人教版初中数学九年级下册《相似三角形的性质》教案 -2

人教版初中数学九年级下册《相似三角形的性质》教案

一、课程基本信息与设计理念

1.1课程定位

本节课选自人民教育出版社《义务教育教科书·数学》九年级下册第二十七章“相似”中的第二节“相似三角形的性质”。本章内容是在学生已经学习了全等三角形、四边形、比例线段等知识的基础上，进一步研究图形相似这一重要几何变换的深入与拓展。相似三角形是初中平面几何的核心内容之一，它不仅是全等三角形的推广，更是连接初等几何与三角学、测量学、工程制图等多领域知识的桥梁，具有承上启下的关键作用。

1.2设计理念

本设计秉承《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心精神，以发展学生核心素养为导向，坚持以下理念：

1.整体性与结构化：将相似三角形的性质置于“图形变换”与“比例关系”的大观念下进行构建，注重与全等三角形性质、特殊四边形性质、锐角三角函数等知识的联系，形成系统化的知识网络。

2.过程性与探究性：摒弃单纯告知结论的模式，通过问题驱动、实验猜想、推理论证、应用拓展的完整数学活动过程，让学生亲历性质的发现与建构，发展逻辑推理、直观想象和数学抽象素养。

3.应用性与跨学科性：紧密联系现实生活、科学技术及其他学科（如物理光学、工程绘图、地理测绘）中的真实情境，彰显数学的广泛应用价值，培养学生的模型观念和应用意识。

4.层次性与差异性：设计梯度分明、层次多样的学习任务与练习，满足不同认知水平学生的学习需求，促进全体学生在各自“最近发展区”内获得最大发展。

1.3学情分析

九年级下学期的学生具备以下认知基础与潜在困难：

1.知识基础：已熟练掌握全等三角形的定义与性质（对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等）；已理解相似三角形的定义（对应角相等、对应边成比例）和判定方法（平行线截比例线段、两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）；已具备基本的几何推理证明能力。

2.思维特点：抽象逻辑思维能力持续发展，能够进行较为复杂的演绎推理，但对“从特殊（全等）到一般（相似）”的类比迁移思想，以及比例关系与几何度量（周长、面积）之间深刻联系的理解仍需引导。

3.潜在难点：相似三角形面积比等于相似比的平方这一结论，与学生直觉可能有冲突，是教学难点；如何灵活、综合地运用相似三角形的性质与判定解决复杂问题，是能力提升的瓶颈。

1.4教学目标

基于以上分析，设定如下三维教学目标：

知识与技能：

1.理解并证明相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

2.理解并证明相似三角形的周长比等于相似比。

3.理解并证明相似三角形的面积比等于相似比的平方。

4.能熟练运用上述性质解决计算、证明及实际应用问题。

过程与方法：

1.经历观察、测量、猜想、证明等探究相似三角形性质的活动过程，体会从特殊到一般、类比转化等数学思想方法。

2.通过将几何度量（高、中线、周长、面积）问题转化为比例线段问题，掌握解决几何问题的基本策略。

3.在解决实际问题的过程中，发展建立几何模型、分析数量关系的能力。

情感态度与价值观：

1.在探究活动中体验数学发现的乐趣，感受数学的严谨性与和谐美。

2.通过相似性质在测量、绘图等领域的应用，认识数学的价值，增强学习兴趣和应用意识。

3.在小组合作与交流中，培养乐于探究、敢于质疑、合作分享的科学态度。

1.5教学重点与难点

1.教学重点：相似三角形的性质定理（对应线段比、周长比、面积比）及其证明。

2.教学难点：相似三角形面积比等于相似比平方的理解与证明；性质的综合应用与灵活转化。

1.6教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含几何画板动态演示）、导学案、三角板、教学用图。

2.学生准备：复习相似三角形的定义与判定，直尺、圆规、量角器、计算器。

二、教学实施过程（两课时，共90分钟）

第一课时：对应线段与周长的性质

环节一：创设情境，温故知新（约8分钟）

师生活动：

1.情境导入：课件展示一组图片：不同尺寸的国旗、地图上比例缩放的区域、拍摄同一物体的不同焦距照片、金字塔高度测量示意图。提问：“这些看似不同的图形或场景背后，隐藏着什么样的共同数学关系？”

1.2.学生活动：观察、思考并回答“形状相同，大小不同”——即“相似”。

3.知识回顾：

1.4.提问1：“我们已经学习了相似三角形的定义，谁能准确表述？”

1.2.5.学生回答：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似比（k）等于对应边的比值。

3.6.提问2：“请回忆全等三角形有哪些主要性质？”（板书：全等三角形→对应边相等，对应角相等，对应线段（高、中线、角平分线）相等，周长相等，面积相等。）

4.7.提问3：“类比全等，两个三角形如果相似（k≠1），它们的对应边不再相等，而是成比例。那么，它们的对应高、对应中线、对应角平分线之间有什么关系？周长和面积又有怎样的关系呢？”——引出课题。

设计意图：通过现实情境激发兴趣，明确研究主题。通过对比全等三角形的已知性质，自然引出对相似三角形性质的猜想，建立知识间的类比联系，明确本节课的研究路径。

环节二：合作探究，发现性质（约22分钟）

探究活动一：对应线段（高、中线、角平分线）的比

1.猜想：

1.2.教师引导：“既然对应边成比例，那么与边紧密相关的这些特殊线段，它们之间是否也成比例？如果成比例，这个比例与相似比k有什么关系？”

2.3.学生直觉猜想：可能也等于相似比k。

4.实验验证（分组活动）：

1.5.任务：每小组在导学案上画出一对相似三角形（如△ABC∽△A‘B’C‘，相似比k=2）。利用工具分别作出并测量一组对应高（AD与A‘D’）、对应中线（AE与A‘E’）、对应角平分线（AF与A‘F’）。

2.6.计算：分别计算AD/A‘D’、AE/A‘E’、AF/A‘F’的值。

3.7.汇报：各小组汇报测量与计算结果。结果会存在微小误差，但基本接近k=2。

4.8.结论（猜想归纳）：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

9.逻辑证明：

1.10.以对应高为例进行严谨证明：

1.2.11.已知：△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k。AD⊥BC于D，A’D‘⊥B’C‘于D’。求证：AD/A‘D’=k。

2.3.12.师生共同分析：证明线段比等于k，本质是证明两线段与已知的对应边成相同的比例。考虑Rt△ABD与Rt△A‘B’D‘。

3.4.13.学生尝试口述证明思路：

∵△ABC∽△A‘B’C‘∴∠B=∠B’

∵AD⊥BC,A‘D’⊥B‘C’∴∠ADB=∠A‘D’B‘=90°

∴△ABD∽△A‘B’D‘（两角对应相等的两个三角形相似）

∴AD/A‘D’=AB/A‘B’=k。

5.14.类比迁移：要求学生类比高的证明方法，独立或在小组内完成对应中线、对应角平分线的证明思路阐述。

1.6.15.中线证明关键：利用“两边成比例且夹角相等”。BD=1/2BC,B‘D’=1/2B‘C’，结合AB/A‘B’=BC/B‘C’=k，可证△ABD∽△A‘B’D‘。

2.7.16.角平分线证明关键：利用“两角对应相等”。角平分线性质与已知的对应角相等结合。

8.17.形成定理：（板书）相似三角形对应线段的比等于相似比。这里的“对应线段”包括对应高、对应中线、对应角平分线，以及一切由对应顶点引出的对应线段。

探究活动二：周长的比

1.猜想与计算：

1.2.学生利用刚才所画的相似三角形，测量三边长度，分别计算△ABC和△A‘B’C‘的周长P和P’，再求P/P‘。

2.3.发现：P/P‘也等于相似比k。

4.推理论证：

1.5.已知：△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k，即AB/A’B‘=BC/B’C‘=CA/C’A‘=k。

2.6.求证：周长比P_△ABC/P_△A‘B’C‘=k。

3.7.学生独立完成证明：

P_△ABC=AB+BC+CA

P_△A‘B’C‘=A’B‘+B’C‘+C’A‘

∴P_△ABC/P_△A‘B’C‘=(AB+BC+CA)/(A’B‘+B’C‘+C’A’)

设AB/A‘B’=BC/B‘C’=CA/C‘A’=k，则AB=k·A‘B’，BC=k·B‘C’，CA=k·C‘A’

代入得：P_△ABC/P_△A‘B’C‘=[k(A’B‘+B’C‘+C’A‘)]/(A’B‘+B’C‘+C’A’)=k。

4.8.形成定理：（板书）相似三角形周长的比等于相似比。

设计意图：遵循“实验观察→提出猜想→逻辑证明”的完整数学探究过程。让学生动手操作，获得直观感受；再引导进行严谨的几何证明，实现从感性认识到理性认识的飞跃。对应线段的证明渗透了转化思想（将线段比转化为三角形相似问题），周长比的证明体现了代数方法在几何中的应用。

环节三：典例精析，初步应用（约10分钟）

例题1：已知△ABC∽△DEF，且相似比为3:2。

(1)若△ABC的最长边为18cm，则△DEF的最长边是多少？

(2)若△ABC的一条中线长为12cm，则△DEF的对应中线长是多少？

(3)若△ABC的周长为60cm，则△DEF的周长是多少？

1.学生独立解答，教师巡视。重点强调：(1)找准“对应关系”；(2)直接应用性质定理列比例式求解。

例题2：如图，△ABC中，DE∥BC，且AD:DB=2:1。

(1)求证：△ADE∽△ABC，并求相似比。

(2)若BC边上的高AF=6cm，求△ADE中DE边上的高AG。

(3)若△ABC的周长为C，求△ADE的周长。

1.师生共同分析：(1)由平行得角等，利用“AA”判定相似，由AD:AB=2:3得相似比k=2/3。(2)(3)直接应用本节性质。

2.变式提问：若S_△ABC=36cm²，能求S_△ADE吗？为下节课面积性质埋下伏笔。

设计意图：通过直接应用和简单综合应用的例题，巩固对两条性质的理解。例题2将性质与平行线截线段成比例、相似判定相结合，体现知识的前后关联，培养学生综合运用知识的能力。

环节四：课堂小结与布置作业（约5分钟）

1.小结：引导学生从知识和思想方法两个层面总结本节课收获。

1.2.知识：相似三角形对应线段比=周长比=相似比k。

2.3.方法：类比猜想、实验探究、逻辑证明（几何证明与代数推导）、转化思想。

4.作业：

1.5.必做题：教材课后练习对应题目。

2.6.选做题：探究“相似三角形对应外接圆半径、内切圆半径的比与相似比的关系”。

3.7.预习任务：思考相似三角形的面积比与相似比有何关系？尝试通过画图、剪切、拼凑等方式进行初步探索。

第二课时：面积的性质与综合应用

环节一：设疑激趣，导入新课（约5分钟）

1.复习提问：快速回顾上节课学习的相似三角形性质（对应线段比、周长比）。

2.悬念导入：

1.3.展示两个相似的卡通三角形图片，一个边长是另一个的2倍（k=2）。

2.4.提问：“这个大三角形的周长是小三角形周长的几倍？”（学生答：2倍）

3.5.追问：“那你们猜猜，这个大三角形的面积是小三角形面积的几倍呢？”学生可能有猜2倍、4倍等不同答案。

4.6.公布一个直观对比（用几何画板动态演示，将小三角形拼接到大三角形上，发现需要4个才能完全覆盖），引发认知冲突。

5.7.引出本课核心问题：相似三角形的面积比与相似比到底是什么关系？为什么？

设计意图：利用认知冲突强烈激发学生的求知欲，明确本课核心目标，使学习指向明确，动力十足。

环节二：深度探究，建构面积性质（约20分钟）

探究活动三：面积的比

1.实验与猜想：

1.2.学生活动：在方格纸（每个小方格边长为单位1）上，画一个相似比为2的直角三角形（如直角边分别为3和4与6和8），数格子或利用三角形面积公式计算两个三角形的面积。

2.3.计算面积比S_大:S_小，发现结果是4:1，即2²:1。

3.4.换画一对相似比为3的相似三角形（如三边为3-4-5和9-12-15），计算面积比，结果为9:1，即3²:1。

4.5.猜想：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

6.推理论证：

1.7.已知：△ABC∽△A‘B’C‘，相似比为k。求证：S_△ABC/S_△A‘B’C‘=k²。

2.8.关键引导：三角形面积公式S=(1/2)×底×高。我们需要将面积比转化为已学的线段比。

3.9.师生合作，完成证明：

1.4.10.分别以BC和B‘C’为底，作高AD和A‘D’。

2.5.11.∵△ABC∽△A‘B’C‘，由已证性质知：BC/B’C‘=k，AD/A’D‘=k。

3.6.12.S_△ABC=(1/2)×BC×AD，S_△A‘B’C‘=(1/2)×B’C‘×A’D‘。

4.7.13.∴S_△ABC/S_△A‘B’C‘=(BC×AD)/(B’C‘×A’D‘)=(BC/B’C‘)×(AD/A’D‘)=k×k=k²。

8.14.追问：如果以其他边为底，结论是否相同？为什么？（必然相同，因为对应底和对应高的比都是k。）

15.形成定理与深化理解：（板书）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

1.16.几何画板动态演示：固定一个三角形，拖动顶点改变另一个相似三角形的相似比k，实时显示面积比的变化，验证k²的关系。

2.17.意义建构：强调“平方”关系的几何意义。当图形所有线性尺寸放大k倍时，面积放大k²倍。这是二维图形缩放的本质特征。可与一维（长度）放大k倍、三维（体积）放大k³倍进行跨维度类比。

设计意图：面积性质是教学难点。通过方格纸实验提供强有力直观支撑，化解“平方”带来的抽象感。证明过程巧妙地将面积比转化为底之比与高之比的乘积，是转化思想的典范应用。动态演示和跨维度类比有助于学生形成深刻的结构化理解。

环节三：综合应用，提升能力（约30分钟）

本环节通过一系列由浅入深、层层递进的例题和活动，引导学生综合运用相似三角形的判定与所有性质。

例题3（直接应用）：已知两个相似三角形的一组对应边长分别为5cm和2cm。

(1)若它们的面积差为210cm²，求这两个三角形的面积。

(2)若较大三角形的一条高为10cm，求较小三角形的对应高。

(3)若较小三角形的周长为14cm，求较大三角形的周长。

1.分析：先由对应边求得相似比k=5/2。问题(1)设未知数利用面积比k²列方程。(2)(3)直接应用性质。

例题4（判定与性质综合）：如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE交BC于点F。

已知BE:AB=2:3，S_△BEF=4。

(1)求证：△BEF∽△CDF。

(2)求S_△CDF。

(3)求S_平行四边形ABCD(或求S_△AED)。

1.师生共同剖析：

(1)利用平行四边形性质（对边平行）得角相等，从而判定相似。

(2)需要先求△BEF与△CDF的相似比。由BE:AB=2:3及平行四边形对边相等，推导出BE:CD（即BE:AB）的关系，注意对应边BE与CD的确定是关键。

(3)需要将所求图形面积与已知面积建立联系。可通过等高模型或相似模型转化。例如，S_△AED可通过S_△ABD+S_△BED求得，而S_△ABD是平行四边形面积的一半，S_△BED与S_△BEF是等高三角形（需证明点F是DE中点或利用其他比例关系）。本题具有一题多解和一定的思维挑战性。

探究活动四：实际应用建模

问题1（测量问题——间接求高）：如何利用一面镜子和一根皮尺，测量校园旗杆的高度？请画出测量示意图，写出需要测量的数据，并导出计算公式。

1.小组讨论：学生设计方案（利用光的反射定律，入射角等于反射角，构造相似三角形）。

2.方案展示与评价：选小组代表讲解，师生共同优化。提炼出数学模型：两个直角三角形相似（由光线、人、镜子和旗杆、镜子构成）。测量人的眼高、人到镜子的距离、镜子到旗杆底部的距离，即可求旗杆高。

问题2（绘图问题——比例缩放）：某社区要在一块矩形空地上设计一个三角形花坛的示意图。实际花坛的三边长分别为15m、20m、25m。现在要在A4纸上画一个相似图形，要求图纸上最长边为10cm。请问：

(1)绘图所用的比例尺（相似比）是多少？

(2)图纸上另外两条边长应画多少？

(3)图纸上这个三角形花坛的周长和面积分别是多少？（结果保留适当小数）

(4)实际花坛的面积是多少？

1.学生独立解决：此题综合考查了相似比计算、单位换算、周长和面积性质的应用。强调实际问题中单位的统一和实际意义的回答。

设计意图：应用环节是培养学生核心素养的主阵地。例题3巩固基础；例题4提升几何综合推理能力，训练学生从复杂图形中识别相似模型、寻找比例关系；探究活动将数学与现实生活紧密相连，发展学生的模型观念和应用意识，体现数学的实用价值。

环节四：归纳总结，体系建构（约5分钟）

1.性质体系梳理：利用表格或思维导图，引导学生共同梳理相似三角形的所有性质，并与全等三角形性质进行对比。

比较项目

全等三角形(k=1)

相似三角形(k为任意正数)

对应角

相等

相等

对应边

相等

成比例，比值为k

对应高/中线/角平分线

相等

成比例，比值为k

周长

相等

成比例，比值为k

面积

相等

成比例，比值为k²

1.思想方法升华：再次强调本节课贯穿的数学思想方法：类比（由全等到相似）、转化（将未知的线段比、面积比转化为已知的边之比）、从特殊到一般、数形结合（代数运算解决几何问题）、建模（解决实际问题）。

三、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关