01fem有限元分析基础

有限元分析基础有限元法的发展状况三大科学研究方法：理论分析、科学试验和科学计算。有限元分析（FiniteElementAnalysis）：工程领域科学计算的重要方法之一。成功案例：1990.10－1994.4，美国波音公司，客机B-777有限元方法的发展包含三个方面：计算理论：弹性力学、塑性力学、结构力学、数值计算方法等；计算机硬件：使得计算规模、计算速度和计算机容量不再是主要矛盾计算机软件：ANSYS、MSC/NASTRAN、MSC/MARC、ALGOR、IDEAS、PRO/MECHANICA等；LS-DYNA、AUTOFORM、ABQUES、DEFORM等；有限元法的发展状况1956年M..J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1960年，Clough在他的名为“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的论文中首次提出了有限元（finiteelement）这一术语。数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。在1963年前后，经过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。有限元法的作用和工程应用作用：实现产品效益最大化目标（降低开发成本、缩短研制周期）应用于产品设计开发的各个阶段：概念设计阶段产品设计阶段样机试验阶段应用领域机械工程车辆工程土木工程航空航天材料加工工程……有限元法的作用和工程应用分析类型静态分析模态分析动态分析引题：有限元法能解决什么问题？问题1：均匀截面刚性杆受拉，用物理学、理论力学方法求杆上受力情况。问题2：均匀圆截面刚性杆受拉，用材料力学方法求杆上各截面应力、应变情况。问题3：变截面弹性杆受拉，用有限元方法求杆上任意一点的应力、应变及位移分布。有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。有限元法的基本原理有限元法的基本原理受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。有限元法的基本原理离散化将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1个结点。有限元法的基本原理用单元节点位移表示单元内部位移第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示其中为ui第i结点的位移，为xi第i结点的坐标。第i个单元的应变为，应力为，内力为：有限元法的基本原理把外载荷集中到节点上把第i单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上。有限元法的基本原理建立结点的力平衡方程对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：令代入：有限元法的基本原理根据约束条件建立所有结点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的接点位移。对于第n+1个结点理论力学材料力学有限元法有限元法的基本原理物理学有限元法的基本原理有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，单元之间仅在有限个节点上相连接，亦即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。

几个关键点：“分”：连续体离散技术

离散体（有限单元的集合）

无限个自由度

有限个自由度“合”：单元之间通过节点连接，并承受一定载荷，组成有限单元集合体，建立整个物体的平衡方程，实现对整体结构的综合分析。

由于有限单元的分割和节点配置比较灵活，有限元法可以适用于任意复杂的几何结构。有限元法的基本原理有限元法的基本原理离散单元节点放大求解云图

单元和节点有限元法的基本原理单元有多种类型，包括线、面和实体或者称为一维、二维和三维等类型单元。某款车架的有限元网格模型有限元的基本分析过程有限元分析的基本步骤：分析结构的特点：结构形状、边界、载荷工况等；剖分网格（Meshing）：选择单元类型，将连续体划分为有限单元；建立有限元计算模型：确定边界条件、材料特性等；单元特性分析：以单元节点位移为未知量选择合适的位移函数，建立单元位移和节点位移之间的关系根据几何条件，建立单元应变和单元位移之间的关系根据物理条件，建立单元应力和单元应变之间的关系根据平衡条件，建立单元节点力和节点位移之间的关系建立整体有限元方程：根据力的平衡条件和边界条件，集合所有单元求解(Solving)：求解整体有限元方程，得出节点位移有限元的基本分析过程网格划分有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。有限元的基本分析过程有限元的基本分析过程图1-14平面问题的四边形单元划分有限元的基本分析过程单元分析对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。整体分析对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。22有限元的基本分析过程对于不同的结构，要采用不同的单元，那么上述的单元的分析方法是否一致？目前已经有许多非常成熟的有限元分析软件，几乎所有复杂的有限元计算过程都由计算机来完成。掌握有限元理论学好软件程序的使用做好有限元分析工作为工程服务有限元的基本分析过程有限元应用的关键如何精确的建立计算模型？如何实现计算模型中各种支承、连接与实际结构相符？如何确定载荷，尤其是动态载荷？如何施加载荷，以反映各种运动状态等？……

解决上述问题，要通过学习有限元基本理论，结合专业知识，将学习有限元法和掌握程序操纵结合起来，才能很好的应用有限元方法和软件来分析解决实际问题。学习路线：从最简单的结构入手，由浅入深，掌握有限元理论、分析方法和软件使用，就可推广到各种结构形式，进而可以将有限元计算结果应用于工程中。弹性体的基本假设四个基本假定连续性材料假定：认为物质中没有空隙，因此可以采用连续函数来描述对象。均匀性材料假定：认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此各个位置的材料的描述是相同的。各向同性材料假定：认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。小变形物体假定：假设物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量（二阶以上）。变形体的描述、变量的定义和表达变形体（deformedbody）定义：在外力的作用下，若物体内任意两点之间发生相对移动，这样的物体叫做变形体。分类：简单形状变形体：杆、梁、柱等；（材料力学和结构力学）任意形状变形体：（弹性力学）问题：当一个变形体受到外界的作用时，如何来描述它？在外部力和约束作用下的变形体位移的描述形状改变的描述力的描述材料的描述变形体的描述及所需要的变量变形体的描述、变量的定义和表达基本力学变量（在材料确定的情况下）位移（displacement）：描述物体变形后的位置应变（strain）：描述物体的变形程度应力（stress）：描述物体的受力状态位移应变应力物体变形后的位置物体的受力状态物体的材料特性材料参数物体的变形程度变形体的描述及所需要的变量变形体的描述、变量的定义和表达为了使得建立的方程具有普遍性和通用性，采用微小体元（representativevolume）的分析方法来定义三类基本变量。xyz(x,y,z)dxdydz变形体的描述、变量的定义和表达基本力学变量的表达位移（displacement）

{f}=[u

v

w]T应变（strain）正应变

切应变应力（stress）正应力

切应力平衡方程、几何方程、物理方程平衡方程（描述物体的受力状况）设为单位体积的体力，则应力和体力的平衡微分方程：平衡方程、几何方程、物理方程应力边界条件设为单位面积的面力；l，m，n为物体表面外法线的3个方向余弦，则可推导应力和面力的相互关系：平衡方程、几何方程、物理方程几何方程（描述变形程度）依据：根据正应变和切应变的定义导出几何方程描述了应变分量和位移分量之间的关系。必须引入足够的位移约束条件，才能使得应变分量有唯一解。平衡方程、几何方程、物理方程位移边界条件的引入情况1：结构具有足够的约束条件直接引入即可。情况2：结构本身没有约束为了使有限元计算成为可解，需要人为设置适当的约束来消除结构的刚体运动。但是需要注意：计算得到的位移是相对于约束点而言的。平衡方程、几何方程、物理方程物理方程（描述材料本身固有的物理特性）对各向同性弹性材料，广义虎克定律为：E：弹性模量μ：泊松比平衡方程、几何方程、物理方程空间弹性力学小结空间弹性力学基本方程3个平衡方程6个几何方程6个物理方程空间弹性力学基本变量3个位移分量6个应力分量6个应变分量空间弹性力学问题的解法应力法位移法混合法虚位移原理理论依据虚位移：在物体内满足变形协调条件，在边界上满足位移约束条件的任何可能的无限小位移。虚功：真实外力在虚位移上所做的功刚体的虚位移原理：作用在刚体上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功等于零。弹性体的虚位移原理：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，当给予物体微小虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。虚位移原理弹性体的虚功方程借助于虚位移和虚应变来描述应力与外力之间的关系当弹性体受力变形后处于平衡状态时，外力和应力合力应满足平衡条件因此，该方程实质上是弹性体的平衡方程。在有限元法中，用虚功方程代替变形体的平衡方程，通过有限个单元的划分，将求解偏微分方程的边值问题转化为求解代数方程组的问题，从而可以用有限个节点位移表示无穷多个位移量。虚功方程与材料特性无关。有限元法简介平面应力问题应用场合：物体是一个很薄的平板，载荷只作用在板边且沿板厚（假设为z轴）均匀分布，且平行于板面。体力和面力分量：沿z轴的体力分量和面力分量为零。应力分量：应变分量：位移分量：u,v,wxyOzyδO有限元法简介平面应变问题应用场合：物体为无限长等截面柱体（任一垂直于z轴的横截面为对称面），外载荷及体力作用在垂直于Oz方向且沿z轴均匀分布。位移分量：w=0应变分量：应力分量：有限元法简介问题的离散化

确定单元类型：取决于结构的几何形状、施加的载荷类型和要求的计算精度。三角形单元四边形单元有限元法简介问题的离散化施加载荷：根据静力等效原则将载荷移植到节点上施加约束：将约束简化到约束处的节点上有限元法简介问题的离散化注意事项：单元的大小单元的稀疏单元的边界节点的布置要考虑载荷的状况有限元法简介单元等效节点载荷等效节点载荷处理：将非节点载荷按照虚功等效的原则移植到节点上。虚功等效原则:移置前的原载荷和移后的节点载荷在任何虚位移上的虚功相等.有限元法简介高阶单元提高有限元法的计算精度增加单元数目采用具有较高阶次位移函数的单元(高阶单元)基本原则:在节点数大致相同的情况下,采用高阶单元可以得到较为高的精度.平面问题中的高阶单元:四节点矩形单元六节点三角形单元八节点矩形单元有限元法简介在采用同样数目节点的情况下的各个单元的精度比较？六节点三角形单元>四节点矩形单元

>

三节点三角形单元在描述曲线边界上的适应性？

三角形单元>

四节点矩形单元计算复杂程度？有限元法简介积分方法通常采用高斯积分方法计算单元刚度矩阵中的元素。高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数值，加权后求和，就得到了该函数的积分。这种方法具有比较高的计算精度。已经证明，采用n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式，用高斯积分可以得到精确的积分结果。关于高斯积分方法的更多内容参见，王勖成、邵敏编著“有限元方法基本原理和数值方法”的4.5节数值积分方法。有限元法简介弹性力学空间问题与平面问题的区别：基本方程：空间：3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程；平面：2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程；

基本分量：空间：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量；平面：2个位移分量，3个应力分量，3个应变分量；空间问题的有限元法：未知量采用“位移法”，选取节点位移作为未知量基本步骤先“离散”，再“单元分析”，后“整体分析”，最后“求解整体平衡方程”有限元法简介多数弹性力学问题需要按照三维空间问题来求解。三维弹性力学问题的有限元法的基本步骤与平面问题的步骤一样，包括单元离散化、选择单元位移模式、单元分析、整体分析和方程求解。在分析三维问题时，所选择的单元主要为四面体单元和六面体单元。每个单元节点上定义有三个位移分量u、v、w。三维问题有限元法有以下两个主要难点：1）单元划分比较复杂无法采用人工方法完成复杂三维实体的单元划分，需要有功能强大的单元划分程序，从CAD模型直接生成离散的单元网格。现在的有限元软件可以读入IGES、STL等格式的图形交换文件。六面体单元的计算精度比较高，但是对于复杂三维实体无法实现六面体单元的自动划分。采用四面体单元能够实现单元自动划分，但是四面体单元的计算精度比较低。2）计算规模大三维问题的单元数目大，节点自由度多，导致计算规模大，对计算机硬件的要求很高。常用的三维等参单元有六面体八节点等参单元和六面体二十结点等参单元。有限元法简介有限单元类型：连续单元

特点：每个节点最多有3个位移分量（自由度）u,v,w

举例：一维杆元、二维平面单元、三维实体单元结构单元

特点：每个节点最多有6个位移分量（自由度）u,v,w,θx,θy,θz

举例：板壳元、梁元空间问题的常用实体单元：

4节点四面体单元、8节点六面体单元、等参单元。

等参单元单元几何形状和单元内的未知量采用相同数目的结点参数以及相同的插值函数进行变换，称为等参变换。采用等参变换的单元，称为等参单元。等参单元同时具有计算精度高和适用性好的特点，是有限元程序中主要采用的单元形式。有限元法简介等参单元

有限元法简介杆系结构概述

杆系结构定义由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构分类平面杆系：各杆轴线和外力作用线在一个平面内空间杆系：各杆轴线和外力作用线不在一个平面内工程中常见类型拉压直杆，桁架（平面和空间），梁（简支悬臂梁等），刚架（平面和空间）杆系结构概述杆系单元定义杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。结构离散一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。杆系结构概述杆系单元分类桁架单元：桁架中的杆件刚架单元：刚架中的杆件区别：桁架节点：铰节点传递力！刚架节点：刚节点

传递力和力矩！杆系结构概述拉压直杆（单元描述）几何形状：等截面A,长度为l载荷：沿轴线分布节点：2个局部坐标系：沿轴线定义的三维坐标系节点坐标：3个节点位移（自由度）：3个杆系结构概述杆系结构概述梁单元(单元描述)几何形状：长度l，横截面为A。材料属性：弹性模量E，横截面的惯性矩为I。节点：i,j共2个局部坐标系：三维节点位移（自由度）：6个（3个平动位移和3个旋转位移）杆系结构概述板壳结构概述板壳结构工程实际中，存在大量的板壳构件（plateandshell）几何特点：厚度远远小于其它两个方向的尺寸。中面：平分板厚度的平面坐标系oxyz

：xy轴在中面上，z轴垂直于中面载荷作用于中面内的载荷：平面应力问题垂直于中面的载荷：板弯曲o板壳结构概述特点（与矩形单元相比）：计算精度略低具有更高的适应性和灵活性，可以较好的模拟边界形状较复杂的板。ijmOxy板壳结构概述壳单元：矩形平面壳体单元：柱面三角形平面壳体单元：任意形状和边界的薄壳坐标系局部坐标系：单元分析整体坐标系：整体分析位移向量面内变形：2个位移u,v弯曲变形：3个分量（1个挠度w和2个转角θx,θy）附加位移分量：θz板壳结构概述动力分析概述静力分析假设载荷和结构的响应随时间的变化非常缓慢。结构的响应：位移、应变、应力和力，与时间无关。静力分析用于计算固定不变的载荷对结构或部件的影响。动力分析考虑载荷和结构的响应随时间的变化而变化。结构的响应：位移、应变、应力和力是时间的函数；除此之外，还有速度、加速度。动力分析用于求解随时间变化的载荷对结构或部件的影响。动力分析概述工程意义结构振动是研究机械设备运动和力学问题的重要基础。振动问题引起的机械故障率高达60％～70％，特别是运动机械。机械系统向高参数化发展，振动和噪声问题日益突出。振动分析和振动设计成为产品设计中的一个关键环节。动力分析概述动力问题的类型瞬态分析：用于分析结构在随时间变化的载荷作用下的动力响应模态分析：用于分析结构的固有频率和模态（振型）谐响应分析：用于分析结构在随时间正弦变化的载荷作用下的响应响应谱分析：用于求解结构在冲击载荷下的响应随机振动分析：用于分析结构对随机激励的响应显式动力分析：用于计算高度非线性动力学和复杂的接触问题动力分析概述有限元动力分析基本步骤单元离散（网格划分）单元特性分析单元位移模式单元节点载荷单元动力平衡方程整体分析结构动力方程单元位移模式假定位移模式为：单元形函数矩阵[N]仅是点的坐标的函数