九年级数学下册：用列表法求概率（第一课时）教案

九年级数学下册：用列表法求概率（第一课时）教案

一、教学设计总览

（一）设计理念

本教学设计以《义务教育数学课程标准》为指导，秉承“以生为本”的教育理念，致力于发展学生的数据意识、模型观念和应用能力。教学设计超越单纯技能训练的藩篱，将“用列表法求概率”置于“随机现象的数学刻画”这一大概念之下进行建构。通过创设真实、富有挑战性的问题情境，引导学生亲历“实际问题抽象为概率模型→利用列表法系统枚举所有等可能结果→计算概率→回归解释”的完整数学化过程。在教学过程中，着力渗透分类讨论、有序思考、数形结合等数学思想方法，并尝试建立与信息学（算法中的枚举思想）、统计学（样本空间的完整性）的初步联系，培养学生的跨学科思维与高阶思维能力。教学评价贯穿始终，强调对思维过程、方法选择依据以及表达规范性的评估，旨在培育学生严谨、理性的科学态度。

（二）教材与学情分析

1.教材分析：列表法是求解古典概型概率的重要工具，尤其适用于涉及两步或两步以上，且每一步骤结果有限的随机试验。它在本章中承上启下，上承“等可能事件概率”的定义，下启更为复杂的“树状图法”及实际应用。冀教版教材通过典型例题展现了列表法的基本形态，本课时将在此基础上进行深度挖掘与广度拓展，着重剖析列表法的数学本质（系统化枚举，构建清晰的样本空间）、适用前提（步骤的有限性与等可能性）以及列表构建的逻辑（如何确定行与列，如何处理有序与无序问题），使之从一个解题技巧升华为一种解决问题的普适性策略。

2.学情分析：九年级学生已具备基本的等可能事件概率计算公式（P(A)=m/n）的知识储备，并有一定的枚举（如画树状图萌芽）经验。然而，学生在面对稍复杂的两步试验时，常出现枚举遗漏、重复、无序等错误，其根源在于缺乏系统化的组织思维工具。同时，学生对于“为何要列表”、“如何科学地设计表格”、“列表结果与实际情境的对应关系”等深层次问题认识模糊。因此，本课的关键在于引导学生认识到列表法的优越性与必要性，并通过结构化、层次化的活动，训练其规范、严谨地运用列表法进行思考与表达的能力。

（三）学习目标与评价标准

1.知识与技能目标：

1.2.（1）理解列表法适用于解决涉及两步且结果有限的随机试验概率问题。

2.3.（2）掌握规范构建列表的步骤，能准确、无遗漏、无重复地列出所有等可能的结果。

3.4.（3）能熟练运用列表法计算简单事件的概率。

5.过程与方法目标：

1.6.（4）经历从具体问题抽象出概率模型，并自主探索用表格组织信息的过程，体会列表法在系统枚举中的优越性（有序性、不重不漏）。

2.7.（5）通过对不同问题列表方式的对比与辨析，提升根据问题特征选择恰当策略（如何定义“结果”）的决策能力。

3.8.（6）发展数学抽象、逻辑推理和数据分析能力。

9.情感、态度与价值观目标：

1.10.（7）在解决实际概率问题的过程中，感受数学的工具价值和应用之美，增强学习兴趣。

2.11.（8）通过小组合作与探究，培养严谨求实、合作交流的数学学习习惯和科学精神。

评价标准：

1.针对目标(1)(2)：能准确判断给定问题是否适用列表法；能独立设计出结构清晰的表格，且表格中的结果组合完整、正确。

2.针对目标(3)：能正确识别目标事件包含的结果数，并计算出准确概率。

3.针对目标(4)(5)：在课堂探究与讨论中，能清晰地阐述选择列表法的理由，并能比较不同列表策略的优劣。

4.针对目标(7)(8)：在问题解决中表现出积极投入的态度，在小组活动中能有效沟通与协作。

（四）教学重难点

1.教学重点：列表法的规范操作流程及其在枚举所有等可能结果时的系统性、完整性。

2.教学难点：

1.3.理解列表的“有序性”本质：理解列表的行与列代表的是试验的有序步骤，即使实际问题中步骤看似“同时发生”，也需作有序化处理以构建等可能样本空间。

2.4.区分与处理“有序结果”与“无序结果”：能根据问题具体语境，判断所求概率事件是基于有序结果还是无序结果，并能在列表基础上正确计数。

（五）教学准备

1.教师准备：交互式多媒体课件（包含动态表格生成演示）、实物投影仪、设计好学案（含探究任务单、分层练习题）。

2.学生准备：复习等可能事件概率定义，准备笔记本、草稿纸。

二、教学实施过程

第一环节：情境激疑，孕伏思想（预计用时：8分钟）

1.创设现实情境，引出核心问题：

【课件展示】学校科技节将举办“智慧解锁”双人挑战赛。比赛道具是一个有两个转盘的密码锁（如图，模拟展示）。转盘A分为红、蓝两区，转盘B分为黄、绿、黑三区，均质地。比赛规则：甲、乙两名队员各随机转动一个转盘（甲转A，乙转B），当两个转盘指针所指区域颜色组合为“一红一蓝”时（注：此处故意设置一个逻辑矛盾，红蓝同属于A盘，不可能与B盘颜色组合成“一红一蓝”，此错误供学生发现），即可解锁成功，队伍获得奖品。

教师提问：同学们，这个规则公平吗？你能直接判断吗？要想知道解锁成功的可能性有多大，我们需要研究什么？

1.2.设计意图：创设具有趣味性和认知冲突的情境。初始规则中的逻辑错误（“一红一蓝”来自同一转盘）能迅速激发学生的质疑精神和审题意识。问题导向明确，直指本课核心——求特定事件（颜色组合）的概率。引导学生意识到，要求概率，必须先厘清“所有可能的结果”以及“满足条件的结果”。

3.修正规则，初探枚举：

学生指出规则错误后，教师修正规则：解锁成功的颜色组合为“红色和黄色”（即A盘红，B盘黄）。

教师提问：现在规则合理了。那么，一次游戏中，所有可能出现的颜色搭配结果有哪些？请尝试用自己喜欢的方式，把它们都列出来。比一比，谁列得又全又快又不重复。

1.4.学生自主探索，可能的方法有：无序列举（红黄，红绿，红黑，蓝黄，蓝绿，蓝黑）、文字描述、连线法、萌芽态的树状图或表格。教师巡视，选取有代表性的几种方法（尤其关注无序列举可能出现的遗漏或无序混乱，以及初步的表格雏形）准备展示。

2.5.设计意图：从最简单直接的枚举需求出发，让学生调用已有经验尝试解决问题，暴露思维的原生态。为后续引入系统化、结构化的列表法做好认知铺垫，形成“方法优化”的心理需求。

第二环节：建模探究，建构新知（预计用时：22分钟）

1.方法对比，凸显列表优势：

利用实物投影展示学生的不同枚举成果。

聚焦讨论：

1.2.“这几种方法，都能找出全部6种结果吗？”

2.3.“你觉得哪种方法看起来最清晰、最有条理？为什么？”

3.4.“如果我们把转盘A的两种可能（红、蓝）和转盘B的三种可能（黄、绿、黑）看做两个步骤，哪种方法最能体现这两个步骤的‘组合’过程？”

引导学生比较发现：无序的文字罗列容易遗漏且混乱；连线法直观但结果表述可能不完整；而类似表格的形式，能将两个步骤的结果分别放在行和列，其交叉点自然生成所有组合，系统性、条理性最强，易于检查和计数。

5.规范建构，揭示列表本质：

教师讲授与演示：“为了系统解决这类‘两步试验’的概率问题，数学家们总结了一种非常有力的工具——列表法。让我们一起来规范地构建这个表格。”

【课件动态演示表格生成过程】

1.6.第一步：确定试验步骤与可能结果。本试验分两步：第一步，转动A盘，可能结果为{红，蓝}；第二步，转动B盘，可能结果为{黄，绿，黑}。

2.7.第二步：设计表格结构。通常将第一步的所有可能结果作为表格的行标题，将第二步的所有可能结果作为表格的列标题。（此顺序可交换，意义一致，但需统一规范）

3.8.第三步：填充表格，生成样本空间。在表格内部（单元格中），有序地写出对应行与列组合的结果。例如，第一行第一列，表示“A红且B黄”，可记作（红，黄）。

生成表格如下：

黄

绿

黑

红

(红，黄)

(红，绿)

(红，黑)

蓝

(蓝，黄)

(蓝，绿)

(蓝，黑)

1.9.第四步：分析表格，计算概率。引导学生观察：表格中共有多少个单元格？每个单元格代表的结果出现可能性是否相等？为什么？（强调转盘的均质性与转动的随机性，保证等可能性）因此，共有6个等可能的结果。

目标事件“解锁成功（红色和黄色）”对应哪个结果？((红，黄))。因此，P(解锁成功)=1/6。

2.10.设计意图：此环节是本课的核心知识生成点。通过动态演示和分步讲解，将列表法从一个“做法”提升为一种有逻辑的“思维模型”。强调步骤的有序化、表格结构的原理、结果的规范表达，奠定坚实的技能基础。明确将表格与“样本空间”这一概念联系起来，深化对概率计算本质的理解。

11.变式探究，突破难点（有序与无序）：

【问题变式】若游戏规则改为：甲乙两人不分顺序，随机各转动一个转盘（即一人转A，另一人转B），当转出的两个颜色是“红色和黄色”（不分哪个转盘）时，即可成功。请问此时成功的概率是多少？

1.12.小组合作探究：

（1）这个情境与刚才有何不同？（步骤的“角色”弱化，更关注颜色的组合本身）

（2）如果还用刚才的列表，表格中的结果（如(红，黄)和(黄，红)）在现实中对应的是同一种颜色组合吗？在这个新规则下，它们应该被视为几种结果？

（3）如何基于列表，计算新规则下的概率？

2.13.小组汇报与教师精讲：

引导学生辨析：原列表的每一个有序对（a,b）是一个等可能的基本结果。但在新规则“颜色组合不分顺序”的语境下，事件“红色和黄色”包含了列表中两个有序结果：(红，黄)和(蓝？此处应为笔误，应是(黄，红)，但表中无此结果？)。认知冲突出现：表中没有(黄，红)？

此时，教师需深度剖析：我们最初的列表，是建立在“甲转A，乙转B”这个固定顺序上的。它隐含了“第一结果来自A，第二结果来自B”的顺序。而在新规则“不分顺序各转一个”时，样本空间需要重新考虑。我们可以将试验理解为：从两个不同的转盘（A:红蓝，B:黄绿黑）中各随机选取一个颜色。为了用列表法系统枚举，我们依然需要指定一个顺序（例如，先考虑A盘颜色，再考虑B盘颜色），这样才能得到6个等可能的有序结果。但判断事件时，事件“红色和黄色”在这个样本空间里，只对应(红，黄)这一个有序结果吗？不对，因为“先红(A)后黄(B)”和“先黄？但我们没有‘先黄’的可能，因为‘黄’只出现在B盘？”——这暴露出当两个步骤的‘来源’（样本空间）不同时，某些有序组合在物理上不可能发生。此变式设置精妙，迫使学生思考列表构建的底层逻辑：列表的行与列必须覆盖该步骤所有可能的输出，且每一步是独立的。

为了更透彻地解决此类“无序”问题，教师可引入一个更对称的变式：

【新变式】一个袋子中装有红、白两个除颜色外完全相同的小球，有放回地随机摸取两次。求两次摸到的球颜色相同的概率。

1.3.14.列表：行（第一次）：{红，白}；列（第二次）：{红，白}。得到4个等可能有序结果：(红,红)，(红,白)，(白,红)，(白,白)。

2.4.15.事件“颜色相同”包含：(红,红)和(白,白)。P=2/4=1/2。

3.5.16.若问题改为：摸出两个球（不考虑顺序），颜色相同的概率？此时，样本空间若考虑无序组合，则为{(红,红)，(红,白)，(白,白)}，但三者等可能吗？不是！(红,白)出现的可能性是(红,红)或(白,白)的两倍。因此，计算古典概率，必须基于等可能的基本结果。而最可靠的方法，就是先利用列表（或树状图）构建出所有等可能的有序结果，再在这些结果中统计满足无序条件的事件数。

4.6.17.所以，对于最初的转盘变式，在“不分顺序各转一个”的规则下，样本空间仍是那6个有序结果（因为A、B盘不同，每个有序结果唯一对应一种物理操作结果）。事件“红色和黄色”只对应(红，黄)这一个有序结果（因为黄色只在B盘）。概率仍为1/6。若学生误以为包含“黄，红”，则是将问题错误类比为“从同一个颜色集合中抽取”，未考虑颜色来源的差异性。

7.18.设计意图：此环节是突破难点的关键。通过精心设计的变式，引发学生认知冲突，驱动深度思考。引导学生辨析“列表生成的有序样本空间”与“实际问题中对事件的无序描述”之间的关系。让学生深刻理解：列表法（或树状图法）的核心价值是生成等可能的基本结果（通常是有序的）；解决实际问题时，必须准确地将事件语言翻译为对这个样本空间中特定结果的描述。这是培养概率思维严谨性的至关重要的一步。

第三环节：范例精析，深化理解（预计用时：10分钟）

【例题】同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

（1）两枚骰子的点数相同；

（2）两枚骰子点数的和是9；

（3）至少有一枚骰子的点数为2。

1.师生共析，规范解题：

1.2.引导：这是几步试验？每一步的可能结果有哪些？能否用列表法？为什么？（两步，每步结果1-6，有限且等可能，适用列表法）

2.3.共同构建表格：教师引导学生口述，课件生成标准的6×6点数表格。强调结果的规范写法，如(1,1),(1,2)……(6,6)。

3.4.独立求解：学生根据表格，独立完成三个小问的计算。

4.5.展示与订正：投影展示学生解题过程，重点强调：

1.5.6.数对的意义：(a,b)中a代表第一枚骰子点数，b代表第二枚骰子点数。

2.6.7.事件（1）“点数相同”对应哪些数对？(对角线上的6个：(1,1),(2,2)…(6,6))。

3.7.8.事件（2）“点数和为9”对应哪些数对？((3,6),(4,5),(5,4),(6,3))。此处可提问“为什么没有(6,3)？”已包含，以此检查学生是否有序寻找。

4.8.9.事件（3）“至少有一个为2”的计数策略：可以数包含2的行和列，但注意(2,2)不要重复计数。更系统的方法是：互补事件思想——“至少有一个2”的反面是“两个都没有2”，即从表格中划去第2行和第2列，数剩下的25个，则目标事件有36-25=11个。或直接枚举：(2,1)…(2,6)共6个，(1,2),(3,2)…(6,2)共5个（除去重复的(2,2)），合计11个。

10.方法提炼：

师生共同总结使用列表法解题的一般步骤：

1.11.审：判断是否为两步有限等可能试验，确认适用列表法。

2.12.建：确定试验的步骤顺序；设计表格，行、列标题分别代表各步骤的所有可能结果；填写表格，生成完整的样本空间。

3.13.数：在样本空间中，明确目标事件包含了哪些结果（有序对）。

4.14.算：利用公式P(A)=事件A包含的结果数/所有等可能结果数，进行计算。

5.15.答：给出完整概率答案，并根据实际问题简要说明。

6.16.设计意图：通过经典例题的精细化处理，巩固列表法的操作技能。将解题过程程序化、规范化。在具体计数中渗透分类、互补等数学思想，提升思维灵活性。例题涵盖了点对点、点对和、至少型等常见概率事件类型，具有代表性。

第四环节：分层演练，巩固拓展（预计用时：12分钟）

【A组：基础巩固】（面向全体，巩固列表操作）

1.从1，2，3这三个数字中随机抽取两个不同的数字组成一个两位数（十位和个位数字不同），则这个两位数能被3整除的概率是多少？（提示：列表时，行、列分别代表十位和个位数字，注意“不同”的限制，对角线上的结果无效）

2.小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和蓝色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是红色上衣和蓝色裤子的概率是______。

【B组：能力提升】（面向大多数，深化理解应用）

3.一个不透明的盒子中装有标号分别为1，2，3，4的四个完全相同的小球，随机摸出两个球。用列表法求摸出的两个球标号之和为奇数的概率。（关键挑战：如何用列表处理“不放回摸两个球”？需要引导学生明确步骤：第一次摸有4种可能，第二次摸有3种可能（因为不放回），但直接列表4×3=12个有序结果，其中如(1,2)和(2,1)是不同结果且等可能。事件“标号之和为奇数”需在这12个结果中计数。）

4.甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏，试计算在一次游戏中两人平局的概率。（提示：行—甲的选择{石头，剪刀，布}，列—乙的选择{石头，剪刀，布}）

【C组：思维拓展】（面向学有余力，挑战综合思维）

5.（跨学科联系）在计算机编程中，“枚举算法”常用来解决组合优化问题。请尝试用列表法的思想，描述如何通过编程枚举出从字母集合{A,B,C,D}中任取两个不同字母的所有排列（即考虑顺序），并计算总共有多少种排列方式。

6.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，观察朝上的面。列表法还能直接适用吗？为什么？你有什么新的思路来系统枚举所有可能结果？（为下一课时“树状图法”埋下伏笔）

1.活动安排：学生独立完成A组，教师巡视指导。B组可小组讨论后完成。C组作为课后思考或供快生当堂挑战。教师重点讲评A组第1题（强调“有序”与“不同”）、B组第3题（如何处理不放回抽样，这是列表法的深化应用）和B组第4题（对称性应用）。通过分层练习，实现因材施教，确保不同层次学生都能获得发展。

第五环节：反思总结，凝练升华（预计用时：5分钟）

1.知识网络建构：

引导学生以思维导图或提纲形式，总结本课所学。

1.2.核心工具：列表法。

2.3.适用情境：两步（或多步，但本课聚焦两步）有限等可能随机试验。

3.4.核心思想：有序思考，系统枚举，构建清晰样本空间。

4.5.关键步骤：审、建、数、算、答。

5.6.易错点：忽略等可能性前提；列表时行列设置不合理；计数目标事件时遗漏或重复；混淆有序结果与无序事件。

7.思想方法提炼：

教师提升总结：列表法不仅是求概率的工具，更是一种重要的数学思想方法——系统化、结构化的枚举思想。它在计算机科学（算法）、组合数学、统计学等领域都有广泛应用。它教会我们，面对复杂问题时，通过设计清晰的框架（表格），将无序信息有序化，是化繁为简、确保严谨的智慧。

8.展望延伸：

提问：如果试验步骤超过两步（如同时抛三枚硬币），或者某一步的可能结果非常多，