角平分线性质判定的分析与应用

1/3角平分线性质判定的分析与应用角平分线的性质定理与判定定理，学生往往由于理解不透，因而在具体应用时不会应用或应用不灵活.下面就这两个定理作一简要分析并归纳其在数学中的应用，以期对同学们有所帮助.角平分线性质判定定理的分析：一、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.【要点】条件：1.点在角平分线上，OEOEPCBDA图1结论：3.距离相等.【符号语言】如图1∵点P在∠AOB的平分线上，①PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，②∴PD=PE.③【作用】证线段相等.【辅助线添加提示】存在角平分线上的点，作此点到角两边的垂线段.【错误警示】1.学生在具体应用角平分线性质时，在做题步骤中往往出现类似漏写②，即没有点明PD、PE是点P到角两边的距离，而只由①便得③的错误.A2.对定理的图形语言认识不足.AD角平分线上的点到角两边的距离是指这个DPC点到角两边的垂线段的长度，而不是过此PC点与角平分线垂直（或仅仅相交）的直线O与角两边相交所得的线段的长度.OBE学生往往出现如下错误：BE图2如图2∵点P在∠AOB的平分线上，图2∴PD=PE.二、角平分线判定定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.【要点】条件：1.点在角的内部，2.点到角两边的距离相等，结论：3.点在角的平分线上.图3【解释】到角两边距离相等的点所在的射线有4条，如图3，图中的虚线即是，所以要点1不可缺少.图3【符号语言】如图1，∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.【作用】：证点在角平分线上，证角相等.角平分线性质判定定理的应用：一、性质、判定定理往往同时应用.例1已知，如图4，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.A分析：要证点F在∠DAE的平分线上，A只要证出点F到∠DAE两边的距离相等，CHB所以添加辅助线，过点F作FM⊥AD于M，CHBNMFN⊥AE于N，证出FM=FN即可.NMF而已知条件中存在两条角的平分线，FDE所以作其上的点到角两边的垂线段，DE图4过点F作FH⊥BC于点H，得到FM=FH，图4FH=FN，得FM=FN，所以点F在∠DAE的平分线上.引申：由以上分析可以看出，ΔABC的一个内角∠A的平分线与另两个外角的平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等，这样的点在边AC外和边AB外还各有一个，一共有三个.又因为三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，所以到三角形三边距离相等的点共有四个.二、与等腰三角形、线段垂直平分线的性质判定同时应用.例2已知，如图5，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C、D.求证：（1）OC=OD；（2）OP是CD的垂直平分线.证明：(1)∵P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，AC∴PC=PD.AC∴∠PCD=∠PDC，P∵∠PCO=∠PDO=900,PO∴∠OCD=∠OD,O∴OC=OD.BDE(2)∵PC=PD，BDE图5∴点P在CD的垂直平分线上，图5同理点O在CD的垂直平分线上.∴OP是CD的垂直平分线.点评：此题也可通过三角形全等证明，或通过三线合一证明.三、在作图中的应用.CAB例3如图6，直线AB、BC、CA表示CAB三条两两交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？哪一处到三条公路的距离最近？图6求作此