浙江省温州市八中2025-2026学年初三下学期期末考数学试题含解析

浙江省温州市八中2025-2026学年初三下学期期末考数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是(A．y=x2+1 B．y=x2．下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．如图图形中，可以看作中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝(

)A．15

B．12

C．9

D．65．2018年1月份，菏泽市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是41，45，41，44，40，42，41，这组数据的中位数、众数分别是（）A．42，41 B．41，42 C．41，41 D．42，456．﹣23的相反数是（）A．﹣8 B．8 C．﹣6 D．67．如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．在实数π，0，，﹣4中，最大的是（）A．π B．0 C． D．﹣49．已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是()A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠310．一元二次方程x2﹣8x﹣2=0，配方的结果是（）A．（x+4）2=18 B．（x+4）2=14 C．（x﹣4）2=18 D．（x﹣4）2=14二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则－mn＋=．12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是_____．13．不解方程，判断方程2x2+3x﹣2＝0的根的情况是_____．14．分解因式：9x3﹣18x2+9x=．15．已知△ABC中，BC=4，AB=2AC，则△ABC面积的最大值为_______．16．如图，已知点A是一次函数y＝x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y＝(x＞0)的图象过点B，C，若△OAB的面积为5，则△ABC的面积是________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．（1）求证：AE=BF；（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．18．（8分）如果a2+2a-1=0，求代数式的值.19．（8分）进入冬季，某商家根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，就少售出5包．若供货厂家规定市场价不得低于30元/包．试确定周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式；试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围；当售价x（元/包）定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？20．（8分）如图，AD是△ABC的中线，过点C作直线CF∥AD．（问题）如图①，过点D作直线DG∥AB交直线CF于点E，连结AE，求证：AB＝DE．（探究）如图②，在线段AD上任取一点P，过点P作直线PG∥AB交直线CF于点E，连结AE、BP，探究四边形ABPE是哪类特殊四边形并加以证明．（应用）在探究的条件下，设PE交AC于点M．若点P是AD的中点，且△APM的面积为1，直接写出四边形ABPE的面积．21．（8分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？设每件商品降价x元，则商场日销售量增加____件，每件商品，盈利______元(用含x的代数式表示)；在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．23．（12分）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点.从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从B地运往C处的蔬菜为x吨.请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；CD总计/tA200Bx300总计/t240260500（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案.24．一个不透明的袋子中，装有标号分别为1、-1、2的三个小球，他们除标号不同外，其余都完全相同；（1）搅匀后，从中任意取一个球，标号为正数的概率是；（2）搅匀后，从中任取一个球，标号记为k，然后放回搅匀再取一个球，标号记为b，求直线y=kx+b经过一、二、三象限的概率.

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解析】

本题主要考查二次函数的解析式【详解】解：根据二次函数的解析式形式可得，设顶点坐标为(h,k)，则二次函数的解析式为y=a(x-故选D.本题主要考查二次函数的顶点式，根据顶点的平移可得到二次函数平移后的解析式.2、B【解析】

根据中心对称图形的概念，轴对称图形与中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合,即可解题.A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选B.考点：中心对称图形.【详解】请在此输入详解！3、D【解析】

根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选D．此题主要考查了中心对称图形，关键掌握中心对称图形定义．4、A【解析】

根据三角函数的定义直接求解.【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，∵，∴，解得AB＝1．故选A5、C【解析】

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．【详解】从小到大排列此数据为：40，1，1，1，42，44，45，数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．故选C．考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．6、B【解析】∵=﹣8，﹣8的相反数是8，∴的相反数是8，故选B．7、B【解析】【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．【详解】分三种情况：①当P在AB边上时，如图1，设菱形的高为h，y=12∵AP随x的增大而增大，h不变，∴y随x的增大而增大，故选项C不正确；②当P在边BC上时，如图2，y=12AD和h都不变，∴在这个过程中，y不变，故选项A不正确；③当P在边CD上时，如图3，y=12∵PD随x的增大而减小，h不变，∴y随x的增大而减小，∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，∴P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确，故选B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．8、C【解析】

根据实数的大小比较即可得到答案.【详解】解：∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴＞π＞0＞－4，故最大的是，故答案选C.本题主要考查了实数的大小比较，解本题的要点在于统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小.9、B【解析】试题分析：若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x轴交点的特点.10、C【解析】x2-8x=2，

x2-8x+16=1，

（x-4）2=1．

故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、1【解析】试题分析：由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即﹣mn+=﹣3mn=16+9=1．故答案为1．考点：根与系数的关系．12、（2，0）【解析】【分析】作辅助线，构建三角形全等，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠APB=90°，再证明△BPE≌△PAF，根据PE=AF=3，列式可得结论．【详解】连接PB、PA，过B作BE⊥x轴于E，过A作AF⊥x轴于F，∵A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），∴OE=1，AF=3，∵∠ACB=45°，∴∠APB=90°，∴∠BPE+∠APF=90°，∵∠BPE+∠EBP=90°，∴∠APF=∠EBP，∵∠BEP=∠AFP=90°，PA=PB，∴△BPE≌△PAF，∴PE=AF=3，设P（a，0），∴a+1=3，a=2，∴P（2，0），故答案为（2，0）．【点睛】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，三角形全等的性质和判定，作辅助线构建三角形全等是关键．13、有两个不相等的实数根．【解析】分析：先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况．详解：∵a=2，b=3，c=−2，∴∴一元二次方程有两个不相等的实数根.故答案为有两个不相等的实数根．点睛：考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.14、9x【解析】试题分析：首先提取公因式9x，然后利用完全平方公式进行因式分解.原式=9x（－2x+1）=9x.考点：因式分解15、【解析】

设AC=x,则AB=2x,根据面积公式得S△ABC=2x,由余弦定理求得cosC代入化简S△ABC=,由三角形三边关系求得,由二次函数的性质求得S△ABC取得最大值.【详解】设AC=x,则AB=2x,根据面积公式得:c==2x.由余弦定理可得:,∴S△ABC=2x=2x=由三角形三边关系有,解得,故当时,取得最大值,

故答案为:.本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用,考查了二次函数的性质,考查了计算能力,当涉及最值问题时,可考虑用函数的单调性和定义域等问题,属于中档题.16、【解析】

如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．设AB=2a，则BE=AE=CE=a，再设A（x，x），则B（x，x+2a）、C（x+a，x+a），再由B、C在反比例函数的图象上可得x（x+2a）=（x+a）（x+a），解得x=3a，由△OAB的面积为5求得ax=5，即可得a2=，根据S△ABC=AB•CE即可求解.【详解】如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．∵AB⊥x轴，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE=AE=CE，设AB=2a，则BE=AE=CE=a，设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a），∵B、C在反比例函数的图象上，∴x（x+2a）=（x+a）（x+a），解得x=3a，∵S△OAB=AB•DE=•2a•x=5，∴ax=5，∴3a2=5，∴a2=，∴S△ABC=AB•CE=•2a•a=a2=．故答案为：．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）910【解析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=12（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可．（1）证明：连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=12∴∠A=∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°，∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB，在△AED和△BFD中，∠A=∠FBD，AD=BD，∠EDA=∠FDB，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；（2）证明：连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE=DF，∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°，∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF；（3）∵AE=BF，AE=1，∴BF=1，在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，∵EB=2，BF=1，∴EF=22∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，∴cos∠DEF=DEEF∵EF=5，∴DE=5×22∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，∴△GEB∽△AED，∴GEAE∴102•GE=2，即GE=2则GD=GE+ED=91018、1【解析】==1.故答案为1.19、（1）y=﹣5x+350；（2）w=﹣5x2+450x﹣7000（30≤x≤40）；（3）当售价定为45元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大，最大利润是1元．【解析】试题分析：（1）根据题意可以直接写出y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务可以确定x的取值范围；（3）根据第（2）问中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．试题解析：解：（1）由题意可得：y=200﹣（x﹣30）×5=﹣5x+350即周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式是：y=﹣5x+350；（2）由题意可得，w=（x﹣20）×（﹣5x+350）=﹣5x2+450x﹣7000（30≤x≤70），即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式是：w=﹣5x2+450x﹣7000（30≤x≤40）；（3）∵w=﹣5x2+450x﹣7000=﹣5（x﹣45）2+1∵二次项系数﹣5＜0，∴x=45时，w取得最大值，最大值为1．答：当售价定为45元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润最大，最大利润是1元．点睛：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，可以写出相应的函数解析式，并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值．20、【问题】：详见解析；【探究】：四边形ABPE是平行四边形，理由详见解析；【应用】：8.【解析】

（1）先根据平行线的性质和等量代换得出∠1＝∠3，再利用中线性质得到BD＝DC，证明△ABD≌△EDC，从而证明AB＝DE（2）方法一：过点D作DN∥PE交直线CF于点N，由平行线性质得出四边形PDNE是平行四边形，从而得到四边形ABPE是平行四边形.方法二:延长BP交直线CF于点N，根据平行线的性质结合等量代换证明△ABP≌△EPN，从而证明四边形ABPE是平行四边形（3）延长BP交CF于H，根据平行四边形的性质结合三角形的面积公式求解即可.【详解】证明：如图①是的中线，（或证明四边形ABDE是平行四边形，从而得到）【探究】四边形ABPE是平行四边形．方法一：如图②，证明：过点D作交直线于点，∴四边形是平行四边形，∵由问题结论可得∴四边形是平行四边形．方法二：如图③，证明：延长BP交直线CF于点N，∵是的中线，∴四边形是平行四边形．【应用】如图④，延长BP交CF于H．由上面可知，四边形是平行四边形，∴四边形APHE是平行四边形，，此题重点考查学生对平行线性质，平行四边形性质的综合应用能力，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.21、（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；（2）2x；50﹣x．（3）每件商品降价1元时，商场日盈利可达到2000元．【解析】

（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；

（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；

（3）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．【详解】（1）当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．

答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．

（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，

∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50-x）元．

故答案为2x；50-x．

（3）根据题意，得：（50-x）×（30+2x）=2000，

整理，得：x2-35x+10=0，

解得：x1=10，x2=1，

∵商城要尽快减少库存，

∴x=1．

答：每件商品降价1元时，商场日盈利可达到2000元．考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出数量关系列出一元二次方程（或算式）．22、（1）见解析（2）相切【解析】

（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．【详解】（1）如图所示：；（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，∵CO平分∠ACB，∴OB=OD，即d=r，∴⊙O与直线AC相切，此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，