人教版九年级数学下册《余弦函数与正切函数》教案（第二课时）

人教版九年级数学下册《余弦函数与正切函数》教案（第二课时）

一、教学指导思想与理论依据

本课时教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，立足于发展学生核心素养，特别是“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学建模”和“直观想象”素养的融合培育。教学遵循“以生为本，素养导向”的原则，贯彻建构主义学习理论，强调学生在已有知识（正弦函数）基础上的主动建构与意义生成。

设计渗透大单元教学理念，将“锐角三角函数”视为一个完整的知识模块，本课时旨在帮助学生构建余弦、正切函数与正弦函数的网状认知结构，理解三者之间的内在联系与区别。同时，引入“跨学科实践”视角，将数学概念与物理、工程、地理等领域的实际问题相联系，培养学生的综合应用能力和解决真实世界问题的意识。

在教学策略上，采用“情境-问题-探究-应用-反思”的闭环教学模式，通过信息技术（如动态几何软件）的深度融合，实现抽象概念的直观化、静态定义的动态化，促进学生的深度理解与高阶思维发展。

二、教学内容与教材分析

1.教学内容定位：

本节课是人民教育出版社九年级数学下册第二十八章“锐角三角函数”中第二课时的内容。在上一课时，学生已经学习了锐角正弦函数的概念，即在一个直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比是一个定值，记为sinA。本课时则在此基础上，进一步探究锐角A的邻边与斜边的比（余弦函数cosA）、对边与邻边的比（正切函数tanA）是否也是定值，从而完成锐角三角函数的完整概念建构。这是从特殊到一般、从单一到系统的知识拓展过程，为后续解直角三角形及其在实际生活中的广泛应用奠定坚实的理论基础。

2.知识结构分析：

本节课的知识点构成一个紧密的逻辑链：

1.核心概念：锐角A的余弦（cosA=∠A的邻边/斜边）、锐角A的正切（tanA=∠A的对边/∠A的邻边）。

2.概念关系：明确正弦、余弦、正切三者均是基于直角三角形边角关系定义的比值，其值只与锐角的大小有关，与直角三角形的大小无关。这是函数思想的本质体现——角度是自变量，比值是因变量。

3.关键联系：初步感知sinA与cosA之间的平方关系（sin²A+cos²A=1）以及tanA与sinA、cosA的商数关系（tanA=sinA/cosA），为高中学习同角三角函数基本关系式埋下伏笔。

4.应用接口：理解概念是工具，最终指向应用。余弦和正切函数，特别是正切函数，在解决与坡度、倾斜度、高度测量相关的问题时具有独特优势。

3.教学价值：

本节课不仅是知识的传授，更是数学思想方法的强化。它深化了学生的函数观念，培养了从具体几何图形中抽象出数量关系的能力。通过探究“变中之不变”（角度确定，比值确定），强化学生的辩证思维和数学建模的初步意识。

三、学情分析

1.已有认知基础：

1.知识基础：学生已熟练掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，具备了扎实的几何基础。上一课时已成功构建正弦函数的概念，理解了“角度固定，则对边与斜边的比值固定”这一函数核心思想。

2.能力基础：九年级学生具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力和合作探究意识，能够进行类比学习。他们熟悉使用计算器求三角函数值。

3.经验基础：在生活中对“坡度”、“倾斜程度”等有一定感性认识，但尚未与数学概念建立精确联系。

2.潜在学习困难与障碍：

1.概念混淆：正弦、余弦、正切三个定义涉及“对边”、“邻边”、“斜边”，在具体三角形中，学生容易因视角转换不灵活而混淆对应关系，特别是余弦函数中“邻边”的识别。

2.理解瓶颈：虽然能接受定义，但部分学生可能难以深刻理解“比值与三角形大小无关”这一本质，仅停留在记忆层面。

3.应用僵化：在复杂图形或实际问题中，如何正确构造或识别包含目标锐角的直角三角形，并选择恰当的三角函数（sin,cos,tan）建立等式，是一个常见的应用难点。

4.符号记忆：sin,cos,tan三个符号的书写与含义对应可能发生记忆错误。

3.教学对策：

针对以上学情，教学设计将采取以下策略：采用对比表格、概念图等可视化工具清晰辨析三个函数；通过几何画板动态演示“角度不变，三角形大小改变，比值不变”的规律，促进本质理解；设计梯度鲜明的例题和变式训练，从直接应用到间接构造，逐步突破应用难点；利用口诀（如“正弦对斜，余弦邻斜，正切对邻”）辅助记忆，但强调在理解基础上使用。

四、教学目标

1.知识与技能：

1.理解锐角余弦函数、正切函数的概念，能准确说出其定义式。

2.能根据定义求出直角三角形中某个锐角的余弦值和正切值。

3.已知锐角的余弦值或正切值，能用计算器求出该锐角的度数。

4.初步了解锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）之间的内在联系。

2.过程与方法：

1.经历从特殊到一般、类比正弦函数探索余弦和正切函数的过程，体会数学研究的一般方法。

2.通过观察、猜想、验证、推理等活动，发展合情推理与演绎推理能力。

3.在解决实际问题的过程中，学会建立直角三角形模型，并灵活选择三角函数关系式求解。

3.情感态度与价值观：

1.通过探索“变中之不变”的数学规律，感受数学的严谨性与和谐美。

2.在解决与坡度、测量相关的实际问题中，体会数学的应用价值，增强学习兴趣。

3.在小组合作探究中，培养乐于交流、敢于质疑的科学态度。

4.核心素养指向：

1.数学抽象：从具体直角三角形的边角关系中，抽象出余弦、正切函数概念。

2.逻辑推理：通过相似三角形性质，严格推理证明余弦、正切比值是定值。

3.数学建模：将实际问题抽象为几何模型，利用三角函数建立方程求解。

4.直观想象：在图形中准确识别角的对边、邻边，想象动态变化中比值的不变性。

五、教学重点与难点

1.教学重点：锐角余弦函数和正切函数的概念。掌握概念是进行一切计算和应用的前提。

2.教学难点：

1.3.理解余弦、正切函数中“对应边比”的确定性（即只与角的大小有关）。

2.4.在综合情境中，灵活选择并正确运用合适的三角函数关系式解决问题。

5.突破策略：对于难点一，采用“信息技术动态演示+相似三角形理论证明”双轨并行的方式，从直观和理性两个层面筑牢认知。对于难点二，采用“问题串”引导和“题组变式”训练，通过对比、辨析，让学生领悟选择策略。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含几何画板动态演示文件）、三角板、教学设计详案、分层练习题卡。

2.学生准备：复习正弦函数定义及性质、直尺、量角器、科学计算器。

3.环境准备：学生按4-6人异质小组就座，便于开展合作学习。

七、教学策略与方法

本课综合运用以下教学策略与方法：

1.类比迁移法：以正弦函数为“锚点”，引导学生自主探究余弦、正切函数，实现知识的正迁移。

2.探究发现法：创设问题情境，引导学生动手计算、观察猜想、合作验证，主动建构新知识。

3.直观演示法：利用几何画板动态展示直角三角形大小变化时比值恒定，化抽象为具体。

4.讲练结合法：精讲概念本质，辅以阶梯式练习，及时巩固，反馈矫正。

5.问题驱动法：以环环相扣的问题链贯穿课堂，驱动学生思维不断深入。

八、教学过程实施

（一）创设情境，温故导新（预计时间：5分钟）

1.活动开展：

1.教师活动：课件展示一个标准的Rt△ABC，∠C=90°，∠A为一个锐角。提问：“上节课我们认识了锐角A的哪个‘好朋友’？（正弦sinA）它是如何定义的？（sinA=∠A的对边/斜边）为什么这个比值是固定的？（相似三角形性质）”

2.学生活动：集体回答，回顾正弦函数的定义与本质。

3.教师活动：在原有三角形上，动画高亮∠A的邻边AC和斜边AB。追问：“除了对边与斜边的比，在这个直角三角形中，∠A的邻边与斜边的比（AC/AB），是否也是一个固定的值呢？如果改变这个三角形的大小，但保持∠A的度数不变，这个比值会变吗？”同理，高亮对边BC和邻边AC，“那么，∠A的对边与邻边的比（BC/AC）呢？”

2.设计意图：

从复习正弦函数自然切入，通过动画高亮不同的边，巧妙地将学生的注意力引向新的边比组合。两个追问直接指向本节课的核心探究问题，激发学生的认知冲突和好奇，明确本课学习目标。温故而知新，建立新旧知识的联系点。

（二）合作探究，建构概念（预计时间：18分钟）

环节一：探究“邻边/斜边”的规律——余弦函数

1.猜想与实验：

1.教师活动：布置探究任务一。课件呈现任务单：在∠A分别为30°、45°的两个系列中，各给出三个大小不同但角度相等的直角三角形。请学生以小组为单位，测量或利用已知的特殊直角三角形三边关系，计算每个三角形中∠A的邻边/斜边的值，填写表格，观察规律。

2.学生活动：小组合作，测量、计算、记录、讨论。完成表格如下：

∠A度数

三角形编号

邻边长度

斜边长度

邻边/斜边（比值）

30°

△1

30°

△2

30°

...

45°

△1

45°

...

3.教师活动：巡视指导，引导各小组汇总数据。

2.发现与验证：

1.学生活动：小组代表汇报数据。发现：对于30°角，无论三角形大小，邻边/斜边的比值都约等于0.866（或√3/2）；对于45°角，该比值都约等于0.707（或√2/2）。

2.教师活动：肯定学生的发现。进一步追问：“这是巧合吗？能否用我们学过的数学理论证明，只要∠A大小固定，它的邻边与斜边的比就固定不变？”引导学生回忆相似三角形。

3.师生互动：共同完成推理。因为“两角对应相等的两个三角形相似”，所以所有含有一个锐角为∠A的直角三角形都相似。相似三角形对应边成比例，因此在这些三角形中，∠A的邻边与斜边的比值是一个定值。

3.定义与命名：

1.教师活动：总结：“这个只与∠A大小有关的定值，我们称之为∠A的余弦。”板书定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。即cosA=∠A的邻边/斜边=b/c。

2.学生活动：朗读定义，在笔记本上记录。对比sinA的定义，明确区别在于比的“前项”不同。

环节二：类比探究“对边/邻边”的规律——正切函数

1.自主迁移探究：

1.教师活动：“按照刚才研究余弦的思路，请各小组独立探究∠A的对边与邻边的比，是否也是一个定值？”发布探究任务二表格（类似任务一，比值列改为“对边/邻边”）。

2.学生活动：小组运用类比方法，快速计算、填表、讨论。发现对于30°角，对边/邻边的比值约等于0.577（或√3/3）；对于45°角，比值等于1。

2.抽象与定义：

1.师生互动：共同确认规律，并进行相似三角形理论证明。

2.教师活动：给出定义并板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA。即tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b。

3.学生活动：记录定义。思考：当∠A=45°时，tanA=1，反映了图形的什么特征？（等腰直角三角形，两直角边相等）

环节三：动态验证，深化理解

1.技术演示：

1.教师活动：打开几何画板预先制作的动态文件。展示一个∠A固定的直角三角形，拖动顶点改变三角形的大小。动态显示三个比值：sinA(对边/斜边)、cosA(邻边/斜边)、tanA(对边/邻边)的数值。学生观察发现，在拖动过程中，三个数值始终不变。

2.学生活动：观看演示，直观感受“变（边长）中之不变（比值）”，深化对三角函数作为“角度的函数”这一本质的理解。

2.概念整合：

1.教师活动：课件展示概念对比表，引导学生共同填写。

函数名

定义（比值）

记法

本质

正弦

∠A的对边/斜边

sinA

只与∠A的大小有关

余弦

∠A的邻边/斜边

cosA

只与∠A的大小有关

正切

∠A的对边/邻边

tanA

只与∠A的大小有关

2.教师强调：①三个函数统称锐角三角函数。②定义的前提是“在直角三角形中”。③要明确“对边”和“邻边”都是相对于所研究的锐角而言的。

设计意图：

本环节是概念建构的核心。采用“实验猜想→理论验证→形成定义”的科学探究流程，培养学生严谨的思维习惯。两个探究环节由“扶”到“放”，体现了能力的迁移。动态几何演示将抽象理论可视化，直击教学难点。最后的对比表实现了知识的系统化、结构化，利于学生整体把握。

（三）典例精析，巩固新知（预计时间：12分钟）

例题1：（直接应用，巩固定义）

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6。

(1)求∠A的余弦值和正切值。

(2)求∠B的正弦值和余弦值。

教学流程：

1.学生活动：独立审题，在图形中标出已知，识别∠A和∠B的对边、邻边、斜边。

2.师生互动：教师提问：“求cosA和tanA，需要知道哪些边长？”（需要∠A的邻边AC和斜边AB，对边BC已知）。如何求AC？（利用勾股定理，AC=√(AB²-BC²)=8）。请一名学生板演(1)的完整过程。

1.3.cosA=AC/AB=8/10=0.8

2.4.tanA=BC/AC=6/8=0.75

5.教师追问：“∠B的正弦值sinB，是哪个边比哪个边？”（∠B的对边是AC，斜边是AB，所以sinB=AC/AB=0.8）。你发现了什么？（sinB=cosA）。这个现象是普遍规律吗？（是的，对于任意锐角A，有sin(90°-A)=cosA，为后续互余角三角函数关系做铺垫）。

6.学生完成(2)，教师小结：在应用中，首要任务是“找准边”，明确所求函数对应的是哪两条边的比。

例题2：（逆向思维，计算器使用）

(1)已知cosα=0.6，求锐角α的度数（精确到1°）。

(2)已知tanβ=2.5，求锐角β的度数（精确到1°）。

教学流程：

1.学生活动：尝试使用计算器操作。部分学生可能会直接输入0.6然后按sin^(-1)键。

2.教师活动：演示正确操作：对于(1)，科学计算器上依次按下：shift

(或2nd

)→cos

→0.6

→=

，显示结果约为53.13°，即α≈53°。强调：shift

+cos

(即cos^(-1))是反余弦函数键，表示“已知余弦值求角度”。

3.学生练习(2)，教师巡视。巩固：shift

→tan

→2.5

→=

。

4.教师小结：已知三角函数值求角度，是三角函数应用（如解直角三角形）的关键步骤，必须熟练掌握计算器操作。

设计意图：

例题1是定义的直接应用，重在训练学生准确识别边角关系，并自然引出互余角三角函数关系的初步感知。例题2训练逆向思维和计算技能，这是解决实际问题不可或缺的一步。两个例题层次分明，覆盖了基础应用。

（四）联系实际，拓展升华（预计时间：8分钟）

情境：山坡的坡度

课件展示一幅山坡的剖面图，将其抽象为一个直角三角形，其中坡面AB是斜边，水平距离BC是∠A的邻边，垂直高度AC是∠A的对边。

问题链驱动：

1.教师提问：“在工程和地理中，我们常用‘坡度’来描述山坡的陡峭程度。观察这个直角三角形，你认为用哪个边比最能直观反映山坡的‘陡’与‘缓’？”（引导学生思考：垂直高度/水平距离，即对边/邻边，也就是tanA）。

2.学生活动：讨论并认同。教师给出规范：坡度(i)通常写作i=h:l(h垂直高度，l水平距离)，也就是i=tanα，其中α是坡角。

3.应用计算：“已知某山坡的坡度i=1:√3，请问这个山坡的坡角α是多少度？”

1.4.学生分析：i=tanα=1/√3≈0.577。

2.5.学生计算：利用计算器求α，得α≈30°。

6.跨学科联想：“除了坡度，在生活中还有哪些地方体现了‘正切’的概念？”（如梯子的倾斜程度、屋顶的斜面、太阳高度角与影长的关系等）。

设计意图：

将抽象的数学概念（正切）与真实的物理世界（坡度）建立强关联，深刻揭示数学的应用价值。通过问题链，引导学生自主发现“正切是描述倾斜程度的天然工具”，完成数学建模的初步体验。拓展联想进一步打开学生的视野，感受数学的普适性。

（五）综合训练，分层达标（预计时间：10分钟）

设计A、B、C三层练习，满足不同层次学生需求。

【A组：基础达标】

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tanA=____，cosB=____。

2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，则cosA=____。

3.用计算器求值（精确到0.01）：cos25°≈____；已知tanθ=0.7813，则θ≈____°。

【B组：能力提升】

4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=6，BD=4，∠C=45°，求tan∠BAD的值。

（提示：需要综合运用三角函数和图形性质，先求出CD，再得到AB或AD相关信息，最终在Rt△ABD中求tan∠BAD。）

【C组：拓展挑战】

5.（跨学科物理问题）如图所示，一束光线从空气射入玻璃，发生折射。入射角为α，折射角为β。物理学中的折射定律指出：sinα/sinβ=n（常数，称为折射率）。已知某玻璃对空气的折射率n=1.5，测得折射角β=30°，请问入射角α的正切值是多少？

（提示：先由折射定律sinα=n*sinβ求出sinα，再通过sin²α+cos²α=1求出cosα，最后得tanα=sinα/cosα。本题旨在让学有余力的学生感受三角函数在科学定律中的核心作用，并初步接触同角关系。）

教学流程：

学生根据自身情况至少完成A组，鼓励完成B组，学有余力挑战C组。教师巡视，重点关注B、C组学生的思路，进行个别指导。完成后，利用投影展示有代表性的解答，集体讲评，重点分析B、C题的解题思路和关键突破点。

设计意图：

分层练习尊重学生个体差异，使所有学生都能获得成就感。A组巩固双基，B组强化综合应用和图形分析能力，C组面向资优生，提供跨学科深度探究的机会，激发其学术兴趣。

（六）课堂小结，反思提升（预计时间：5分钟）

教师引导，学生自主总结：

1.知识网络：“今天我们一起为锐角A找到了另外两个‘好朋友’，它们是谁？请一位同学到黑板上，画出直角三角形，标出∠A的三个三角函数表达式。”

2.思想方法：“我们是采用什么方法研究余弦和正切函数的？（类比迁移、实验探究、推理证明）”

3.核心要点：“你认为在理解和应用这三个三角函数时，最关键的是什么？（①在直角三角形中；②找准对边、邻边；③比值只与角的大小有关）”

4.应用价值：“你能举出一个用余弦或正切解决实际问题的例子吗？”

教师最终提炼：

今天我们完成了锐角三角函数“三兄弟”（sin,cos,tan）的集结。它们是从形的世界（直角三角形）通向数的世界（比值、函数）的三座金桥。记住它们的样子和名字很重要，但更重要的是理解它们作为“角度函数”的灵魂，以及它们如何成为我们描述和改造世界（如测量、工程）的精密工具。下节课，我们将学习如何运用这“三兄弟”联手解决更复杂的实际问题——解直角三角形。

（七）布置作业，延伸学习

【必做题】

1.教材对应章节练习题。

2.整理本节课的笔记，绘制锐角三角函数的概念思维导图。

【选做题】

3.测量你家附近一段斜坡（或楼梯）的坡度，计算其坡角。写出简单的测量与计算报告。

4.查阅资料，了解“正弦、余弦、正切”这些中文名称的历史由来，或了解它们在古代天文学、测量学中的应用故事，制作一张知识小卡片。

设计意图：

必做题夯实基础，选做题（实践作业和阅读作业）体现开放性与综合性，将学习从课堂引向生活、引向历史，