含一种特殊的三角形?⑵什么样的图形叫等腰三角形?设计意图：轴对称知识是这堂课学生必备的知识，温故这些知识有助于学生回顾这些知识点，为这堂课做好知识储备.并在已有知识的基础上，习得新知识，获得新的体验.并将新旧知识联系起来.情景的创设，联系我们国家今年举办的盛会，结合云南的丰富文化资源，目的是为了唤起学生的好奇，激发学生兴趣和探究欲，体会生活中处处都有数学，并能自然地过渡到本节。认识定义3.认识定义定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形中，相等的两条边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。设计意图：通过学生感兴趣的数学情景引入等腰三角形定义，提高学生学习的乐趣，从中理解等腰三角形的腰、底边、顶角和底角等概念。实践探究4．实践探究活动一：请大家剪出一个等腰三角形，并说明你的做法。工具:长方形纸片、圆规、直尺、剪刀。分组规则：把全班分成4个小组，每小组在组长的带领下，用长方形纸片剪出一个等腰三角形，并说明这样做的道理。成果展示：利用投影仪，每个小组由组长在课堂上进行成果汇报。探究:请你利用剪出的等腰三角形，观察等腰三角形有哪些性质？问题:⑴等腰三角形是轴对称图形吗？若是，请你指出等腰三角形的对称轴。学生可能会有不同的回答，例如：等腰三角形的对称轴是顶角角平分线所在直线。等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线。等腰三角形的对称轴是底边上的高所在直线。教师可适当引导得出：等腰三角形有一条对称轴，它既是顶角角平分线所在直线，又是底边上的中线所在直线，还是底边上的高所在直线。问题：⑵等腰三角形顶角角平分线所在直线，底边上的中线所在直线，底边上的高所在直线这三条直线在位置上有什么关系？观察课件动画回答：⑶观察并回答，等腰三角形顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线段有什么关系？猜想：等腰三角形有什么性质？（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合设计意图：活动一：剪一个等腰三角形具有很强的开放性，给学生更大的展示自己才智的空间，每个学生动手实践操作，自己动手剪一个等腰三角形，让学生进一步理解等腰三角形定义，从中培养学生的动手能力、协作学习的精神和语言表达能力。并为下一步探索等腰三角形性质准备好教具，引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲。探究中环环相扣的问题串的设计，活跃学生的思维，加深教师和学生的沟通，鼓励学生参与知识的探究过程，唤醒学生的求知欲，给学生展示自己“才华”的机会，锻炼学生探究问题的能力.目的是使学生能巧妙利用所学到的轴对称的知识，发现等腰三角形的性质.经历知识的“再发现”过程。在探究活动的过程中发展学生创新思维能力，提升了学生的知识层面。问题⑴的设计，启迪学生通过等腰三角形的对称轴的思考，发现等腰三角形有一条对称轴，它既是顶角角平分线所在直线，又是底边上的中线所在直线，还是底边上的高所在直线。利用课件动画演示，让学生直观的感受等腰三角形顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合这一性质，结合问题⑵⑶，在学生亲自体验知识的生成过程中，激发学生探求知识的好奇心和求知欲，并在探究过程中获得成功的体验。论证结论5、论证结论证明：等腰三角形的两个底角相等。问题：⑴用数学符号如何表达这个命题的条件和结论？已知：如图，△ABC是等腰三角形,AB=AC。求证：∠B=∠C。⑵如何证明“∠B=∠C”？根据前面的学习，学生可能会想到利用全等三角形证明“∠B＝∠C”，要利用证明三角形全等，先要添加辅助线，辅助线的作法是证明等腰三角形两个底角相等的关键。⑶根据等腰三角形的对称性，寻找辅助线的作法？证明：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.问题：⑷根据前面的证明，你证明“等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线段互相重合”？归纳：等腰三角形性质:⑴等腰三角形两个底角相等；简称为：“等边对等角”⑵等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。设计意图：在发现等腰三角形的性质的基础上，再经过推理证明等腰三角形的性质，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延伸，有机地将等腰三角形的认识与等腰三角形的性质的证明结合起来，发展学生演绎推理能力。问题⑴鼓励学生运用规范的数学语言来表述命题的条件和结论，培养学生运用数学语言的能力。问题⑵⑶的设计，启迪学生利用全等三角形的证明，证明等腰三角形的两个底角相等.引导学生主动思考，积极想办法解决证明等腰三角形的性质这一难点.通过学生自主探究获取知识的过程，体会自己努力，获取成功的体验，提高学生学习热情和学习的自信心.问题⑷在问题⑵⑶的基础上，激发学生进一步思考，撞击学生思维的火花.让学生自然想到要证明“等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”这一性质，就要证明“等腰三角形的顶角角平分线是底边上的中线、底边上的高”、“等腰三角形的底边上的中线是顶角角平分线、底边上的高”、“等腰三角形的底边上的高是顶角角平分线、底边上的中线”这三个命题.在前面完成了对“等腰三角形的两个底角相等”的基础上，学生就能够轻松的解决对“等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的证明，这也是这堂课的难点.经历观察、实验、猜想、论证的研究几何图形问题的全过程，培养学生实事求是的科态度和勇于探索的科学精神.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.（分析：这个问题对学生综合运用知识的要求较高，学生在解决过程中容易受到思维定势的束缚，针对这一问题，我设计两个问题⑴图中有哪些等腰三角形？⑵图中有哪些相等的角？分析图中角的等量关系，并由此想到可借助方程来解决这一问题，让学生通过自主思考度过这个难关.）设计意图：通过等腰三角形性质在生活中的应用，让学生明白：原来我们周围已经存在了许许多多有趣的数学知识，等着我们去观察、去发现、去探索.并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心；发展学生应用意识.例1根据云南学生的特点，结合云南丰富的文化资源，创设适合云南学生学习的教学资源，提高学生综合运用等腰三角形的两条性质的能力.例2是课本的例题，对综合运用所学知识解决实际问题的要求较高，学生较难完成，所以在学习过程中，我设计了两个问题，为学生的困难搭建一个台阶，让学生轻松解决这一难题；同时渗透数形结合和方程的数学思想方法.练习：BABACD在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=16°，求∠B和∠C的度数。设计意图：练习1通过学生感兴趣的生活实际，设计出适合学生认知特点的问题，让学生主动用数学知识解决实际问题，提高学生运用“等腰三角形顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”这一性质解决实际问题的能力.练习2运用分类讨论的数学思想方法解决等腰三角形的问题是我们常用的一种方法，例3就设计了这样一个问题，在解决问题的同时，渗透分类讨论的数学思想方法.结合本堂课所学的内容，通过这些习题，进行很好的巩固。这样设计问题符合数学知识的连贯性原则，让学生在学习过程中体验成功的快乐，并通过数学思想方法的渗透，提高学生数学思维和能力.6、学而致用如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边AB和AC是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断:①工人师傅在测量了∠B为37°以后，并没有测量∠C，就说∠C的度数也是37°.②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC的中点D，然后在AD两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的.课堂小结7.课堂小结谈谈你本节课的体会和收获.设计意图：小结设计以开放的形式出现，给学生提供一个交流和倾听的机会。让学生对等腰三角形的性质进行总结，实现了自我的反馈，从而构建起自己的知识经验，形成自己的见解.作业评价作业A组：1．等腰三角形中有一个角为，求其它的角的度数.2．等腰三角形的两边分别为5cm和6c