2026年高考数学复习讲练测查漏补缺05 空间向量与立体几何（8大考点+31种题型突破）（解析版）

查漏补缺05空间向量与立体几何

（8大考点+查补知识点+31种题型突破）

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漏洞扫描通法锤炼能力强化

考点查缺

漏洞扫描精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础

题型突破

考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁

融会贯通

实战淬炼能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合

考点01空间几何体的结构特征

1．多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

图形

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点

侧面形状平行四边形三角形梯形

2．旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

图形

互相平行且相

母线相交于一点延长线交于一点

等，垂直于底面

轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆

侧面展开图矩形扇形扇环

1.画法：常用斜二测画法．

2.规则：

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′

轴所在平面垂直．

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中

保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．

2

（3）直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝22S直观图．

4

空间几何体结构特征的判断技巧：

说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．

1．（25-26高三上·贵州遵义·月考）（多选）下列命题中为真命题的是（）

A．正四棱柱一定是长方体B．斜四棱柱的侧面一定不是矩形

C．正四棱锥所有侧面都一定是正三角形D．正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点

【答案】AD

【分析】根据柱体、锥体、台体的定义和结构特征即可判断正误.

【详解】对于A：正四棱柱一定是长方体，A选项正确；

对于B：若斜四棱柱底面是平行四边形，侧棱不垂直底面，侧棱与底面两条平行的两边垂直，此时有两个侧

面是矩形，所以斜四棱柱的侧面可以是矩形，B选项错误；

对于C：若正四棱锥的侧棱与底面边长不相等时，所有侧面都是等腰三角形不是正三角形，C选项错误；

对于D：正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点，D选项正确；

故选：AD.

2．（25-26高三上·青海西宁·期中）（多选）下列说法正确的是（）

A．平面的形状是正方形B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆

C．用一个平面去截球得到的图形是个圆D．一个平面的厚度可以是0.2mm

【答案】BC

【分析】利用平面的定义判断A，D，利用圆柱，圆台，圆锥的性质判断B，利用球的性质判断C即可.

【详解】由平面的定义得平面没有边界和厚度，故A，D错误，

易得圆柱，圆台，圆锥的底面都是圆，故B正确，

由球的性质得任意平面截球，截面均是圆，故C正确.

故选：BC.

3．（2026·湖北宜昌·模拟预测）（多选）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、

水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水面可能呈现出的几何形状分别为（）

A．圆面B．矩形面C．椭圆面D．三角形面

【答案】ABC

【分析】把问题转化成水平面截圆柱的截面问题，可得答案.

【详解】当圆柱桶竖直放置时，圆柱轴线垂直，

水平面与圆柱侧面平行于底面，交线为圆，水面呈圆面，A正确；

当圆柱桶水平放置时，圆柱轴线水平，水平面平行于轴线，

与侧面和底面相交形成矩形，水面呈矩形面，B正确；

当圆柱桶倾斜放置时，圆柱轴线倾斜，

水平面与圆柱侧面相交形成椭圆，水面呈椭圆面，C正确；

三角形面不可能出现，因为圆柱与平面的截面不可能为三角形面.

故选：ABC

在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．

1．（25-26高三上·河北邢台·月考）（多选）下列命题不正确的有（）

A．斜二测画法不会改变边长比例

B．一条直线和一个点确定一个平面

C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大

D．用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面

【答案】ABC

【分析】根据斜二测画法的规则可判断选项A；根据基本事实的推论即可判断选项B；设圆锥的母线长为l，

轴截面的两条母线形成的角为0π，由截面面积公式分析即可判断选项C；由截球所得截面一定是

一个圆面即可判断选项D.

【详解】选项A，在y轴上的线段或与y轴平行的线段长度变为原来的一半，所以斜二测画法可能会改变边

长比例，A选项错误；

选项B，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，

当点在直线上时，直线与该点不能唯一确定一个平面，故选项B错误；

选项C，设圆锥的母线长为l，设圆锥的顶点为O，轴截面为等腰三角形OAB，

1

截面面积Sl2sinAOB，

2

ππ

所以当AOB时，轴截面面积最大，当AOB时，轴截面面积不是最大，故C错误；

22

选项D，用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面，故D正确；

故选：ABC．

2．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图，正方形OABC的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平

放置的平面图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（）

A．4B．6C．222D．8

【答案】D

【分析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算．

【详解】将直观图还原为平面图形，如图所示.

OB2OB＝22，OAOA1，所以AB12(22)23，

所以原图形的周长为8cm，

故选：D.

3．（25-26高三上·青海西宁·月考）已知ABC的直观图ABC是直角三角形，如图所示，其中

OBABBC2，则AC的长度为（）

A．8B．43

C．42D．4

【答案】B

【分析】根据平面图形直观图的画法，将直观图还原可得.

【详解】因为ABC是直角三角形，OBABBC2，所以OA22，画出ABC如图所示，

OC4，OA42，所以ACOA2OC243．

故选：B．

4．（2025高三上·广东深圳·专题练习）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个

正方形，则原来的图形是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】根据直观图的画法，还原实际图形.

【详解】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y

轴上的对角线长为22.

故选：A

5．（2026·山东·一模）水平放置的ABC，用斜二测画法得到直观图ABC，如图所示，若ABAC2，

则ABC的面积等于．

【答案】4

【分析】由直观图，还原出原图，即可求得答案.

【详解】将直观图还原出原图，可得AB2,AC4,BAC90，

1

所以ABC的面积等于244.

2

故答案为：4

多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先

观察立体图形的每一个面的形状．

在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．

1．（2026·河北沧州·一模）我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三

棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块ABCA1B1C1，ACBC22，AA14，一只蚂蚁从点A1出发，经

过棱CC1、棱BC上某点，再爬到棱BB1的中点P，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（）

A．17B．4C．217D．10

【答案】C

【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径.

22

【详解】由堑堵的定义可知ACBC，所以22，如图，

1111A1B1A1C1B1C122224

将面ACCA与面BCCB展开在一个平面内，延长至点Q，使得，

1111B1BBQBP

连接，分别交，于点，，由对称性可知，DQDP，

A1QCC1BCED

2

所以所求最短距离为22．

A1EEDDPA1EEDDQA1QA1B1B1Q426217

故选：C．

2．（25-26高三上·安徽·月考）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段B1C上的一个动点，则

PAPC1的最小值为．

【答案】26

【分析】根据展开图结合图形特征计算求解.

△

【详解】因为AP平面AB1C，则展开△B1C1C使其与AB1C在同一平面，如图，

则PAPC1的最小值为AC1，

△

因为AB1C是边长为22等边三角形，△B1C1C是腰长为2的等腰三角形，

则P为B1C的中点，AC162，所以PAPC1的最小值为26．

故答案为：26

3．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在正四棱锥SABCD中，SA13，AB4，M是棱BC上一动点，

N是棱AD上一点，且AN3DN，则两线段SM，MN的长度的和的最小值为（）

A．35B．52C．53D．53

【答案】B

【分析】把△SBC沿BC展开后，S，M，N三点共线时，SMMN最小，计算即可得.

【详解】如图，把△SBC沿BC展开，使A，B，S，C，D五点共面．

当S，M，N三点共线时，SMMN的值最小，

由正四棱锥性质可得SBSA13，

2

则展开图中S到DA的距离SP41322437，

又AN3DN，则NP4211，

此时SMMNSN17252．

故选：B.

4．（2025高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知P为该

圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后

A．16B．162C．8πD．16π

【答案】B

【分析】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形，根据题意即可求出两个扇形的半径以及圆心角，最后

根据最短路径的意义求出即可.

【详解】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形如图，

分别设小扇形和大扇形的半径为r,R，圆心角为，

则由题意可知，弧长AC为2π24π，弧长BD为2π612π，Rr16，

π

则r4π,R12π，得R3r，则R24,r8,，

2

16

因P为该圆台某条母线的中点，则OPr16，

2

因OPP'为等腰直角三角形，且腰长为16，则PP'162，

故该质点运动的最短路径长为162.

故选：B

5．（25-26高三上·上海·期末）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P,Q分别是BC,BC1上的动点，

PQQD1的最小值为．

【答案】22

【分析】将正方体的侧面BCC1B1与平面D1C1CB展开到同一平面，PQQD1的最小值就是点D1到直线BC的

垂线段长度.

【详解】由题意知，Q是BC1上的动点，QD1平面ABC1D1，P是BC上的动点，PQ平面BCC1，要求

PQQD1的最小值，把平面ABC1D1和平面BCC1展成一个平面，

如图，当D1PBC时，PQQD1最小，

BCC1为等腰直角三角形，QBPBQPD1QC1QD1C145，其中C1D12，

则C1Q2，D1Q22，C1B22，则QB222，

22

可得PQQB22222，

22

则D1PD1QPQ222222，

故答案为：22.

6．（25-26高三上·河北邢台·月考）如图为无盖正四棱台容器ABCDABCD，其中AB2AB2AA4.

现有一只蚂蚁位于正四棱台容器ABCDABCD外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿

AB再从内壁爬到棱CC的中点P处，则它在正四棱台内壁爬行路程为.（容器壁厚度不计）

【答案】243

3

【分析】将四棱台侧面展开（如图），问题转化为求线段AP的长度，此时最短，根据余弦定理求解.

【详解】依题意可得正四棱台ABCDABCD侧面等腰梯形ABBA的内角AABBBA60，

将正四棱台内侧面展开到梯形ABBA的上方，其中AB2，BC6，

B，B，C正好在同一直线上，问题转化为求线段AP的长度，此时最短，

设棱AB的中点为Q，由于PQ与BC平行，则在△PAQ中，AQ1，PQ6，AQP120，

则得APAQ2PQ22AQPQcosAQP43.

CB

又2，

BB

2243

所以蚂蚁在正四棱台内壁爬行路程为43.

33

243

故答案为：.

3

考点02几何体的表面积、侧面积和体积

圆柱圆锥圆台

侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l

名称

表面积体积

几何体

柱体S表＝S侧＋2S底V＝Sh

1

锥体S表＝S侧＋S底V＝Sh

3

1

台体S表＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋S上S下)h

3

243

球S表＝4πRV＝πR

3

与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．

（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．

（2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．

1．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底

面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为.

【答案】165π

【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的侧面公式即可求得其侧

面积.

【详解】由于圆台的下底面半径为5，故下底面圆周为外接球的大圆，

如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O，

则圆台的高OOOQ2OQ252324，

2

则圆台的母线长为425325，

所以可得圆台的侧面积为π2535165π.

故答案为：165π.

2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是

直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）

123

A．B．C．D．2

223

【答案】B

【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.

【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为r，高为h，

又因为圆锥的轴截面是等腰三角形，

所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高h等于底面半径r

所以圆锥的母线长lr2h2r2r22r，

圆锥侧面积：2；

S1πrlπr2r2πr

2

圆柱侧面积：S22πrh2πrr2πr；

S2πr22

圆锥和圆柱的侧面积之比为1

2.

S22πr2

故选：B.

，

3．（2026·福建泉州·二模）已知正三棱台ABCA1B1C1的高为3AB3A1B133，则该棱台的侧面积为（）

A．243B．123C．18D．43

【答案】B

【分析】构造直角三角形结合棱台的高求出侧面梯形的高，求出侧面积.

【详解】由题意，设上下底面中心分别为O1,O，则O1O3，

分别取A1B1,AB中点D,E，则DE为梯形ABB1A1的高，

13

由AB3AB33可得OD，OE，

11122

作DFOE，垂足为F，

则EFOEO1D1，DFO1O3，

则DEDF2EF22，

1

则S侧=3ABAB·DE123.

211

故选：B.

4．（25-26高三上·河南商丘·期末）某圆锥的侧面积与底面积之比为2，则该圆锥外接球的表面积与圆锥的表

面积之比为（）

34916

A．B．C．D．

43169

【答案】D

【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的面积公式及题意可得l2r，圆锥的高h3r，

进而结合勾股定理可得圆锥外接球半径，进而求解即可.

S侧πrll

【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据题意，得22，所以l2r，

S底πrr

则圆锥的高h3r，因为圆锥外接球的球心在圆锥的高上，设圆锥外接球半径为R，

23

则R2(3rR)2r2，解得Rr，

3

2

2316

则圆锥外接球的表面积为22

4πR4πrπr

33

圆锥的表面积为πrlπr23πr2，

16

πr2

所以圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为16

3.

3πr29

故选：D.

规则几何体的体积，直接利用公式即可求解.

1．（2026·山东泰安·一模）已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（）

8316

A．πB．83πC．πD．16π

33

【答案】A

【分析】根据题意求出圆锥底面半径，再根据体积公式计算.

【详解】设圆锥底面半径为r，则由题意可得，2πr4π，则r2，

1183

则该圆锥的体积为πr242r2π4164π.

333

故选：A

6

2．（25-26高三上·陕西安康·期末）把一个圆心角为，半径为5的扇形卷成一个圆锥，此圆锥的体积

5

为.

【答案】12

【分析】根据扇形的弧长公式求得扇形的弧长，从而求得圆锥底面圆的半径，再求得圆锥的高，最后利用

体积公式求解.

6

【详解】设圆锥的底面半径为r，则2r5，所以r3，

5

12

所以圆锥的高为52324，所以圆锥的体积为3412.

3

故答案为：12

3.（2026·重庆·模拟预测）若圆锥的母线长为3，则该圆锥体积的最大值为（）

92π8π93π

A．23πB．C．D．

438

【答案】A

【分析】设圆锥的高为h，底面半径为r，由母线长可得r2h29，然后列出体积表达式，利用导数求出最

大值.

【详解】设圆锥的高为h，底面半径为r，由于母线为3，则r2h29，

11

圆锥体积Vπr2hπ9h2h，

33

设y9hh3(0h3)，则y93h23(3h2)，

于是0h3,y0，y单调递增；

3h3,y0，y单调递减，

故h3时，ymax63，

1

即Vπ6323π.

max3

故选：A

5

4．（25-26高三上·山东东营·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆

2

锥内切球的体积为（）

32π27π9π64π

A．B．C．D．

3223

【答案】C

【分析】先求出圆柱的侧面积，得到圆锥的母线和高，利用圆锥轴截面面积得到方程，求出内切球半径，

得到答案.

【详解】设圆柱的底面半径为r，圆锥的母线长为l，内切球半径为R，

5

则圆柱侧面积为S2π315π，

2

所以圆锥的侧面积为15π，由圆锥侧面积公式可得3πl15π，

15π

故圆锥母线长l5，可得圆锥的高hl2r24.

3π

11

根据圆锥轴截面面积可知2rh2rllR，

22

rh349π

化简得R，则圆锥内切球体积为πR3.

rl232

故选：C

5．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是S1，S2，则4S1S2

取到最小值时，圆台的体积是（）

5π7π7π9π

A．B．C．D．

3322

【答案】B

【分析】画出组合体的轴截面，根据圆台的母线、高和两底面圆的半径差的关系，列出方程，求得Rr1，

11

即R，化简4SSπ(4r2)，结合基本不等式，求得R,r的值，再由圆台的体积公式，即可求解.

r12r2

【详解】如图所示，画出组合体的轴截面，设圆台的上、下底面圆心分别为O1,O2，

内切球的球心为O，圆台的上、下底面圆的半径为r,R，

可得圆台的母线长为O1O2Rr，高为h2，

在直角△ABF中，可得AB2h2AF2，即(Rr)222(Rr)2，

1

整理得Rr1，即R，且Rr2，

r

2222

则圆台的上下底面面积分别为S1πr,S2πR，所以4S1S24πrπR，

111

因为R代入得4SSπ(4r2)π24r24π，

r12r2r2

212

当且仅当4r时，即r,R2时，等号成立，

r22

1117π

所以圆台的体积为Vπ(r2RrR2)hπ(12)2.

3323

故选：B.

π

6．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）若一个圆台的高为3，母线与底面所成角为，侧面积为6π，则该圆台

3

的体积为.

73

【答案】π

3

【分析】设上底面半径为r，结合题意得母线AA12，下底面半径为r1，再结合侧面积求得r1，最后

计算体积即可.

π

【详解】如图，根据题意，AAB，OOAB3，

1311

所以，在Rt△A1AB中，AB1，AA12，

设上底面半径为r，则下底面半径为r1，

所以圆台的侧面积为Sπ2r126π，解得r1

173

所以圆台的体积为V4ππ4π23π

33

73

故答案为：π

3

组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．

1．（2026高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一

个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（）

A．2253cm2B．10003cm2C．18003cm2D．900＋20003cm2

【答案】C

【分析】利用八面体的结构特征，求出每个面的面积即可求得表面积.

【详解】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为30cm的正方形，

1

因此每个面的面积为3030sin602253（cm2），

2

所以这个八面体的表面积S8225318003（cm2）.

故选：C

2．（25-26高三上·北京海淀·月考）下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度

分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为2，则该组合体的表面积为.

【答案】44343/34344

【分析】设正四棱台的高为h，侧面与底面所成二面角为，上底为b，利用几何关系构建方程组解出b,h，

再求表面积即可.

【详解】

设正四棱台的高为h，侧面与底面所成二面角为，上底为b，

h

tan2

由题意可得6b，

2

22

26b6b

结合侧棱关系可得h16，

22

联立两方程可得b2,h22，

2

所以正四棱台的斜高为22423，

23263

所以，该几何体的表面积为6642422244343.

24

故答案为：44343.

3．（2026·云南红河·模拟预测）（多选）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱

的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（）

A．圆锥的母线长为2B．圆锥与圆柱的体积比为1：3

C．该几何体的表面积为5πD．圆锥侧面展开图的圆心角为2π

【答案】ABD

【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断.

【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长l12122，A正确；

11

对于B，圆锥的体积为Vπ121π，圆柱的体积为Vπ121π，

1332

因此圆锥与圆柱的体积比为1:3，B正确；

1

对于C，该几何体的表面积为S2π22π112(32)π，C错误；

2

对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得2π2，圆心角2π，D正确．

故选：ABD

4．（25-26高三上·江西·月考）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可

以简化为如图2所示的几何体，其中ABCDA1B1C1D1是长方体，且AB6，BCBB14，

A1B1C1D1A2B2C2D2是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，A2B23，棱台的高为2，则该几何体的表面积为

（）

A．11095B．11995C．12595D．14995

【答案】C

【分析】根据棱柱棱台的几何特征，求解每个面的面积相加可得结论.

【详解】先求下半部分，表面积为643442104.

再求上半部分，

由于A1B162A2B2,C1B12C2B24，则C2B22，

所以上长方形的面积为326.

由已知2222，

A1C1AC64213,A2C23213

2

ACAC2131329

则11222，

A1A224

222

29

由于棱台侧面为等腰梯形，故BBAA，

12122

2

前后两部分的梯形的高为，2B1A1B2A2299，

A1A25

244

1

则这两个梯形的面积之和为(63)5295.

2

2

左右两部分的梯形的高为2B1C1B2C2295，

B1B21

242

51

则这两个梯形的面积之和为(42)215，

22

因此总表面积为12595.

故选：C.

组合体的体积的常用方法

把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则

割补法

的几何体补成规则的几何体

通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别

等体积法

是三棱锥的体积

1．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图所示的八面体由两个完全相同的正四棱锥拼接而成，若该八面体的

六个顶点都在球O的球面上，且球O的表面积为16π，则该八面体的体积为（）

1632

A．12B．8C．D．

33

【答案】D

【分析】确定球心，结合正四棱锥性质建立关于球半径的方程，再根据球的表面积公式求解即可.

【详解】连接CE,BD，则CE,BD的交点即为球心O.设BC2a，则BO2a，

2

则八面体的外接球表面积S4π2a8πa216π，解得a2，

1232

故所求体积V2222，

33

故选：D.

2．（2026·湖南常德·一模）如图，圆柱的轴截面为正方形，AB、CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四

面体ABCD的体积的最大值为36，则该圆柱的侧面积为.

【答案】36π

【分析】由四面体ABCD的体积等于三棱锥AOCD的体积的2倍，设圆柱的底面半径为r，由于SOCD为定

值，所以当AO平面OCD时，三棱锥AOCD的体积取得最大值，从而可求出r，进而可求出其侧面积.

【详解】设圆柱的底面半径为r，

因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的母线长为2r，

设O为上底面圆的圆心，如图，

由圆柱的对称性可知，四面体ABCD的体积等于三棱锥AOCD的体积的2倍，

所以四面体ABCD的体积最大值为36，则三棱锥AOCD的体积的最大值为18，

因为O为上底面圆的圆心，CD是圆柱下底面圆的直径，

1

所以S2r2r2r2，

OCD2

所以当点A到平面OCD的距离最大时三棱锥AOCD的体积取得最大值，

所以当AO平面OCD时，三棱锥AOCD的体积取得最大值，

1

所以2r2r18，解得r3，

3

所以该圆柱的侧面积为2π3636π.

故答案为：36π

3．（25-26高三上·北京顺义·期末）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），EFEA3,AB1，

M,N分别在EF,FG上，满足EMNG1，则几何体FMBNB1的体积为；A1C.

47

【答案】30

3

【分析】先求FMN面积，再求三棱锥BFMN和B1FMN的高度，进一步求三棱锥BFMN的体积，且

根据两个三棱锥BFMN和B1FMN全等得出几何体FMBNB1的体积；构建直角三角形，利用勾股定理，根

据已知线段长度计算，得出A1C长度.

【详解】几何体FMBNB1看作以FMN为公共底面的两个三棱锥BFMN和B1FMN的组合，

又因为在正四棱台A1B1C1D1EFGH中，EFEA3,AB1，EMNG1，

所以MFFN2，又因为EFG90，连接FN，则FMN为等腰直角三角形，

1

其面积为：S222，

FMN2

连接AC，BD交于点O，连接EG，FH交于点O1，则OO1垂直于面EFGH且为三棱锥B1FMN的高，平

'''

移OO1到AO1，则OO1AO1，即四边形OO1O1A是平行四边形，

'

所以O1O1AO，

又因为四边形EFGH是正方形，所以O，O1分别是AC，EG的中点，

且ABC，EFG为等腰直角三角形，

12132

所以AO1212，EO3232，

22122

322

EO'EOO'OEOAO2，

1111122

在直角三角形'中，由勾股定理可得'2'222，

EAO1OO1AO1(EA)(EO1)3(2)7

1247

所以几何体FMBNB1的体积V2SOO27,

3FMN133

连接A1C1，B1D1交于点O2，连接A1A，A1C，

由题意可得，几何体A1B1C1D1ABCD是由两个全等的正四棱台组合，

所以A1O2平行AO且A1O2AO，所以四边形A1O2OA是平行四边形，

所以A1AO2O，且A1A平行O2O，

又因为OO2是两个全等的正四棱台组合的组合体的高，

所以A1AOO227，△A1AC为直角三角形，由勾股定理可得：

2222

A1CA1AAC27230.

47

故答案为：，30.

3

4．（2026·云南大理·二模）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正

脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，

1

而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（2上袤下袤）广高．如

6

图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为24m，

1

广为12m，上袤是下袤的，ADE和BCF与底面所成角均为，则该刍甍的体积为m3．

34

【答案】640

【分析】过点F作FO平面ABCD，垂足为O，Q为BC的中点，OQF为平面BCF与底面所成的角，利

用相关条件求出高，代入体积公式即可．

【详解】如图，已知AB24，BC12，EF8，

过点F作FO平面ABCD，垂足为O，连接OB，OC，Q为BC的中点，连接FQ，

π

因为FBFC，所以FQBC，OQBC，所以OQF为平面