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文档简介

2026年4月自考00020高等数学一押题卷(一)

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)

1.方程422=0的实根个数为()

A.0B�.−1C�.−2�−D.3

2.函数=12的反函数表达式为()

3

−�

A.=1+3��B−.=13C.=1+3D.=13

2+2+22

�−��−�

43

3.已�知l�im�+1�=2,则�常数−�=()�−�

24+72+1

���−

A.1B.2�→∞C.�3�D.4�

4.当0时,下列无穷小量与2等价的是()

A.si�n→B.21C.ln1+�D.1cos

5.�设�=3,则�微分−|=1=()�−�

A.3�B.3ln3���C.3D.3ln3

6.某−产��品的成本−函数为��=1��2+20+40,��则=60时的边际成本为()

12

A.10B.20C.30�D�.40���

7.函数=236+11的单调减少区间为()

A.(�,1�]−B�.1,1C.[1,+)D.,1][1,+

8.曲−线∞−=+1的−铅直渐近线为(∞)−∞−∪∞

22

A.=1�B.�−=1C.=2D.=2

9.设�=�4,则�′1=(�)

01++2

�−�

A.0�B.�1C.��2��D.3�

10.设函数=sin,则全微分=()

A.sin�+��B.�c�os+

��

C.�co�s��+�s�inD.�sin���+�co�s

��

��������������

二、简单计算题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)

11.求函数=92+ln的定义域。

2

��−��

12.求极限lim1+。

04

��

13.求曲线=�→ln在点,0处的切线方程。

14.求曲线�=�4�3−2�+3的凹�凸区间与拐点。

15.求不定积�分−12�。�

1+2

−�

三、计算题(本大题共�5小��题,每小题5分,共25分)

,<0

16.设>0,且函数=在=0处连续,求常数的值。

�−�−�

2+1,0

��

���2��

17.设函数=arcsin,�求导数�′≥。

222

18.求极限l�im�+�1。�

0�4�

��−�

19.求微分方程�→cos�22+3=0的通解。

20.设=,�是�由�方�−程�2+3+��225=0所确定的隐函数,求∂,∂。

∂∂

��

四、综合题�(本��大题�共4小题,共�25�分)�−�−����

21.(本小题6分)某厂生产某产品吨时的总成本函数为=5+200(万元),销

售价格=0.01+10(万元/吨),假定产销平衡。(1)求总利润函数;

(2)问产量为多少时总利润最�大?���

�−���

,<01

22.(本小题6分)�设函数=,计算定积分=。

l�n1+,01

��

��3�−����

23.(本小题6分)设是由曲线=�+1与�≥轴、轴及直线=7所围成的平面

图形。求:(1)的面积;(2)绕轴旋转一周所得旋转体的体积。

������

������

24.(本小题7分)计算二重积分=​,其中是由曲线=,=及直

线=1所围成的区域。�−�

������������

参考答案及评分参考(密押卷一)

一、单项选择题(30分)

1.D2.C3.D4.A5.D6.C7.B8.C9.B10.D

二、简单计算题(20分)

2

11.解:要使函数有意义,须90(2分),解得0<3,即定义域为(0,3](2

>0

分)。

−�≥�≤

1

4

21

12.解:原极限=lim1+=2(4分)。

04

��

�→�

13.解:′=ln+11=ln(2分),切线斜率=′=1,切线方程为=

(2分)。

��−������−�

14.解:′=6+32,″=6+6(1分)。令″=0得=1(1分)。当<1

时″<0,曲线为凸;当>1时″>0,曲线为凹(1分)。拐点为1,2(1

分)。�−���−����

���

15.解:12=12=arctanln1+2+(4分)。

1+21+21+2

−��

三、计算题(�2�5�分)���−����−��

16.解:由连续性知lim0=0=1(1分)。左极限:

�→11

lim���=lim=

00+2

−�−�−�−

�→�→

(3分)。令1=1,解得=1(1分)。

24���−��

17.解:′=�1arc�sin2+2arcsin1(5分)。

212

��

�23

��2⋅��⋅+1�⋅−�

18.解:令=,则原极限=lim0(1分)。利用泰勒展开=1++++

�2�26

23��−�1���

3,代入得分子=++�→3(3分),故原极限=(1分)。

��23�2��

��

19.解��:分离变量得cos=2�+�3(2分),积分得sin=2+3ln+(3

分)。

�����������

20.解:设,,=2+3+225,则=2+2,=325,=2

5(2分)。故

�������−�−��������−���−�−

�∂2+2∂325

==, ==

∂2+5∂2+5

��������−�

−�−�

��������

(3分)。

四、综合题(25分)

21.(6分)解:(1)收益函数==0.012+10,利润函数

22

==0�.0�1+�1⋅0�−5+�200=�0.01+5200

(3分)。(�2�)′��=−�0.�02−+5=0�,得唯�一−驻点�=250(−2分)�。�−

″250=0.02<0,故=250吨时利润最大(1分)。

��−��

01011

�22.(6−分)解:=1�+0ln1+(2分)。第一部分==1(1

12

分)。第二部分令�=1+,则ln1+=ln=ln−2=2ln21(2

�−���0���1�−�1−�

分)。故=2ln21(1分)。

����������−�−

8

�−�7381/334/33

23.(6分)解:(1)=0+1,令=+1,则=1==161=

414

457838393

(3分)。(2)�=�+�1�2/3�=�2/3�=5/�3=��3�21=(−3

401555

1��

分)。

������������−

24.(7分)解:区域由=0到=1,从到(2分)。

−��

11111

������2232

=�=ln==2==

��33

00�000

�−�

���−����������−−�������

(5分)。��

2026年4月自考00020高等数学一押题卷(二)

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)

1.方程34=0的实根个数为()A.1B.2C.3D.4

2.函数�−=�2+cos1+2的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函

数D.既是奇函数又是偶函数

����

4

3.极限lim3+41=()A.0B.3C.5D.

56+23+153

��−

�→∞

4.当0时,�下列�变量为无穷小量的是()A.∞2sin1B.1sinC.D.13

−�

5.设函�数→=3+25,则导数=()A.33+�24B�.53�+2�4C.�153+24−D�.

3+24��

�������

6.函数=+13在区间1,2内的单调性是()A.单调增加B.单调减少C.

不增不减D.有增有减

���−

7.曲线=2+323的拐点为()A.(1,6)B.(-1,6)C.(-1,4)D.(1,4)

8.不定积�分�arc−si�n=()A.arcsinB.arcsin+C.1D.1+

1212

��12�12��−�12−��

9.下列定积分值等于零的是()A.1B.1cosC.1sinD.

1

sin

1−���−����−����

−2

10.设函�数��=�,则全微分|1,2=()A.+B.2+C.+2D.

4+

�����������������

二、简�单�计��算题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)

11.求函数=+1ln1的定义域。

1

���−�−�

12.求极限lim01+4。

13.设函数=�→3tan,�求微分。

14.求曲线�=�2+2�+3平行于�直�线=4+1的切线方程。

2

15.求极限l�im��4。��

2ln1

�−

�→

三、计算题(本大�题−共5小题,每小题5分,共25分)

3+,2

16.求常数的值,使函数=sin2在=2处连续。

,<2

2

��−��≥

����

17.设函数=+2,且可导�−,求导�数。

���

18.求函数��=�22�4的极�值�。��

19.求微分方�程�=�4−2�的通解。

��

��

20.设=,是由��方程23=1确定的隐函数,求∂,∂。

∂∂

��

四、综合�题�(�本�大题共4�小�−题��,共25分)��

21.(本小题6分)设某产品的需求量为=10(吨),其中为价格(万元/吨)。平

3

均成本为=(万元/吨),假设产销平衡−。�问需求量为多少时利润最大?并求最大利

��

润。

��

2

22.(本小题6分)计算定积分=0cos。

����

23.(本小题6分)计算二重积分=​+2,其中是由直线+=1与

=0,=0所围成的平面区域。

�����������

24.�(本小�题7分)设由抛物线=420与两个坐标轴所围成的平面图形为。

求:(1)的面积;(2)绕轴旋转一周的旋转体体积。

�−��≥�

参考答案及评分�参考(�密押卷二�)���

一、单项选择题(30分)

1.C2.B3.A4.A5.C6.A7.D8.B9.C10.D

二、简单计算题(20分)

+10

11.解:要使函数有意义,须(2分),解得1且<1,即定义域为[

1>0

1,1)(2分)。�≥

�≥−�−

−�

14

4

12.解:原极限=lim01+44=(4分)。

�→

13.解:′=32tan+3sec2�(2分)�,故=32tan+3sec2(2分)。

14.解:�切线斜率�=�′�=2�+2=4,得0=��1(1分�),�切点�为1�,6��(1分),切线方

程为6=41,即=4+2(2分)。

����

2

15.解:由�洛−必达法�则−,原极限�=li�m21=lim221=4(4分)。

�1

�→�→

�−��−

三、计算题(25分)

16.解:由连续性知lim2=lim2+=2=6+(2分)。左极限

sin2

lim=1(2分−)。故6+=1,解得=5(1分)。

22�→���→����

−�−

�→

17.解:=�−+2′+2(5分)�。�−

����

18.解:��′�=4��43�=4�11+,令′=0得驻点=0,1(2分)。

″=4122,″1=8<0,故=1为极大值点,极大值1=1;

���−��−�����±

″0=4>0,故=0为极小值点,极小值0=0(3分)。

��−��±−�±�±

19.解�:分离变量得1�=4(2分),积分得�1=22+,即=1(3分)。

222+

20.解:设,,�=��2���31,则=3,−�=�2,�=2�−3�2(�2分)。故

����∂��−��−2��∂−��������−��

==, ==

∂23∂23

��������

−�−�−

(3分)。���−�����−��

四、综合题(25分)

21.(6分)解:由需求函数得=103(1分)。收益函数==1032,成

本函数=2(2分)。利润函数=1042(1分)。

′=108=0,得�=5(1−分)�。″=8<0,故��=5��吨时利�润−最大�,最

���4���−�4

大利润5=25万元(1分)。

��4−4����−�

22.(6分)�解:令=,则=2,=2,当=0时=0,当=2时=

(2分)。于是

���������������

=cos2=2sin=2sin|sin=20+cos|=22=4

��0�0

00�0�

(4�分)。�⋅��������−����−−

23.(6分)解:区域:01,01(2分)。

111121

�≤�≤≤�≤1−�1

=+2=+2=1==

−�0

000022

−��0

������������−����−

(4分)。

24.(7分)解:(1)曲线与轴交点为2,0,故

2

�2316

=42=4=

033

�0

�−����−

(3分)。(2)旋转体体积

2252

286432256

=42=1682+4=163+=32+=

00353515

�0

���−����−������−��−�

(4分)。

2026年4月自考00020高等数学一押题卷(三)

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)

1.函数=2+6的定义域是()A.(,3]B.3,2C.[2,+)D.

,3][2,+

���−−∞−−∞

−∞−∪∞

2.下列各对函数中互为反函数的是()A.=,=B.=21,=1+1C.

2

�−�

=tan,=cotD.=log2,=log1

2������−��

���sin�1����

3.极限lim=()A.0B.1C.2D.

11

�−

4.曲线=�→+1�−在点0,1处的切线方程为(∞)A.=1B.=C.=1D.

=+1�

��������−

5.�函数�=+2的阶导数=()A.!+2B.!+22C.1!+2

D.1!�+2�2�����

������������−�

6.不定�积−分2co�s′=()A.2cos2sin+B.2cos2sinC.

2cos+D.2cos

������−�����−��

+1+2+1+

7.下�列反�常�积分收�敛的�是()A.12B.1C.1D.1

∞∞∞∞

8.函数=ln+2的全微分=(�)��A.1��+�2B.���12+���C.

+2+2

12+D.1+2

+2���+2���������������

9.设��函数����=�23��+5�,�则��在区间1,2上的最小值是()A.3B.4C.

5D.6

���−���−

2

10.设函数=cos,则二阶偏导数∂=()A.cosB.sinC.sinD.

∂∂

cos����

�������−����

二、简−�单计�算题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)

11.求椭圆22+2=1与直线=的交点坐标。

2

12.求极限li�m�2。��

22+310

�−�

13.设某公司销售�→某�产�品−吨时的收益函数=402(万元),求=10吨时的边

际收益。

����−��

14.求曲线=1322++1的拐点。

3

15.求不定积�分�co−t2�。�

三、计算题(本大题��共�5小题,每小题5分,共25分)

2

16.确定常数的值,使得函数=31,0在=0处连续。

,=0

���−��≠�

17.求函数=cosarctan的导数�。�

��

����

18.求极限limln2+。

+ln3+2

�→∞

4�

19.计算定积分=。

02+1

����∂∂

20.设=,是由方程22+ln=0所确定的隐函数,求,。

∂∂

���

四、综合�题�(�本�大题共4�小−题�,共�25分)��

21.(本小题6分)求微分方程2+1+12=0的通解。

22.(本小题6分)设是由曲线��=3��+1与直−线���=1,=0及轴所围成的平面图

形。求:(1)的面积;(2)绕轴旋转一周的旋转体体积。

������

���1��

23.(本小题6分)计算二重积分=​,其中是由直线=,=2及=1

围成的平面区域。

�������������

24.(本小题7分)设某厂生产某种产品单位时的边际成本′=4+(万元/单

2

位),固定成本为36万元。求:(1)平均成本函数;(2)产量�为多少时平均

���

成本最低?

��

参考答案及评分参考(密押卷三)

一、单项选择题(30分)

1.D2.B3.C4.D5.A6.C7.A8.A9.A10.B

二、简单计算题(20分)

22+2=13

11.解:联立方程组,得22+2=1,即32=1,=(2分)。交点坐标

=3

33�3�3

为,和,(2分)�。���±

33�3�3

12.解:原极限=lim−−2=lim=2(4分)。

2+522+57

��−�

�→�→

13.解:边际收益′�=40�−2(2分)�,′10=4020=20万元(2分)。

14.解:′=2�4+�1,″−=2�4(1分)�。令″=−0得=2(1分)。2=8

3

8+2+1=7(1分)。故拐点为2,7(1分)。

��3−���−3���−

15.解:cot2−=cos2=1sin2−=1lnsin2+(4分)。

sin22sin22

���

三、计算题(25��分�)������

2

16.解:由连续性知lim0=0=(2分)。lim031=3,故=3(3

分)。

�→�����→−��

17.解:′=sinarctan11(5分)。

1+2

1

�−�⋅�⋅�2

18.解:原极限=lim2+=lim3+=0(5分)。

+2+22+

3+�2�

�→∞�→∞��

�2

19.解:令2+1=,则=1,=,当=0时=1,当=4时=3(2

2

分)。于是�−

������������

2

13

31313111168

=2=21==931==

�−22323233

11�1

�⋅����−��−�−−−⋅

(3分)。�

20.解:设,,=22+lnln,则=2,=1,=21(2分)。故

�����−��−������1���−�−�

∂22∂

===, ===

122+112

∂�2+∂�2+2+1

���������

−�−�

(3分)。���������

��

四、综合题(25分)

21.(6分)解:分离变量得=2(2分)。积分得ln+1=212+(2

+112

���

212

分),即=1�(2−分)−。����−��

−�

41

���−131513

22.(6分)解:(1)=0+1=+=+1=(3分)。(2)=0+

4044

�1

174

12=6+2�3+1�=��++�=1+1+1=23(3分)。����

0727214

��0

23.(6�分�)�解:区�域�:1��2�,1�(2�分)。�

2�1≤�≤21≤�≤�2ln121

==ln==ln2=ln22

�1

11

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