2022-2023学年广东深圳龙华区八年级(下)期中数学试题及答案

2022-2023学年广东省深圳市龙华区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个正确的）13分）三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是()23分）不等式3+2x＜1的解集在数轴上表示正确的是()33分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()A．15xy＝3x•5yB．2x2+2xy＝2x（x+y）C．x2+x+5＝x（x+1）+5D．x2+2x+3x+1）2+243分）在下列不等式组中，无解的是()53分）在下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()63分）下面是小明解不等式的过程：解：去分母，得x+5﹣1＜3x+2…①移项，得x﹣3x＜2﹣5+1…②合并同类项，得﹣2x<﹣2…③两边同时除以﹣2，得x＜1…④小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是()73分）如图，在△ABC和△BAD中，∠C=∠D＝90°.在以下条件：①AC＝BD；②AD＝BC；③∠BAC=∠ABD；④∠ABC=∠BAD；⑤∠CAD=∠DBC中，再选一个条件，就能使△ABC≌△BAD，共有选择.83分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴相交A（3，0）、点B（0，2则下列说法不正确的是()A．当x＞3时，y＜0B．当x＞0时，y＜2C．当x＜0时，y＞2D．当x＝4时，y＞093分）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是()103分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC边上的动点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，则在点E的运动过程中，CF的最小值是()A．2X压-2B．2X压-3C．2X压-4D．无法确定二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分，请把答案填在答题卷相应的位置）114分）分解因式：xy﹣x=.124分）不等式2x﹣3＜11的解集是.134分）如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于D点、E点，已知AC=8，BC＝4，则EC=.144分）某商品每件进价100元，每件标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种商品最多可以打折.154分）如图，函数y＝mx（m≠0）和y＝kx+b（k≠0）的图象相交于点A（1，n则关于x的不等式mx＜kx+b的解集是.164分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，BD平分∠ABC，且AD∥BC，∠ACB的外角平分线交AD于点E，则DE的长是.174分）如图，将Rt△ABC沿射线BC的方向平移得到△DEF，连接AD、CD，已知AB＝2，BC＝4，在平移过程中，若△ADC为等腰三角形，则平移的距离可以是.三、解答题一（本题共3小题，共22分）1810分）解不等式（组并把（2）的解集在数轴上表示出来.）；196分）学校准备用2000元购买名著和词典作为艺术节奖品，其中名著每套65元，词典每本40元，现已购买名著20套，问最多还能买词典多少本？206分）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，先将三角板60°角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板60°角的两边分别与边AB、AC交于点E、点F，当DE＝DF时，如图（2）所示．求证：△BDE≌△CFD.四、解答题二（本题共3小题，共21分）216分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣52）、B(﹣44）、（1）将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到△A1B1C1，请在原直角坐标系中画出△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）若△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称，请写出A2、B2、C2的坐标，并在原直角坐标系中画出△A2B2C2.227分）学校开展篮球社团活动，需要购买若干个篮球，现从两家商场了解到同种篮球的标价均为100元/个，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：前20个篮球按原价收费，其余优惠20%；乙商场的优惠条件是：全部打九折.（1）设学校需要购买x个篮球，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别写出y1、y2与x之间的关系式；（2）若学校需要购买篮球数超过20个，选择到哪家商场购买，所需费用较少？238分）如图（1点C、点D在直线l1上，点A、点B在直线l2上，且l1∥l2，连接AC、AD、BC、BD.（1）请在图（1）中，找出三对面积相等的三角形：；（2）利用（1）中的结论解决下面两个问题：①将图（1）中的△ABC、△ABD进行以下操作：第一步，分别复制△ABC、△ABD，粘贴，如图（2）所示的△A1B1C、△A2B2D.第二步，先将图（2）中的△A1B1C、△A2B2D的顶点C、D重合，再将△A2B2D绕点C旋转到如图（3）所示位置.若直线A2B2与A1B1相交于点E，连接CE．求证：CE平分∠A1EA2.②如图（4折线型小路P﹣M﹣Q，将四边形ABCD苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路P﹣M﹣Q改为经过点P的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路PN（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）.五、解答题三（本题共2小题，共19分）249分）如图（1已知CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB=∠DCE，将△DCE绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）.（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）在△DCE绕C点旋转的过程中，若ED、AB所在的直线交于点F，当点F为边AB的中点时，如图2所示．求证：∠ADF=∠BEF（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线（3）在（2）的条件下，求证：AD⊥CD.2510分）【问题背景】在图（1）中，①~③的三个三角形，各自是由△ABC通过怎样的全等变换得到的？【问题探究】（1）我们发现：Ⅰ：图（1）中，①号三角形能由△ABC通过一次轴对称得到，请在图（1）中画出对称轴.Ⅱ：图（1）中，②号三角形能由△ABC通过一次平移得到，则平移的距离为单位.Ⅲ：图（1）中，③号三角形能由△ABC通过先平移再旋转或先旋转再平移得到，请问：③号三角形能否由△ABC绕某个点，旋转一次得到？为解决这个问题，我们可以先解决两条相等的线段能否看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到．分析过程如下：已知线段AB与线段CD相等，分两种情况讨论：如图（2分别作AC与BD的中垂线交于O1C、O1B、O1D.∵O1在AC的中垂线上同理，O1B＝O1D又∵AB＝CD∴△ABO1≌△CDO1（SSS）∴∠AO1B=∠CO1D∴∠AO1C=∠BO1D，即对应点与点O1形成的夹角相等∴线段CD可以看成由线段AB绕点O1旋转一次得到.第一种情况：第二种情况：当AB与DC对应时，如图（3同理可证.综上所述：两条相等的线段可以看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到.【问题解决】（2）如图（4已知△ABC≌△DEF（且满足△DEF不能由△ABC通过平移得到现在来解决△DEF能由△ABC绕某个点通过一次旋转得到的问题：①通过尺规作图找到旋转中心O；②证明：△DEF能由△ABC绕点O通过一次旋转得到提示：只要证明关键的对应点到点O的距离相等和关键的对应点与点O形成的夹角相等）2022-2023学年广东省深圳市龙华区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个正确的）13分）三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是()【分析】根据勾股定理的逆定理解决此题.【解答】解：A．根据勾股定理的逆定理，由32+42＝52，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故A不符合题意.B．根据勾股定理的逆定理，由82+152＝172，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故B不符合题意.C．根据勾股定理的逆定理，由52+122＝132，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故C不符合题意.D．根据勾股定理的逆定理，由122+152≠182，即a2+b2≠c2，那么这个三角形不是直角三角形，故D符合题意.故选：D.【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键.23分）不等式3+2x＜1的解集在数轴上表示正确的是()B.D.【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得.【解答】解：∵3+2x＜1，2x<﹣2，故选：A.【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.33分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()A．15xy＝3x•5yB．2x2+2xy＝2x（x+y）C．x2+x+5＝x（x+1）+5D．x2+2x+3x+1）2+2【分析】根据因式分解的定义求解.【解答】解：A：左边不是多项式，故不符合题意；B：左边是多项式，右边是整式积的形式，故符合题意；C：右边不是积的形式，故不符合题意；D：右边不是积的形式，故不符合题意；故选：B.【点评】本题考查了因式分解的意义，理解因式分解的意义是解题的关键.43分）在下列不等式组中，无解的是()【分析】按照求一元一次不等式组解集的方法，即可解答.【解答】解：A、的解集为：x＞2，故A不符合题意；B、的解集为：1＜x＜2，故B不符合题意；C、的解集为：x＜1，故C不符合题意；D、的解集为：无解，故D符合题意.故选：D.【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式组的解集的方法是解题的关键.53分）在下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()B.D.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解：A．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：B.【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.63分）下面是小明解不等式的过程：解：去分母，得x+5﹣1＜3x+2…①移项，得x﹣3x＜2﹣5+1…②合并同类项，得﹣2x<﹣2…③两边同时除以﹣2，得x＜1…④小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是()【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐一判断即可得出答案.【解答】解：小明计算步骤①中，常数﹣1没有乘以2，此步骤错误；步骤④两边同时除以﹣2，不等号的方向没有改变，此步骤错误；故选：C.【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.73分）如图，在△ABC和△BAD中，∠C=∠D＝90°.在以下条件：①AC＝BD；②AD＝BC；③∠BAC=∠ABD；④∠ABC=∠BAD；⑤∠CAD=∠DBC中，再选一个条件，就能使△ABC≌△BAD，共有选择.【分析】先得到∠C=∠D＝90°,若添加AC＝BD，则可根据“HL”判断△ABC≌△BAD；若添加BC=AD，则可根据“HL”判断△ABC≌△BAD；于是AC＝BD，然后利用前面的结论可得到△ABC≌△BAD；若添加OA＝OB，则∠ABC=∠BAD，于是可利用“AAS”判断ABC≌△BAD；若添加∠BAC=∠ABD，则可直接利用“AAS”判断ABC≌△BAD.【解答】解：∵AC⊥BC，AD⊥BD，在Rt△ABC和Rt△BAD中，,∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL所以（1）正确；∵AC⊥BC，AD⊥BD，在Rt△ABC和Rt△BAD中，,∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL所以（2）正确；∴∠ABC=∠BAD，在△ABC和△BAD中，,∴△ABC≌△BAD（AAS所以（4）正确；在△ABC和△BAD中，,∴△ABC≌△BAD（AAS所以（3）正确；故选：C.83分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴相交A（3，0）、点B（0，2则下列说法不正确的是()A．当x＞3时，y＜0B．当x＞0时，y＜2C．当x＜0时，y＞2D．当x＝4时，y＞0【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解.【解答】解：由图象得：关于x的方程kx+b＝0的解为x＝3，当x＞0时，y＜2，当x＜0时，y＞2，故选：D.【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键.93分）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是()【分析】根据题意，先画出相应的图形，然后根据等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，即可得到等腰三角形底角的度数.【解答】解：作CD⊥AB于点D，如图1所示，作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，如图2所示，∴∠ABC=∠C＝15°;故选：C.【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答.103分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC边上的动点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，则在点E的运动过程中，CF的最小值是()A．2X压-2B．2X压-3C．2X压-4D．无法确定【分析】先判断出EF⊥AC时，CF最小，最后用勾股定理即可得出结论.【解答】解：如图，由折叠知，∠AFE=∠B＝90°,EF＝BE，当CF⊥EF时，CF最小，∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，由折叠知，AF＝AB＝2，在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝AD＝4，∴CF＝AC﹣AF＝2√5﹣2，故选：A.【点评】此题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键.二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分，请把答案填在答题卷相应的位置）114分）分解因式：xy﹣x＝x（y﹣1）.【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出答案.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.124分）不等式2x﹣3＜11的解集是x＜7.【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得.【解答】解：∵2x﹣3＜11，∴2x＜14，则x＜7，故答案为：x＜7.【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.134分）如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于D点、E点，已知AC＝8，BC＝4，【分析】连接BE，设EC＝x，由线段垂直平分线的性质定理，得到BE＝AE＝8﹣x，由勾股定理，列出关于x的方程，求出x，即可解决问题.【解答】解：连接EB，设EC＝x，∴AE＝AC﹣CE＝8﹣x，∵DE垂直平分AB，∴BE2＝CE2+BC2，∴（8﹣x）2＝x2+42，故答案为：3.【点评】本题考查勾股定理，线段垂直平分线的性质定理，关键是连接EB构造直角三角形，应用勾股定理来解决问题.144分）某商品每件进价100元，每件标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种商品最多可以打8折.【分析】设这种商品打x折，利用利润＝售价﹣进价，结合利润率不低于20%，可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.【解答】解：设这种商品打x折，根据题意得：150×﹣100≥100×20%，解得：x≥8，∴这种商品最多可以打8折.故答案为：8.【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键.154分）如图，函数y＝mx（m≠0）和y＝kx+b（k≠0）的图象相交于点A（1，n则关于x的不等式mx＜kx+b的解集是x＜1.【分析】写出直线y＝mx在直线y＝kx+b下方所对应的自变量的范围即可.【解答】解：如图所示：当x＜1时，mx＜kx+b，所以关于x的不等式mx＜kx+b的解集为x＜1.故答案为：x＜1.【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.164分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，BD平分∠ABC，且AD∥BC，∠ACB的外角平分线交AD于点E，则DE的长是2cm.【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得出AB＝AD，AC＝AE，进而解答即可.【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，同理可得：AC＝AE，∴DE＝AD﹣AE＝AB﹣AC＝6﹣4＝2（cm故答案为：2cm.【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答.174分）如图，将Rt△ABC沿射线BC的方向平移得到△DEF，连接AD、CD，已知AB＝2，BC＝4，在平移过程中，若△ADC为等腰三角形，则平移的距离可以是 或2或8.【分析】分三种情况：AD＝CD和AD＝AC和AC＝CD，根据勾股定理和平移的性质可解答.【解答】解：设平移的距离为x，则AD＝BE＝CF＝x，△ADC为等腰三角形，存在以下三种情况：由勾股定理得：DE2+CE2＝CD2，∴22+（4﹣x）2＝x2，∴x=,∴平移的距离是；②如图2，AD＝AC==2，∴平移的距离是2√5；③如图3，AC＝CD，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL∴平移的距离是8；综上，平移的距离是或2或8.【点评】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.三、解答题一（本题共3小题，共22分）1810分）解不等式（组并把（2）的解集在数轴上表示出来.）；【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，表示在数轴上即可.【解答】解1）,4x﹣9x+3≤6，﹣5x≤3，x≥﹣;,解第一个不等式得x＜3，解第二个不等式得x≥﹣2.故不等式组的解集为﹣2≤x＜3，在数轴上表示出来为：【点评】此题考查了解一元一次不等式（组熟练掌握不等式（组）的解法是解本题的关键.196分）学校准备用2000元购买名著和词典作为艺术节奖品，其中名著每套65元，词典每本40元，现已购买名著20套，问最多还能买词典多少本？【分析】先设未知数，设还能买词典x本，根据名著的总价+词典的总价≤2000，列不等式，解出即可，并根据实际意义写出答案.【解答】解：设还能买词典x本，根据题意得：20×65+40x≤2000，40x≤700，答：最多还能买词典17本.等关键词来确定问题中的不等关系，本题要弄清数量、单价、总价和书名，明确数量×单价＝总价；在确定最后答案时，要根据实际意义，不能利用四舍五入的原则取整数值.206分）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，先将三角板60°角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板60°角的两边分别与边AB、AC交于点E、点F，当DE＝DF时，如图（2）所示．求证：△BDE≌△CFD.【分析】由等边三角形性质可得上B＝上C＝60。，再由旋转的性质可得上EDF＝60。，根据三角形内角和定理和平角定义可推出上BED＝上CDF，应用AAS即可证得结论．【解答】证明：“△ABC为等边三角形，:上B＝上C＝60。，由旋转变换得上EDF＝60。，:上BDE+上CDF＝180。-上EDF＝120。，:上BED＝上CDF，在△BDE和△CFD中，，:△BDE纟△CFD（AAS【点评】本题考查了等边三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的基本模型：一线三等角是解题的关键．四、解答题二（本题共3小题，共21分）（1）将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到△A1B1C1，请在原直角坐标系中画出△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）若△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称，请写出A2、B2、C2的坐标，并在原直角坐标系中画出△A2B2C2．【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案.（2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案.【解答】解1）如图，△A1B1C1即为所求.（2）∵△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称，如图，△A2B2C2即为所求.【点评】本题考查作图﹣平移变换、中心对称，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键.227分）学校开展篮球社团活动，需要购买若干个篮球，现从两家商场了解到同种篮球的标价均为100元/个，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：前20个篮球按原价收费，其余优惠20%；乙商场的优惠条件是：全部打九折.（1）设学校需要购买x个篮球，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别写出y1、y2与x之间的关系式；（2）若学校需要购买篮球数超过20个，选择到哪家商场购买，所需费用较少？【分析】（1）根据甲、乙商场的收费标准列出函数解析式即可；（2）学校选择哪家商场购买更优惠就是比较y的大小，①当甲商场购买更优惠，可得y1＜y2，解此不等式，即可求得答案；②当乙商场购买更优惠，可得y1＞y2，解此不等式，即可求得答案；③当两家商场收费相同，可得y1＝y2，解此方程，即可求得答案.【解答】解1）根据题意得：甲商场的收费为：当x≤20时，y1＝100x；当x＞20时，y1＝100×20+100（x﹣20）×（1﹣20%）＝80x+400；∴y1与x之间的关系式为y1=;乙商场的收费为：y2＝100x×90%＝90x；∴y2与x之间的关系式为y2＝90x；（2）①当y1＜y2时，即80x+400＜90x，解得：x＞40∴当x＞40时，甲商场购买更优惠；②当y1＞y2时，即80x+400＞90x，解得：x＜40，∴当x＜40时，乙商场购买更优惠；③当y1＝y2时，即80x+400＝90x，解得：x＝40，∴当x＝40时，两家商场收费相同.【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题以及不等式与方程的解法．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解.238分）如图（1点C、点D在直线l1上，点A、点B在直线l2上，且l1∥l2，连接AC、AD、BC、BD.（1）请在图（1）中，找出三对面积相等的三角形：S△ABC＝S△ABD，S△ACD＝S△BCD，S△AOD＝S△BOC；（2）利用（1）中的结论解决下面两个问题：①将图（1）中的△ABC、△ABD进行以下操作：第一步，分别复制△ABC、△ABD，粘贴，如图（2）所示的△A1B1C、△A2B2D.第二步，先将图（2）中的△A1B1C、△A2B2D的顶点C、D重合，再将△A2B2D绕点C旋转到如图（3）所示位置.若直线A2B2与A1B1相交于点E，连接CE．求证：CE平分∠A1EA2.②如图（4折线型小路P﹣M﹣Q，将四边形ABCD苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路P﹣M﹣Q改为经过点P的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路PN（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）.【分析】（1）根据两条平行线之间的距离相等，即可可得出答案；（2）①过点D分别作DG⊥A1B1于G，DF⊥A2B2于F，根据题意可知A1B1＝A2B2，△A1B1C的面积=△A2B2D的面积，根据面积公式可得DG＝DF，即可得出结论；②连接PQ，过点M做PQ的平行线交BC于点N，则PN为所求的直路，根据两条平行线之间的距离相等，可得S△PMQ＝S△PNQ.∴l1、l2间的距离相等，设l1、l2间的距离为h，S△ACD＝CD•h，S△BCD＝CD•h，∴S△ABC＝S△ABD，S△ACD＝S△BCD，故答案为：S△ABC＝S△ABD，S△ACD＝S△BCD，S△AOD＝S△BOC；（2）①证明：过点D分别作DG⊥A1B1于G，DF⊥A2B2于F，根据题意可知A1B1＝A2B2，△A1B1C的面积=△A2B2D的面积，∵△A1B1C的面积＝A1B1•DG，△A2B2D的面积＝A2B2•DF，∴A1B1•DG＝A2B2•DF，∴CE平分∠A1EA2；②解：步骤：连接PQ，过点M做PQ的平行线交BC于点N，则PN为所求的直路.画图为：＝S四边形ABQP﹣S△PMQ＝S四边形ABQP﹣S△PNQ，S乙＝S四边形PQCD+S△PMQ＝S四边形ABQP+S△PNQ，∴甲、乙的面积前后不发生改变.【点评】本题是四边形综合题，考查了平行线等性质，三角形的面积，角平分线的判定，作图﹣应用与设计作图，四边形的面积，解题的关键是掌握两条平行线之间的距离相等，利用面积法求解.五、解答题三（本题共2小题，共19分）249分）如图（1已知CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB=∠DCE，将△DCE绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）.（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）在△DCE绕C点旋转的过程中，若ED、AB所在的直线交于点F，当点F为边AB的中点时，如图2所示．求证：∠ADF=∠BEF（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线（3）在（2）的条件下，求证：AD⊥CD.【分析】（1）由“SAS”可证△ACD≌△BCE；（2）由“SAS”可证△AFD≌△BFG，可得∠ADF=∠FGB，AD＝BG，即可求解；（3）由角的和差关系可得∠ADF+∠CDE=∠BEF+∠CED=∠BED，即可求解.【解