广东省东莞市南城区2026年中考二模数学试题附答案

中考二模数学试题一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意）1．的倒数是（）A．2025 B． C． D．2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用.2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达.将销售数据用科学记数法表示为()A． B． C． D．4．下列运算正确的是（）A． B．C． D．5．利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（）A． B． C． D．6．甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5.下列说法中不一定正确的是（）A．甲、乙的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙成绩的众数相同7．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（）A． B．C． D．8．如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，则的长是（）．A．3 B．4 C．5 D．69．若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（）A． B． C． D．10．如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）11．若，是一元二次方程的两个根，则．12．因式分解：．13．方程组的解为．14．如图，在正五边形中，连接，则的度数为．15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则的值为．三、解答题（本题共3小题，每小题7分，共21分．）16．计算.17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．（1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BD，若AB=3，BC=1，求BD的长．18．光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求折射率；（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点，、、分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点处射入，其折射光线恰好从点处射出，如图②，已知，，求的长．四、解答题（本题共3小题，每小题9分，共27分．）19．某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航；C．HarmonyOS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有人；最关注话题扇形统计图中的，话题D所在扇形的圆心角是度；（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；（3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航；C．HarmonyOS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率．20．“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书与用1200元购买乙种图书数量相等．（1）甲种图书和乙种图书的价格各是多少？（2）根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？21．某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题：（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．①图2中弧的长为______，弧的长为______；②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数．（2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．五、解答题（本题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分．）22．问题情景如图，与都是等腰直角三角形，且，求证：；问题迁移如图，在中，，，平分，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．求证：；连接，若，，直接写出，的长；问题变式如图，在菱形中，，点是对角线（端点除外）上的动点，连接，作菱形，使，交于点，若，求的值（用含有的式子表示）．23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．（1）作直线，是抛物线上第一象限内的一个动点．①如图1，当时，求点的横坐标；②如图2，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值．（2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线（）与线段只有一个交点，求的取值范围．

答案1．【答案】C【解析】【解答】解：∵∴的倒数是，故选：C【分析】根据代数的定义即可求出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：A不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形．故选：D．【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．3．【答案】C【解析】【解答】解：62万=620000=6.2×105.

故答案为：C.

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.4．【答案】D【解析】【解答】解：A．；B．；C．与不是同类项，不能进行加法运算；D．；故选：D．【分析】根据相关法则计算即可．5．【答案】B【解析】【解答】解：如图，，，，故选：B．【分析】将实际问题转化为方向角的问题即可解答．6．【答案】D【解析】【解答】解：∵甲射击成绩的方差是1.1，乙射击成绩的方差是1.5，且平均数都是8环，∴S甲2＜S乙2，∴甲射击成绩比乙稳定，乙射击成绩的波动比甲较大，∵甲、乙射靶10次，∴甲、乙射中的总环数相同，故A、B、C选项都正确，但甲、乙射击成绩的众数不一定相同.故D错误；故答案为：D.【分析】在数据的总个数及平均数一样的情况下，方差越大，数据的波动就越大，成绩越不稳定，而众数就是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可一一判断得出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：设这个小组有x个人，由题意得，．故选C．【分析】设这个小组有x个人，根据题意建立方程即可求出答案.8．【答案】B【解析】【解答】

解：∵为的切线，∴．

∵为的切线，

∴．

∵，

∴．

故选B．

【分析】由切线长定理知，，所以．9．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意得，，，，即，故选项B，C，D错误，，，选项A正确；故选：A．【分析】根据正比例函数的性质即可求出答案.10．【答案】A【解析】【解答】解：如图，作于H，则，∵是直径，∴，

易证，∴，设，，在中，由勾股定理得，，

，∴，∴，∴，故选：A．【分析】作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理得出，然后根据即可求解．11．【答案】【解析】【解答】解：对于，系数为1，为3，，是一元二次方程的两个根，．故答案为：．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.12．【答案】【解析】【解答】解∶原式，故答案为∶．【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可．13．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：，由①②得：，解得③把③代入②解得：．解得故原方程组的解是：．故答案为：【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.14．【答案】【解析】【解答】解：∵是正五边形，∴，，∴，∴，故答案为：．【分析】根据正多边形内角和可得∠C=∠ABC=108°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠CBD，再根据角之间的关系即可求出答案.15．【答案】【解析】【解答】解：连接，由对称性得：∵是的中点，∵的长的最大值为3，则长的最大值为：如图上图所示，当过圆心时，最长，过作轴交于点，在直线上，设，则即在中，由勾股定理得：代入数据得：整理得：解得：(舍去)，或∵在反比例函数的图象上，，故答案为：．【分析】连接，由对称性得：，根据线段中点可得，则长的最大值为6，当过圆心时，最长，过作轴交于点，设，则即，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.16．【答案】解：原式.【解析】【分析】先计算特殊角的三角函数值、0指数、算术平方根、负指数，再进行合并即可求解.17．【答案】解：（1）四边形就是所求作的矩形（2）连接，如下图：

∵四边形是矩形，

∴.

【解析】【分析】（1）以为圆心，以长为半径画弧，再以为圆心以长为半径画弧，两弧交于点，即可求解；（2）利用矩形的性质，求解AC长即可．18．【答案】（1）解：，，折射率为：；​​​​（2）解：由题意可得，折射率为，，，，，在中，设，，

由勾股定理得，，，．​​​​​​【解析】【分析】（1）由特殊角的三角函数值得，与一起代入即可得解；（2）由（1）中所得的折射率求出，推得，设，结合勾股定理得出，由，即可求得．（1））解：，，折射率为：；（2）解：由题意可得，折射率为，，，，，在中，设，，由勾股定理得，，，．19．【答案】（1）200，25，36（2）解：由图可知：选中C的学生为：（人），补全的条形统计图如图所示：（3）解：设两个小组选择A、B话题发言的事件为A

画树状图如下：

共有6个等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，而事件A的结果有2个，

∴P(A)=．【解析】【解答】（1）解：调查的学生共有：（人），选择D的人数百分率为：

，

a=25故答案为：200，25，36；【分析】（1）先根据总数=频数÷百分率，计算出总数，求出D的百分率和圆心角，最后求a(2)根据C组的百分率，先求出C组的人数，补全条形图即可

（3）设设两个小组选择A、B话题发言的事件为A，画出树状图，列出所有结果，根据概率公式计算即可.20．【答案】（1）解：设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，，，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，，∴甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元；（2）解：设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，由题意得：，解得：，答：学校最多可购进甲种图书200本．【解析】【分析】（1）设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，根据题意列出分式方程，解方程即可；（2）设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，根据费用要求列出一元一次不等式求解．（1）解：设甲种图书的价格是元，则乙种图书的价格是元，由题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，，答：甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元；（2）解：设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，由题意得：，解得：，答：学校最多可购进甲种图书200本．21．【答案】（1）①，；②证明：设它所对的圆心角的度数为，的长，的长，所以，，而，解得，即，因为，解得；（2）如图4，连接，，它们相交于点，四边形为正方形，，，，，为等边三角形，，易证，，，垂直平分，，，为等腰直角三角形，，，，即正方形纸片的边长为．【解析】【解答】（1）①杯口圆的半径为，杯底圆的半径为，，，故答案为，；【分析】（1）①直接根据圆的周长公式计算；②设它所对的圆心角的度数为，根据弧长公式分别得到和的长，然后把它们相比即可得到，得，加上，可求得，再利用弧长公式得到，于是可求出；（2）如图4，连接，，它们相交于点，先证明为等边三角形得到，再证明，于是可判断垂直平分，所以，由勾股定理计算出，由为等腰直角三角形和得到，则，然后根据正方形的性质得．（1）解：①杯口圆的半径为，杯底圆的半径为，，，故答案为，；②证明：设它所对的圆心角的度数为，的长，的长，所以，，而，解得，即，因为，解得；（2）解：如图4，连接，，它们相交于点，四边形为正方形，，，，，为等边三角形，，在和中，，，，，垂直平分，，，为等腰直角三角形，，，，即正方形纸片的边长为．22．【答案】[问题情景]证明：∵和为等腰直角三角形，∴，，

∴，

∴；

[问题迁移]证明：∵平分，

∴，

由旋转的性质知：，，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

由上得：，，

∴，

∴，

∵，

∴；

[问题变式]解：∵菱形，，

∴，为等边三角形，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．【解析】【分析】问题情景：由与都是等腰直角三角形，，，可判定；问题迁移：由平分，则，由旋转的性质知，，由，，故有，，证明，根据相似三角形的对应角相等可得，即可证；根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论；问题变式：由菱形性质可知为等边三角形，则，结合可求出，根据三角形内角和定理可证明，再用两角对应相等判定相似得到，得出，即可得解．

23．【答案】（1）解：①令，

解得或；点，，令，得，．设点的坐标为（），

，，即．，解得或（舍去）点的横坐标为；②∵、，由待定系数法，直线的表达式为：．，对称轴为直线．设点