直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系

题型1直线与双曲线的交点坐标...................................................................1

题型2直线与双曲线的位免关系...................................................................7

题型3双曲线的切线方程.........................................................................12

题型4弦长问题.................................................................................23

题型5双曲线中三角形四边形问题................................................................27

题型6双曲线中的通径问题......................................................................35

题型7取值范围与最值问题......................................................................39

Q题型分类

题型1直线与双曲线的交点坐标

【方法总结】

直线与双曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组

是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用。

【例题11（2023・河南信阳•高三统考期末）设直线x-3y+m=0（m^0）与双曲线摄-^=l（a>0,b>0）

的两条渐近线分别交于点A,B,若点P（m,0）满足照|=|P8|,则该双曲线的离心率是（）

A.yC.V5D.f

【答案】A

【分析】联立直线方程与双曲线的渐近线的方程可得力（在,怖土），取-券，需），进而可得48中点

3b-a3D-a3b+a3b-¥a

Q（黑7,段3，由照匚|P8|,可得PQ1AB,进而可得5•kAB=-1，代入得Q=2b,c=与，即可

得答案.

【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为y=±；x,

v--x（y=~~~

由，一」，解得3索a,

{x-3y+m=01"引

不妨设人言，怒），

同理可得8（-孤，器），

ma23mb2

则A,B中点Q(

9/>2-a2,9fe2-a2

又因为点P(m,O)满足|P*=\PB\,

所以点PQ1AB,

所以5-kAB=-1,

又因为的8=1,

3mbz

所以2号J-3,

9b2-a2m

所以a=2b,

所以。=庇用=当，

所以e=：=*

古媾：A.

【变式11】1.(2023•云南昆明,安宁市第一中学校考模拟预测)已知双曲线4-3=l(a>0力>0),

直线I过坐标原点并与双曲线交于P,Q两点(P在第一象限)，过点P作，的垂线与双曲线交于另一个点71,

直线QA交第轴于点B,若点B的横坐标为点Q横坐标的两倍，则双曲线的离心率为()

A.1B.yC.V2D.V3

【答案】C

【分析】设PQ：y=kx(kH0),P(t,kt)，根据垂直关系及B,Q坐标可得直线APfAQ的方程，联立可求得A

点坐标，代入双曲线方程中，结合P在双曲线上，可化简整理得到〃=Q2,由离心率e=』7号可求得结

果.

【详解】由题意知：直线PQ斜率存在且不为零，则可设直线PQ：y=kx(kh0),

设PQ,既)，则(2(-t,-kt),B(-2t,0),

VAP1PQ,Ak=-1,则直线4P:y-kt,

APKK

又〃/iQ=kBQ==-k,二直线AQ:x=-1y-2t,

yj£=_*t)卜=-鬻

即力（一喏D，等），

]、=一1一2t得.1=钾

C2(3fc2+1)2_k2c2(3+"2)2_]

•••力在双曲线C上a2(fc2-l)2b2(fc2-l)2

又P在双曲线。上，即"警=1,.••/=黄瑞,

.b2(3k2+l)2a2fc2(3+fc2)2_1

(.2-1)2(62-a2k2)(k2—a2fc2)，

即力2(3/+l)2—Q2k2(3+/t2)2=(k2—l)2b2—Q2k2(/_i)2,

2222222

Ab[(3k+1)2—(/一l)]=a2k2[(3+k)-(fc-l)],

b2(Sk4+8k2)=a2k2(8k2+8),又kH0,,

二双曲线离心率e=^=J1+捺=V2.

古嬷：C,

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题；解题关键是能够通过两直线方程联立的方式，

求得A点坐标，从而根据A点在双曲线上构造方程，化简整理得到a,b之间的关系.

【变式11】2.（2021秋•广东深圳•高二校考期中）已知F1为双曲线C:?-y2=i的左焦点，过点F1的

直线I交双曲线C的左支于A,B两点，若西=3FM,则直线I的斜率为

【答案】±2

【分析】设4（必,丫1）,8。2）2）,由耐=3用,得到必=-3打-4倔力=-3yi,结合双曲线的方程，求

得勺=-竽，乃=±等，利用斜率公式,即可得解.

【详解】设401，力）乃（无2，、2），

由双曲线C：9一V=1,可得"（-遍,0）,

所以西=（-Vs-%2>-丫2），引=（勺+遥,yD,

因为西=3不，所以［-V5-X2=3X1+3V5所以『2~4通，

（-72=3yl（y2=-3yl

将q=4代入y=V3（x-2）得，y=2百，

所以此时P点坐标为（4,28），

若“力24=120°,且点P在第四象限,同理可得P点坐标为（4,-2V3）,

若，2力血=120°,可得P点坐标为（-4,2旧）或（—4,-2V3）,

若〃2PH=120。，由（2）知…2=1，即直线P41,%2的斜率同号，所以乙42PA国能为锐角，所以不

可能为120°,

综上：P点坐标为（4,275）,（4,-2V3）,（-4,275）或（-4,-26）.

22

【变式11】4.（2022秋•江苏连云港•高二校考阶段练习）已知双曲线C京-与=1的实轴长为2,4B

分别是双曲线的左、右顶点，0a0,%）为双曲线C.上一点，连接04、DR.当孙=「时，有呢〃=成立.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若线段BD的中点为M,过M且与8D垂直的直线与AD交于N点，且|MN|=1,求点0的坐标.

【答案】（1）%2-4=1

（2）D（-1,±^）

【分析】（1）求得a=1,求出点D的坐标，利用已知条件可求得b的值，即可得出双曲线C的方程；

（2）求出点M的坐标，可求得直线MN的方程，将直线MN的方程与直线AD的方程联立，求出点N的

横坐标，由|MN|=1求出右,代入椭圆方程求得y0的值，即可求得点D的坐标.

【详解】（1）解:因为双曲线实轴长为2,所以Q=1,4―1,0）、8（1,0）,

当沏=c时,得九=±b2,不妨取y（）=b2,D（c,b2）,且炉=c?一1,

由研=3服°彳＞=3x匕，解得C=2,b2=3,

c-1c+1

所以双曲线C的方程为%2-9=1.

（2）解：点M是线段BD的中点，则点M（第居）

直线BD的斜率为光，直线AD的斜率为反，

又8D1MN,则直线MN的方程为y—3=上空(无一竽)，即y=+翌+F

2加\2/yo2yo2

又直线AD的方程为y=^(x+l),联立方程，1y=-，。v+±2先1+25,

、。+】Iy=^a+D

消去y化简整理，得(1-XO)X+挈+4+D,

/LXQ-rl

又君一学=1•,代入消去丸,得(1-xQ)x+2(说-1)=3(&-1)(%+1),

解得x="合，即点N的横坐标为午1,

44

—X2A12

则WMN\='I1—~，由|MN|=1,得1+(彳丹］x\xM-xN\=1,

所以，等1=,即掾号=(，可得有=解得出=一|,则*=3(%-1)=%可得加=±孚

所以点0(-|,土阴.

【变式11】5.(2021春・湖北•高二校联考期中)如图，已知0为坐标原点，B,(:为双曲线r/-5二1

上的两点,必为双曲线丁的左、右顶点，若_______从①双曲线子的焦距为4,②双曲线T上一点到两焦点

距离之差的绝对值为2V3,③双曲线r的斯近线方程为y=±^x,从这三个条件中任选两个，补充在横线

上,解答下面的问题.

(1)求双曲线下的方程：(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

(2)已知点T(-1,0),点B在第一象限，且B,C关于y轴对称，直线42^,A2C分别交y轴于点M,N,

求证:乙OTN=Z.OMT.

【答案】条件选择见解析(l)y-y2=l；(2)证明见解析.

【分析】(1)选条件①②，pc=27^书=务求得小力2，从而求得双曲线方程；选条件②③，2a=2\/3,

bV3

2a=2怖，

-a=—3>

(2c=2y/a24-b2=4,

求得原〃，从而求得双曲线方程；选条件①③，b_Q求得/方，从而求得双曲线方程；(2)

(a=~,

求得直线的方程，令％=0,得M(0,愚)，同理求得N(。,枭)，直线TN和直线TM的斜率，利用

倾斜角的正切值相等证得结论.

【详解】（1）选条件①②，

2c==%解得.♦.双曲线T的方程为9-/=1；

仁器解瞰屋

选条件②③,.•・双曲线下的方程为（-产=1；

2c=2Va2+b2=4,(2_o7

选条件①③，e="解得『nZ；'•••双曲线珀勺方程为弓-y2=i;

a~.，

(2)设8(%o，yo),C(-XQ.yo),(x0>O,yo>0)Z.OTN=a,Z.0MT=0,t一苏=1,

则直线&8的方程为y=&(％-V5),令％=0,M(0,卷).

直线&C的方程为7=不幼（％-仃），令》=0,N（0,毒）..

岛o

二直线TN的倾斜角为a,斜率为tana=巴包=当，直线TM的倾斜角为0",斜率为tan（0+9=-

1X。+V5Z\Z/

-岛0

_—X。—-V3yo*.nX0-Q

tang

•.&一片二1，二月一3=3%，.・.若=黑=tana=tan/?

3

乙0TN=Z.OMT.

注：其它解答均可参照给分.

题型2直线与双曲线的位置关系

【方法总结】

将直线的方程y=kx+m与双曲线的方程《-£=La>0力>0联立成方程组，消元转化

为关于x或y的一元二次方程，其判别式为&

{b~-a2k2）x2-2a~tnkx-crnr-a~b~=0

若b?—a2k2=0,即"=±2,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

a

若〃一/二工0,即〃H±2,

①A>0=直线和双曲线相交=直线和双曲线相交，有两个交点；

@△=0=直线和双曲线相切今直线和双曲线相切，有一个公共点；

③A<0=直线和双曲线相离O直线和双曲线相离，无公共点

【例题2】(2022•全国•高二专题练习)已知双曲线Ci:.一1及双曲线Q4一摄=0力)0),

且G的离心率为遥，若直线y=kx(k>0)与双曲线Ci,Q都无交点，则k的值是()

A.2B.gC.V5D.1

【答案】B

【分析】过原点的直线与双曲线无交点，则考虑此直线与双曲线渐近线的位置关系.

【详解】..G的离心率为遍,--C=>/5a,b=2a,

」•双曲线的,的渐近线方程为y=±1x,双曲线C2的渐近线方程为y=±2x.

而直线y=kx(k>0)与双曲线G,C2都无交点，则0vk<

故选：B.

【变式21】1.(2021秋・江苏镇江•高二江苏省镇江第一中学校考期中)已知双曲线C的方程为£-/=1.

Q)求与双曲线C有公共渐近线，且过点(2,2)的双曲线标准方程；

(2)当过点(2,1)的直线I与双曲线C有两个公共点时，求直线/斜率取值范围.

【答案】(瑙一6=1

(2)«e(-uo,-1)u(-1,0

【分析】(1)根据公共渐近线的性质直接求解；

(2)根据直线与曲线有两个公共点时，A>0,解不等式即可.

(1)

解：由已知可设双曲线方程为?-V=入,

又双曲线过点(2,2)，即,—22=入，解得入=-3,

故双曲线方程为9一步二一3,即H=1；

(2)

解：设直线1的方程为=以无-2),即y=kx-2k+l,

y=kx-2k+1

联立x22.得(1-4%2卜2+(16/一8幻％-16/(2+164一8=0,

--y

k学士1,A=(161-8k)2-4(1-4/C2)(-16fc2+16/c-8)=-32(2k-1)>0,

解得：k<汨

综上所述:kw(-a>,-0u,0,

【变式21】2.(2012•广东佛山高三阶段练习)已知圆G:(x-4)2+y2=l,圆C2：d+(y-2>=1,

圆口、C2关于直线I对称.

(1)求直线I的方程；

(2)直线I上是否存在点Q,使点Q到点/1(-2戊,0)的距离减去点Q到点以2a,0)的距离的差为4,如

果存在，求出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=2x-3;(2)不存在.理由见解析.

【分析】(1)因为圆心关于直线I对称,故直线I过圆心G、Q的中点，且直线与I垂直，即得；

(2)根据点Q到点>4(-2V2,0)的距离减去Q点到8(2加,0)的距离的差为4,可得Q的轨迹方

程，与直线上y=2%-3联立，利用判别式可得结论.

【详解】(1)由题可知圆g的圆心的坐标为(4,0),圆。2的圆心Q坐标为(0Z,

.•直线I过圆心的、C2的中点(啜等)=(2,1),

又七曲,M=T，即9&=一1,即町=2,

故直线I的方程为y—l=2(x—l),

化简得y=2x-3;

(2)假设这样的Q点存在，

因为Q点到雇-2企,0)点的距离减去Q点到8(2夜,0)点的距离的差为4,

所以Q点在以>4(-2企,0)和8(2加,0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，

即Q点在曲线?-y=l(x>2)上.

44

又Q点在直线l:y=2x-3±,,

y=2x—3

■■Q点的坐标是方程组的解，

_^=i(x>2)

消元得3x2—12x+13=0,

/.△=144-4x3x13=-12<0,即方程组无解，

所以直线I上不存在满足条件的点Q.

【变式21】3.(2024・全国•高三专题练习)已知焦点在％轴上的双曲线实轴长为2，其一条渐近线斜率为&.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点4(1,1)能否作直线I,使直线I与所给双曲线交于P、Q两点，且点A是弦PQ的中点？如果直线I

存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

【答案】(1)/一9=1

(2)不存在,理由见解析

【分析】(1)设曲线的标准方程为捺-^=l(a>0,b>0),根据已知条件求出a、b的值，即可得出该双

曲线的标准方程；

(2)设以4(1,1)为中点的弦的两端点为P3，yi)、QSM),利用点差法求出直线PQ的斜率，进而可得出

直线PQ的方程，判断直线PQ与双曲线%2一9=1的位置关系，可得出结论.

【详解】(1)解：因为双曲线的焦点在x轴上,设该双曲线的标准方程为《-=l(a>〉0),

因为该双曲线的实轴长为2,一条渐近线斜率为a,则,解得『二心，

因此，该双曲线的标准方程为炉-9=L

（2）解：假定直线，存在，设以4（1,1）为中点的弦的两端点为P（M，yD、Q3，y2）,

则有与+工2=2,力+丫2=2.

根据双曲线的对称性知与Hx2.由点P、Q在双曲线上，

得2孑-yj=2,2月一无=2,

两式相减得2（入+%2）（/一%2）-01+%）（71-%）=0，

所以2x2（M-冷）一2（力一为）=。，所以泞=2,

孙一孙

即以4（1,1）为中点的弦所在直线的斜率k=2,

故直线PQ的方程为y—l=2。-1）,即2x-y-l=0.

联立。?2二丫:二2，消去y得2好一人+3=0,

\LX—y—1—u

△=（-4）2-4X2X3=-8＜0,

因此直线I与双曲线无交点，故满足条件的直线I不存在

【变式21】4..（2023•全国•高二专题练习）已知双曲线。/一《=1（。＞0力＞0）的离心率为心，过双

曲线C的右焦点F且垂直于x轴的直线I与双曲线交于A,B两点，且|力8|=2.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若直线m：y=kx-A与双曲线C的左、右两支分别交于P.Q两点，与双曲线的渐近线分别交于M,N两

点，求舐的取值范围.

【答案】Q）/-y2=l

向

【分析】（1）由通径长、离心率列方程组求得得双曲线方程；

（2清线m方程y=依-1代入双曲线方程利用直线与双曲线左右相交求得k的范闱，由韦达定理得如+

XQHPXQ,由弦长公式得弦长|PQ|,再求得M,N的坐标得线段长|MN|,然后计算比值，由k的范围各结论.

(\AB\=^=2

a=1

【详解】(1)由题可知，，£=V2

e=,解得b=1所以双曲线C的标准方程为/-y2=i；

(c2=a2+b2r=V2

(2)由题可知，直线m-.y=/<%-1与双曲线C的左、右两支分别交于P.Q两点，

联立]：二二;消去y,得(1一峪)炉+2收一2=0,

(1-/工0

所以《XPXQ=匚^V°/解得A£(-1,1),

=(2k)2-4(1-/c2)-(-2)>0

r—i.-2k-2

且Xp+xQ=^2，XpXQ=K，

22

所以|PQI=V1+k-J(xP+xQ)-4XPXQ

=G.J(匍-4年=啤”

联立｛，装1,可得打==,同理可得"金,

所以|MN|=V1+F|XM-xN\=以+42“=一曰,

所以地=2、,耳色’=五一，

\MN\2旧衣

其中ke(-1,1),则Me[0,1),所以湍e(i,Vz].

【点睛】方法点睛：直线与双曲线相交弦长问题，一般由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦

达定理得打+%2，%62,再由弦长公式得弦长，不需要求得两交点的具体坐标.

题型3双曲线的切线方程

【方法总结】

2

过圆(％-a)+(y-b)2=M上一点(与少0)的切线方程为：(%0-a)(x-a)4-(y-匕)仇一

b)=八，

过圆(％-a)2+(y-b)2=户外一点(%o，yo)的切点弦方程为：(XO-a)(x-a)+(y-

b)(Yo-b)=r2.

过椭圆5+5=1上一点pg,%）的切线方程为翳+餐=1,

过双曲线摄-^=1上一点PG。,%）的切线方程为管-餐=1

【例题3】（2023•全国•高三专题练习）直线y=仪％+1）与双由线9-丫？=1有且只有一个公共点,则k

的不同取值的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】判断直线系过的定点，结合双曲线的渐近线的性质，讨论与渐近线平行、与左支相切两种情况求

解即可.

【详解】直线y=k（x+1）恒过（-1,0）,双曲线5-y2=l渐近线为：y=±Rx,左顶点（一百，0）,

JO

直线y=k（X+1）与双曲线£-/=1有且只有一个公共点，

有两条与渐近线平行，另外两条与左支相切.

所以则k的不同取值的个数为4个.

故选：。.

【变式31】1.（多选x2021秋•湖南长沙•高二长沙一中校考期中）下列直线过点7X0,1月与双曲线%2-9=

1只有一个公共点的是（）

A.2x-y+l=0B.3x-y+l=0C.VlOx-y+1=0D.4x-y+l=0

【答案】BC

【分析】设出直线方程并与双曲线方程联立，利用判别式即可判断

【详解】由直线过点4（0,1）,可设直线方程为y=kx+l,

代入双曲线方程可得（9-好）必一2收—10=0,

当k=2时，A=36（10-1）＞0,此时直线与双曲线有两个交点，A错误；

当k=3时，9-/=0,此时直线与双曲线只有一个交点，B正确；

当k=g时，A=0,此时直线与双曲线相切，此时直线与双曲线只有一个交点，C正确；

当k=4时，AV0,此时直线与双曲线没有交点，D错误；

故选：BC

【变式31】2.(2023・全国•高三专题练习)过点P(3,3)作双曲线。r2一步=1的两条切线，切点分别

为从B,求直线48的方程

【答案】3x-3y-l=0

【分析】设PA的斜率为k得到PA-.y-乃二-必)联立方程组根据A=0和双曲线的方程求得k=之,

y\

得到PA的方程为一1,同理PB的方程为y2y=x2x-1,进而得到点】二料一;，进而求得过

A.B的直线方程.

【详解】设力(勺,月)乃(上,力)，易得两条切线的斜率存在，设PA的斜率为k,

则PA:y-yi=k(x-/)，联立方程『一翌之二。，

消去y得(1-〃)%2-2k(71-kx^x-(7i-依1)2=1=0,

222

因为PA与双曲线相切，所以A=4k2(yi-依])2+4(1-k)(yx-kx^4-4(y1一kx^=0,

22

即4(%-+4(1-k)=0,即〃2%;_2kxiyi+y]+1-k=0,

即(君-l)k2-2kMyi+於+1=0,

因为*=1,所以*-1=亦无+1=君,

代人可得出后一2勺%&+xj=o,即(yik-%1)2=0,所以k=—.

11yi

所以PAy-yi=3(%-/)，即月y=X]%-1,

yi

同理可得PB的方程为y2y=X2X~1，

因为P(3,3)在切线PA.PB上，所以。TZ~,

2y2—“2一1

所以A.B满足方程3V=3%-1,

又由两点确定一条直线，所以A.B满足直线方程3y=3x-l,

所以过A.B的直线方程为3%-3y-1=0.

故答案为：3x-3y-l=0.

【变式31】3.(2022秋・山西・高二长治市上党区第一中学校校联考期中)已知左、右焦点分别为昆尸2的

双曲线C:^-^=l(a>0,b>0),其实轴长为8,其中一条渐近线的斜率为:.

⑴求双曲线C的标准方程；

(2)若点P为双曲线C右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线C在点P处的切线PT平分/"PR.

【答案】Q店一9二1

(2)证明见解析

【分析】(1)根据条件，直接求出a,b即可求出双曲线的标准方程；

(2洗设出PT的方程为y=kx-(kt-s)利用PT为双曲线的切线得到#一16)/-2tsk+6+9)=0,

再利用点P(t,s)(t>4)在双曲线上得到k=与进而可求出切线与x轴的交点坐标从而可求出黑=就,

16s|/*2Vl5£—16

再求出霜=程，从而得到耨=罂，即可证明出结果.

仍"2l5t\PF2\尸Q2I

【详解】(1)由题意知a=4,

因为一条渐近线的斜率为*,所以-=2即匕=3,

所以双曲线C的标准方程为(-f=l.

(2)设点P(t,s)(t>4),显然切线PT的斜率存在.

设PT的方程为y=kx-(kt-s),

由]：；，消y得(9一16k2)%2+32k(At-s)x-16[(kt-s)2+9]=0,

由△=322k2(kt-s)2+64(9-16k2)[(kt-s)2+9]=-64[144/c2-9(kt-s)2-81]=0,

整理得(F-16)/c2-2£sk+6+9)=0,

又It=1,得到/—16=嗒s2+9=*

所以92k2-2tsk+竽=0,得到eSk-汨2=o,解得仁义

916\34/16S

设切线PT与x轴交于点Q3,0),贝(I依1=M-s,

所以%]="'=〜萼/偿一§=%即Q件,0).

因为%(一5,0)尸式5,0),t>4,

所以RQIU+5,层Q|=5--,隔=署,

[+5)2+9(噌I)二2

2俨八|二J(e+5)2+«=/25t+160t-F16Z(5t+16)2_5t+16

(

乂IP&I-J«-5)2+s2一J.5)2+9={25MT60t+162(516)2—516

所以吧=皿

所以国川医QI'

则PQ是4的内角平分线，故切线PT平分4F1P/.

【点睛】关键点晴，本题的关键在于通过证明曙=解,进而证明切线PT平分”小产2，先W用几何条件

分别求出篇，需，即可证明结果.

\PP2\I&QI

【变式31】4.（多选）（2023•黑龙江齐齐哈尔・统考二模）如图，过双曲线C:x2-^=l（b>0）右支上一

点P作双曲线的切线I分别交两渐近线于A,B两点，交x轴于点D.F.,吃分别为双曲线的左、右焦点，

O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A.△AOB的面积为b

B.P为AB的中点

C.|4B|的最小值为2次不彳

D.若存在点P,使cos4/产2二;,且用=2两,则双曲线C的离心率为2

【答案】ABD

【分析】设PCWo）,求得y=y==，得到在点P处的切线方程为y-必=融。-%。），与y=以联

VbW-/yo

立方程组，求得A.B点的坐标,求得SMOB,可判定A正确；求得飞20的坐标，可判定B正确；求得|/1阴=

2J.+1））一1>24振+D-1=2b.可判定C错误；求得D到直线叫和叫的距离心=用和超=

忤，结合双曲线的定义和余弦定理，列出方程，求得离心率，可判定D正确.

【详解】设P（q,yo），由/一」=1,得y=办2/一/，所以y'二金下,

则在P（A,%）的切线斜率y'=旁—=%，

小2名―科y。

所以在点P（xo，yo）处的切线方程为y-yo=—（x-xo），

yo

又由宕-§=1,可得切线方程为勺工一督二1,

设P（&，yo）是双曲线在第一象限的一点，力（打,力）是切线与渐近线在第一象限的交点，8a2,力）是切线与渐

近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程是y=±bx,

联立｛W；1,解得M武,号），

联立卜;二堂;L解得B（赢，益3

所以s-=?《•|急+号|•段7=匕，故A正确；

2XQIbXQy。6x（）+yol2x°bx。y。

b।b♦।--

由『g=x0,呵+y。=%.可知p（a,yo）是AB的中点，

所以B正确；

又因为x>l,所以|48|>2J（〃+1）-1=2b,即1481mm=2b,所以C错误；

由点D的坐标为（《A），可得P"1方程为必%-（%o+c）y+cy（）=0,

所以D到直线叫的距离dl=户树=/呼"）1=肉，

M+GO+C）2M*I）+（X°+C）2

同理可求得D到直线P&的距离d2=居|，所以PD为4％P4的平分线，

因为用=2DF；,所以|口名|=2\PF2\,

又由|PFil-IP&I=2a,所以|PFil=4at\PF2\=2a,

在AP%%中，由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2•2a,4ax］所以离心率e=：=2,

所以D正确.

故选：ABD.

22

【变式31】5.（2023・全国•高三专题练习）平面直角坐标系。孙中，P（xo，y0）（%l>。）是双曲线。京一与二1

（a>0,6>0）上一点，力，8分别是双曲线C的左，右顶点，直线P4,PB的斜率之积为3.

（1）求双曲线C的渐近线方程；

（2）设点P关于无轴的对称点为Q,直线PB与直线QA交于点M,过点M作无轴的垂线，垂足为N,求证：

直线PN与双曲线C只有一个公共点.

【答案】（l）y=±百x

（2）证明见解析

【分析】（1）根据斜率公式，结合点P（%,y。）满足§-§=1,即可求双曲线的渐近线方程；

（2）首先^用点P的坐标设直线QA.PB的直线方程，并联立求交点M的坐标，并求直线PN的方程，与

双曲线方程联立,证明△=0.

2

【详解】（1）由题意，4（-a,0）,8（a,0）,。（&，%）满足殳一"=1，即苏=?（%-a）.

于是，％・5=q・*_=旦=£=m=3,

222

，尸A尸8劭+axo-axJ-3x1-aa，

所以双曲线C的渐近线方程为y=±百工

（2）由题，做一a,0）,B（a,O）,直线PB-.y=含（％-a）,直线Q4y=/（无+«）-

联立直线PB与直线QA方程,解得布=Q，故孙=--

X。X。

由（1）知双曲线C.3x2-y2=3a2,故苏=3（君-a2）,

于是直线9'=六（》一$，即，二券。—），即丫=景一附，与双曲线c联立得：3X2一（争一

22222222

y-）=3a2,即（九一3XQ）X+6a2/工-a（3a+犬）=0,即一3ax+6ax0x-3ax^=0,因为△=

（602%）2-4（-3次君）（-3a2）=0,所以直线PN与双曲线C只有一个公共点.

【变式31】6（2020秋•江苏南通•高二江苏省平潮高级中学校考期中漏距为2c的双曲线C（一3二l（a>

0力>0）,如果满足"2b=Q+c",则称此双曲线为“等差双曲线”.

(1)若双曲线C是"等差双曲线”，求其渐近线的方程；

(2)对于焦距为10的“等差双曲线"，若过点M(0,2)的直线I与其仅有一个公共点，求直线I的方程.

【答案】、=±(%+或)/=±手％+

(1)3,=±?%;(2)22

【解析】(1)利用双曲线中渐近线的性质，联立方程：fj%，进而可求得渐近线的方程；

IC-CL十。

(2)根据题意，求出双曲线方程为：差-卷=1,再利用题中条件，得到直线I平行于该双曲线的渐近线

或是直线与双曲线相切，进而可求解

【详解】(1)••・2b=a+c,且在双曲线中，有c2=层+〃，

联立方程：Y匕汽二，得3匕=4a,所以，渐近线方程为：y=±“

IC—Q十。J

(2)根据题意得，2c=10,得c=S,由(1)得3/)=4a,所以，a=3为=4,

二双曲线方程为：£-(=1，又••过点M(0,2)的直线I与其仅有一个公共点，

当直线I平行于该双曲线的渐近线，即直线I斜率k与渐近线的斜率相等，所以Z=±9故所求直线I为：

•5

y=枭+2或y=-枭+2；

当直线I与双曲线渐近线不平行时，可设直线方程为y=依+2,联立直线与双曲线方程丁《一1得：

y=kx+2

(16-9/c2)x2-36kx-180=0,直线与双曲线只有一个公共点等价于4=0,即2\=(36/c)2+720(16-

%2)=0,化简得k=±竽，故直线方程为y=±竽x+2；

综上所述,直线方程为、=±3%+2或)/=士竽无+2

【点睛】易错点睛：本题考查双曲线渐近线方程的求解，由直线与双曲线的位置关系求解直线方程，易错

点为：

(1)双曲线渐近线有两条；

(2)直线与双曲线只有一个公共点存在两种情况：一是直线与双曲线渐近线平行，二是直线与双曲线相切.

2t222

【变式31】7(2023秋•四川成都•高三成都七中校考开学考试已知g：亍+±=1(。<Q<4)Q：£+£=

1(6>4).

（1）证明：y=㈤-2总与G和。2相切；

⑵在（1）的条件下，若y=㈤-2与G在y轴右侧相切于A点，与C2在y轴右侧相切于B点.直线，与G

和C2/使得对任意题干所给a,b,总有+kAQ+kBP+册Q为定值？若存在,求出，的方程；若不存在,

请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）不存在,理由见解析

【分析X1冼求出椭圆+获1在（%,小）处的切线方程为浮+簧=1，双曲线mJ=1（。＞0力＞0）

（2I）uI）CLI）

上一点（丫0J0）的切线方程为簧-督=1,从而得到5+卷=1在点（"0）的切线方程为呼+平=1,故设

曲线I+弓=1在点（勺必））的切线方程为y=--呻%，结合I+=1求出%I=I，则仅。1=|障|，

K，一Kyoy（）KIyoKL\L\

得到曲线C与y=|x|-2相切；

（2）设直线l:y=kx+m,与g联立，得到两根之和，两根之积，从而得到做p+心Q的值，结合题意得到

kAP+以Q为定值与a无关,kBP+跖Q为定值与b无关.分1-公安0与1-/=0时，两种情况推出矛盾,

故不存在L使除P+心Q+kBP+攵畋为定值对任意a，b均成立.

【详解】（1）下面证明椭圆4捺+5=1在（出,必）处的切线方程为臂+孝1,理由如下：

当先工。时，故切线的斜率存在,设切线方程为y=kx+mi

代入椭圆方程得：（a2k2+b2）x24-2a2kmx+a2m2—a2b2=0,

由人=（2a2/cm）2—4（a2k2+h2）（a2m2—a2h2）=0,化简得：

a2k2—m2+b2=0,

er-pi_-2a2km±VE_-2a2km±Vo_-a2k

所以"°=2（a2k2+户）=—二—'

心o=弋入必=依0+血，得：%,

干是k=一等=一空•叱=一跑，

妙cryo展yo

则椭圆的切线斜率为-登,切线方程为y-必=-整a-,

ay。ayo

2

整理得到a2yoy+bxQx=层耳+川芯，

22222

其中反写+Q2yj=ab,故a2yoy