人教版初中数学九年级下册“二次函数的图象与性质”复习课教学设计

人教版初中数学九年级下册“二次函数的图象与性质”复习课教学设计

一、教学内容分析

（一）教材地位与作用

本节课选自人教版数学九年级下册第二十六章“二次函数”的复习环节。【重要】二次函数是初中数学的核心内容，是连接代数与几何的桥梁，也是中考数学的【高频考点】和【压轴题】的素材库。它不仅涵盖了之前所学的一次函数、反比例函数、方程与不等式、图形变换等知识，更是高中学习幂函数、指数函数、对数函数以及导数等内容的必要基础，承载着培养学生数形结合思想、函数与方程思想、建模思想及逻辑推理能力的【核心素养】任务。本节课旨在通过对二次函数图象与性质的再认识，帮助学生构建系统化的知识网络，提升综合运用知识分析问题和解决问题的能力。

（二）学情分析

九年级学生已具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力，对函数概念有了初步理解。在此之前，学生已经学习了二次函数的定义、三种表达形式及其图象画法，对二次函数的开口方向、顶点、对称轴等基本性质有了初步认识。【基础】然而，学生对于知识的内在联系（如系数变化与图象变换的关联、代数性质与几何特征的统一）往往缺乏深度理解，面对参数较多、情境复杂或需要分类讨论的问题时，容易出现考虑不周全、数形转化不熟练的情况。因此，本复习课的设计旨在引导学生从“知其然”走向“知其所以然”，进而达到“知何由以知其所以然”的境界。

（三）跨学科视野渗透

本节课在分析函数性质时，可以自然融入物理学中的抛体运动轨迹（如铅球、篮球的抛物线），让学生感受到数学是描述物理世界的重要语言。同时，通过分析顶点坐标的最值意义，可以关联经济学中的成本最小化、利润最大化问题，或工程设计中的最佳方案选择，体现数学建模在解决实际问题中的广泛应用，培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的综合素养。

二、教学目标设计

（一）知识与技能

1.【基础】熟练掌握二次函数的三种表达形式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化。

2.【重要】能准确说出二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性和最值。

3.理解二次函数系数a、b、c以及判别式△与图象之间的内在关联。

（二）过程与方法

4.通过图象变换、系数探究等活动，经历观察、分析、归纳、概括的过程，进一步强化数形结合的思想方法。

5.在解决含参二次函数问题时，学会运用分类讨论和转化化归的策略，提升逻辑推理的严密性。

（三）情感态度与价值观

6.在探究与合作交流中，感受知识之间的和谐统一美，激发学习数学的兴趣和信心。

7.通过解决实际问题，体会数学的应用价值，培养严谨求实的科学态度和勇于探索的创新精神。

三、教学重难点

（一）教学重点

1.【重要】二次函数图象（抛物线）的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值。

2.【高频考点】二次函数系数a、b、c的几何意义及其与图象位置的关系。

（二）教学难点

3.【难点】理解并运用二次函数的性质解决含参问题，特别是涉及图象变换、区间最值以及与其他函数综合的问题。

4.【难点】灵活运用数形结合思想，将抽象的代数问题转化为直观的图形问题。

四、教学策略与方法

本节课采用“问题驱动式”与“探究引导式”相结合的教学模式。以核心问题链贯穿课堂始终，引导学生自主构建知识体系。利用几何画板等信息技术工具动态演示函数图象随系数变化的规律，化抽象为直观，突破教学难点。通过小组合作、师生互动、生生互评等多种方式，营造积极活跃的课堂氛围，确保学生在思维碰撞中深化理解，在交流辨析中提升能力。

五、教学准备

教师准备：多媒体课件（含几何画板动态演示）、精心设计的学案。

学生准备：复习二次函数基本概念，完成学案中的前置性基础练习。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，唤醒记忆（约5分钟）

教师活动：通过多媒体展示一段篮球比赛视频，定格在篮球在空中划过一道优美弧线入筐的瞬间。提出问题：“篮球运动的轨迹近似于我们学过的哪种函数的图象？你能回忆起这种函数图象的基本形状和哪些关键要素吗？”

学生活动：观察、思考并回答。引出课题“二次函数的图象与性质复习”。随后，教师引导学生快速口答下列基础问题：

1.二次函数的一般形式是什么？二次项系数a有什么限制？（a≠0）

2.二次函数的图象是______，其开口方向由____决定。

3.如何求一个二次函数的顶点坐标和对称轴？（引导学生说出公式法和配方法）

设计意图：从学生熟悉的生活情境入手，激发学习兴趣，快速将学生注意力集中到本节课的核心内容上。通过一系列基础问题，唤醒学生对已有知识的记忆，为后续的深度探究铺设台阶。

（二）基础梳理，构建网络（约12分钟）

教师活动：以函数y=2x²-4x+1为例，引导学生从多个维度对其进行解剖分析。

学生活动：以小组为单位，在学案上完成对该函数的全方位分析，并选派代表进行板演和讲解。

分析要点包括：

1.【基础】表达形式识别：该函数属于一般式。

2.【基础】配方法转化：学生板演将其配方为顶点式y=2(x-1)²-1。

3.【基础】求图象与坐标轴的交点：

1.与y轴交点：令x=0，得(0,1)。【重要】此即常数项c对应的点。

2.与x轴交点：令y=0，解2x²-4x+1=0，得x=1±√2/2，交点坐标为(1+√2/2,0)和(1-√2/2,0)。【重要】此即对应一元二次方程的根，判别式△=16-8=8>0，说明抛物线与x轴有两个交点。

1.【重要】确定图象的开口方向、顶点与对称轴：

1.开口：向上（a=2>0）。

2.对称轴：直线x=1。

3.顶点坐标：(1,-1)。

1.【重要】分析函数的增减性与最值：

1.当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大。

2.当x=1时，函数取最小值，y最小值=-1。

教师追问：能否根据以上信息，快速地、徒手地画出这个函数的大致草图？需要抓住哪几个关键点？（引导学生得出“五点绘图法”：顶点、与y轴交点及其对称点、与x轴交点）

设计意图：以一个具体函数为载体，引导学生从“式”到“点”再到“形”进行全面分析，将零散的知识点串联起来，形成一个清晰、系统的知识结构网络。小组合作与板演讲解，既锻炼了学生的合作能力，又暴露了思维过程，便于教师及时点拨。

（三）深度探究，突破难点（约15分钟）

1.探究一：系数变化与图象变换

教师活动：利用几何画板动态演示。在同一坐标系中，保持参数b、c不变，拖动参数a，让学生观察图象的变化。

学生活动：观察、讨论、归纳。

1.2.a决定开口方向和大小：a>0开口向上；a<0开口向下；|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

教师继续演示：保持a、c不变，改变b的值，观察对称轴和顶点的变化。保持a、b不变，改变c的值，观察图象的整体上下平移。

引导归纳：

2.3.【重要】b与a共同决定对称轴的位置（左同右异）：对称轴x=-b/(2a)。当a、b同号时，对称轴在y轴左侧；异号时，在右侧；b=0时，对称轴为y轴。

3.4.【重要】c决定抛物线与y轴的交点位置：c>0，交于y轴正半轴；c=0，交于原点；c<0，交于y轴负半轴。

4.5.【难点】a、b、c共同决定顶点位置。顶点纵坐标(4ac-b²)/(4a)即为函数的最值。

设计意图：借助信息技术，将静态的知识动态化，让学生直观感受系数对图象的“控制”作用，深刻理解“数形结合”的内涵，将记忆性知识上升为理解性知识。

6.探究二：二次函数与一元二次方程的联系

教师提问：刚才我们已经通过求与x轴的交点，复习了一元二次方程的根。现在，请大家思考，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点情况，与哪个量有直接关系？

学生活动：回顾并回答——判别式△=b²-4ac。

教师引导：请同学们画出当△>0、△=0、△<0时，二次函数的大致图象（开口向上和向下两种情况）。

学生活动：动手画草图，同桌交流。

师生共同总结：

1.7.【高频考点】△>0<=>抛物线与x轴有两个不同交点。

2.8.△=0<=>抛物线与x轴有唯一交点（顶点在x轴上）。

3.9.△<0<=>抛物线与x轴无交点。

4.10.若a>0，则图象恒在x轴上方（y>0）的充要条件是△<0且a>0；若a<0，则图象恒在x轴下方（y<0）的充要条件是△<0且a<0。

设计意图：打通函数、方程、不等式之间的内在联系，使学生认识到“从函数角度看方程”和“从方程角度看函数”的统一性，提升思维的深刻性。

11.探究三：二次函数的最值问题（难点突破）

教师活动：设置变式问题，引导学生从“整体”走向“局部”。

【基础问题】求函数y=x²-2x-3在全体实数范围内的最值。

学生活动：快速求解，得到最小值-4，无最大值。

【重要变式】求函数y=x²-2x-3在下列范围内的最值：

(1)0≤x≤2

(2)2≤x≤3

(3)-2≤x≤0

学生活动：小组讨论，利用函数图象（在给定区间内截取一段抛物线弧）进行分析，并派代表阐述思路。

教师点拨：这种问题称为“定区间动轴”或“定轴动区间”问题（此处为定轴动区间）。解决的关键是“看区间与对称轴的相对位置”，分“对称轴在区间左侧、在区间内部、在区间右侧”三种情况讨论，结合函数的增减性来确定最值。

归纳结论：【难点】【高频考点】二次函数在闭区间上的最值一定在区间端点或顶点处取得。

设计意图：通过层层递进的变式训练，将学生的思维引向深处，突破“区间最值”这一核心难点，培养学生分类讨论和数形结合的思想。

（四）综合应用，提升能力（约10分钟）

教师活动：呈现一道中考改编题。

题目：某商场销售一种进价为20元/件的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系y=-10x+500。设销售这种商品每天的利润为w（元）。

(1)求w与x之间的函数关系式。

(2)销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

(3)物价部门规定，该商品的销售单价不得高于32元/件。如果想要每天获得不低于2000元的利润，那么销售单价的取值范围是多少？

学生活动：独立思考，尝试解答。教师巡视，个别指导，选取典型解法进行投影展示。

分析过程：

(1)【建模】w=(x-20)*y=(x-20)(-10x+500)=-10x²+700x-10000。(20≤x≤50，由y≥0得)

(2)【求最值】将函数化为顶点式w=-10(x-35)²+2250。因为a=-10<0，抛物线开口向下，顶点(35,2250)在自变量范围内。所以当x=35时，w最大值=2250。

(3)【不等式与函数图象结合】根据题意，需满足w≥2000且x≤32。

解方程-10(x-35)²+2250=2000，得(x-35)²=25，解得x₁=30,x₂=40。

由抛物线开口向下可知，当30≤x≤40时，w≥2000。

结合x≤32，可得最终销售单价的取值范围是30≤x≤32。

设计意图：将二次函数的性质应用于实际经济问题，让学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的完整数学建模过程。第（3）问的设置，将函数、方程、不等式融为一体，并与实际约束条件相结合，极大地考查了学生综合运用知识解决复杂问题的能力，体现了数学的应用价值。

（五）课堂小结，反思升华（约3分钟）

教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

1.知识层面：回顾二次函数的图象与性质，系数a、b、c的几何意义，与一元二次方程的关系。

2.方法层面：再次强调“配方法”和“公式法”在求解顶点坐标中的核心地位。

3.思想层面：

1.4.【非常重要】数形结合思想：贯穿始终，是理解函数性质、解决函数问题的“金钥匙”。

2.5.【重要】分类讨论思想：解决区间最值、含参问题时的必备策略。

3.6.【基础】函数与方程思想：揭示了函数、方程、不等式之间的内在统一。

教师寄语：希望同学们在今后的学习中，不仅能记住结论，更能理解结论背后的思想方法，用动态的、联系的观点看问题，让“数”与“形”成为你们翱翔数学殿堂的双翼。

（六）布置作业，巩固拓展（课后）

1.【基础巩固】完成学案上的基础练习，重点巩固二次函数图象的平移规律。

2.【能力提升】思考题：若将探究三中的函数改为y=x²-2ax-3(a为常数)，在0≤x≤2上，如何求其最值？试着进行分类讨论。

3.【实践拓展】观察生活中的一个抛物线型物体（如拱桥、喷泉），尝试建立合适的坐标系，测量相关数据，求出一个近似的二次函数解析式，并分析其性质。

七、板书设计

（一）知识框图

二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)

1.开口方向、大小：a

2.对称轴：x=-b/(2a)

3.顶点坐标：(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))

4.与y轴交点：(0,c)

5.与x轴交点：△=b²-4ac

6.增减性、最值

（二）核心思想

1.数形结合

2.分类讨论

八、教学反思（预设）

本节课的设计力求体现“以学生发展为本”的课程改革理念，将复习课定位为“知识网络的建构课”和“思维能力的提升课”。通过生活情境导入、问题链驱动、变式探究、实际应用等环节，引导学生在回顾中梳理，在探究中深化，在应用中升华。

成功之处预计在于：借助几何画板动态演示，有效突破了系数与图象关系的难点；通过“区间最值”和“实际应用”的变式训练，较好