初中七年级数学下册“因式分解-提公因式法”教学设计

初中七年级数学下册“因式分解——提公因式法”教学设计

  一、前端分析与设计理念

  （一）教材内容与地位分析

  本节课选自浙教版初中数学七年级下册第四章《因式分解》的第二课时。因式分解是整式乘法的逆运算，是代数恒等变形的重要基础工具，在简化计算、解方程、研究函数性质等诸多领域具有不可替代的作用。本章内容承上启下，“承上”在于它直接建立在学生已经系统学习的“整式的乘除”运算之上，是对整式运算的深化与反向认知；“启下”在于它是后续学习分式的运算、解一元二次方程、二次函数等知识的必备前提。而“提公因式法”作为因式分解的两种基本方法（提公因式法、公式法）之首，是最基础、最常用、也最具一般性的方法。掌握提公因式法的本质和熟练技能，是学好整个因式分解章节的基石，其思想方法——即“化归”与“整体”思想，对培养学生逆向思维能力和结构化认知能力至关重要。

  （二）学情现状与认知基础

  七年级下学期的学生，已经具备了较为扎实的有理数运算能力和整式（单项式、多项式）的相关概念，能够熟练进行单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算。他们的抽象逻辑思维正在从经验型向理论型转化，具备了一定的观察、归纳和类比能力。然而，将整式乘法运算过程“逆向”思考，对于大部分学生而言是一个思维上的转折点和挑战点。常见的认知障碍包括：1.逆向思维不熟练：难以从乘积形式联想到可能的因式分解形式；2.“公因式”识别困难：尤其是当公因式是多项式或系数为分数、负数时；3.提取不彻底：遗漏系数或因式，或因符号处理不当导致错误；4.与乘法分配律的混淆：不能清晰区分因式分解（和差化积）与乘法分配律（积化和差）的互逆关系。因此，教学设计必须搭建清晰的认知桥梁，通过大量对比、辨析和变式训练，帮助学生实现思维上的顺利“转弯”。

  （三）核心素养与教学目标

  基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，结合本节课内容，设定以下三维教学目标，并指向数学核心素养的培养：

  1.知识与技能：

    (1)理解因式分解与整式乘法的互逆关系，进一步深化对因式分解概念的认识。

    (2)准确理解“公因式”的概念，能熟练、准确地找出多项式各项的公因式（包括数字系数、相同字母及其最低次幂）。

    (3)掌握提公因式法的基本步骤，能正确、熟练地运用提公因式法将多项式分解因式，并做到提取彻底。

    (4)初步体验“整体思想”，能处理公因式为多项式的简单情形。

  2.过程与方法：

    (1)经历从整式乘法到因式分解的逆向探究过程，体会类比、化归的数学思想方法。

    (2)通过观察、对比、归纳、概括等活动，发展学生的数学抽象能力和概括能力。

    (3)通过例题的辨析与变式训练，提升学生分析问题和解决问题的能力，培养思维的严谨性与深刻性。

  3.情感、态度与价值观：

    (1)在探索互逆关系的过程中，感受数学知识之间的普遍联系与对立统一之美。

    (2)通过克服逆向思维的困难获得成功体验，增强学习数学的自信心和探究欲。

    (3)体会因式分解作为数学工具在简化问题中的价值，初步形成应用意识。

  （四）教学重点与难点

  *教学重点：提公因式法的原理、步骤及其熟练应用。

  *教学难点：1.公因式的准确识别，尤其是系数为分数、负数及多项式形式的公因式；2.逆向思维的建立与运用；3.分解的彻底性。

  （五）教学策略与方法

  采用“情境—探究—建构—应用”的教学模式，综合运用启发式、探究式、讨论式教学法。

  *认知冲突法：创设问题情境，引发学生对乘法与分解互逆关系的思考。

  *类比迁移法：类比乘法分配律，迁移到提公因式法，降低认知坡度。

  *变式教学法：通过系数、字母、指数、符号、结构（多项式公因式）等多维度变式，深化对概念和方法的理解。

  *合作探究法：在难点突破环节，组织小组讨论、辨析错例，在思维碰撞中达成共识。

  *信息技术融合：适时使用交互式白板或图形计算器进行动态演示，直观展示提取过程，辅助理解。

  （六）教学资源与准备

  多媒体课件（包含关键例题、变式练习、动态演示）、学案（含探究活动单、分层练习）、实物投影仪、板书设计。

  二、教学实施过程（核心环节详案）

  第一环节：温故孕新，建立联系（预计用时：8分钟）

  活动一：逆向速算，唤醒经验

  教师出示两组计算：

  第一组（正向）：

    1.计算：3

×

7

+

3

×

2

=

?

3\times7+3\times2=?

3×7+3×2=?

    2.计算：m

(

a

+

b

+

c

)

=

?

m(a+b+c)=?

m(a+b+c)=?

  第二组（逆向）：

    1.已知3

×

7

+

3

×

2

=

27

3\times7+3\times2=27

3×7+3×2=27，你能快速说出3

×

(

7

+

2

)

3\times(7+2)

3×(7+2)的结果吗？为什么？

    2.已知m

a

+

m

b

+

m

c

=

m

(

a

+

b

+

c

)

ma+mb+mc=m(a+b+c)

ma+mb+mc=m(a+b+c)，如果告诉你m

a

+

m

b

+

m

c

ma+mb+mc

ma+mb+mc的结果，你能反推出左边的乘积形式吗？

  设计意图：从学生最熟悉的数字运算和已学的整式乘法入手，通过设置简单的逆向问题，无痕地渗透“逆运算”思想。第一问利用乘法分配律的逆用进行简便计算，为提公因式法提供最朴素的生活经验和数感基础。第二问则直接指向整式乘法的逆过程，为学生即将学习的因式分解提供直接的类比原型。学生通过口答和简短的讨论，能够迅速感知到“分配”与“提取”之间的互逆关系。

  活动二：概念辨析，明确方向

  教师引导学生回顾上节课学习的因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式。随即出示几个式子进行辨析：

  1.x

(

x

−

2

)

=

x

2

−

2

x

x(x-2)=x^2-2x

x(x−2)=x2−2x（是整式乘法）

  2.x

2

−

2

x

=

x

(

x

−

2

)

x^2-2x=x(x-2)

x2−2x=x(x−2)（是因式分解）

  3.(

x

+

1

)

(

x

−

1

)

=

x

2

−

1

(x+1)(x-1)=x^2-1

(x+1)(x−1)=x2−1（是整式乘法）

  4.x

2

+

2

x

+

1

=

(

x

+

1

)

2

x^2+2x+1=(x+1)^2

x2+2x+1=(x+1)2（是因式分解，但方法未知）

  教师提问：“观察第2和第4个等式，它们的结果都是积的形式。我们是如何得到第2个等式的呢？它与第1个等式有什么关系？”学生通过对比，明确第2式是由第1式“逆向”得来，并指出其关键步骤是从x

2

x^2

x2和−

2

x

-2x

−2x中都找到了公共的因式x

x

x，并将其提取出来。

  设计意图：通过辨析，强化因式分解与整式乘法的互逆关系这一核心观念。同时，以第2式为例，初步揭示“寻找公共部分（公因式）”这一核心操作，为本节课的主题“提公因式法”做好铺垫。第4式的存在暗示因式分解还有其他方法，为后续学习留有余地。

  第二环节：合作探究，建构新知（预计用时：22分钟）

  活动一：解剖实例，归纳定义

  教师出示多项式：6

a

3

b

−

9

a

2

b

2

+

3

a

2

b

6a^3b-9a^2b^2+3a^2b

6a3b−9a2b2+3a2b

  任务驱动：请以小组为单位，“解剖”这个多项式。

  1.拆解项：说出它的每一项分别是：6

a

3

b

6a^3b

6a3b，−

9

a

2

b

2

-9a^2b^2

−9a2b2，+

3

a

2

b

+3a^2b

+3a2b。

  2.分析系数：各项系数分别是6，-9，3。它们的最大公约数是几？（3）

  3.分析字母：各项都含有的字母有哪些？（a,b）

  4.分析指数：字母a，在第一项中是3次，第二项是2次，第三项是2次，所以公共的a的最低次幂是几次？（2次，即a

2

a^2

a2）；字母b，在各次项中分别是1次、2次、1次，所以公共的b的最低次幂是几次？（1次，即b

b

b）。

  5.合成公因式：将公共的数字因数3，公共的字母a

2

a^2

a2和b

b

b乘起来，得到什么？（3

a

2

b

3a^2b

3a2b）

  师生共同归纳：公因式是指多项式各项都含有的相同因式。它由两部分构成：①系数部分：取各项系数的最大公约数；②字母部分：取各项都含有的相同字母，且取各字母的最低次幂。

  设计意图：摒弃直接给出定义的灌输方式，而是将一个典型多项式作为“标本”，引导学生像做实验一样一步步拆解、分析。通过小组合作，学生亲身经历寻找公因式的完整思维过程，从“项”到“系数”再到“字母指数”，层层深入，最终自主“合成”出公因式的概念。这个过程极大地促进了学生对公因式本质的理解，而非机械记忆规则。

  活动二：方法提炼，规范步骤

  在明确公因式概念的基础上，教师以上述多项式6

a

3

b

−

9

a

2

b

2

+

3

a

2

b

6a^3b-9a^2b^2+3a^2b

6a3b−9a2b2+3a2b为例，完整示范提公因式法的步骤：

  步骤一：找公因式。

    系数：最大公约数为3。

    字母：公共字母为a,b。a的最低次幂为a

2

a^2

a2，b的最低次幂为b

1

b^1

b1。

    故公因式为：3

a

2

b

3a^2b

3a2b。

  步骤二：提公因式。

    用原多项式除以公因式3

a

2

b

3a^2b

3a2b，得到商式。

    6

a

3

b

÷

3

a

2

b

=

2

a

6a^3b\div3a^2b=2a

6a3b÷3a2b=2a

    −

9

a

2

b

2

÷

3

a

2

b

=

−

3

b

-9a^2b^2\div3a^2b=-3b

−9a2b2÷3a2b=−3b

    +

3

a

2

b

÷

3

a

2

b

=

+

1

+3a^2b\div3a^2b=+1

+3a2b÷3a2b=+1

  步骤三：写结果。

    原式=3

a

2

b

⋅

(

2

a

−

3

b

+

1

)

3a^2b\cdot(2a-3b+1)

3a2b⋅(2a−3b+1)

  教师强调三个关键点：1.提取要彻底：必须检查括号内的多项式是否还有公因式。2.首项为负：如果多项式第一项系数为负，通常将负号一并提出，使括号内首项为正。3.勿漏“1”：当某项与公因式完全相同时，商为1，这个“1”必须保留在括号内。

  随后，教师板书规范格式，并要求学生跟随练习一个类似多项式，如4

x

2

y

−

8

x

y

2

+

2

x

y

4x^2y-8xy^2+2xy

4x2y−8xy2+2xy。

  设计意图：将探究所得的认知，转化为清晰、可操作的程序性步骤。教师的规范示范至关重要，它为学生提供了准确的操作模板。强调易错点，能有效预防常见错误。及时的跟练有助于将方法初步内化。

  活动三：难点突破——公因式为多项式

  教师出示新问题：分解因式2

a

(

x

+

y

)

−

3

b

(

x

+

y

)

2a(x+y)-3b(x+y)

2a(x+y)−3b(x+y)。

  引导学生观察：这个多项式的两项是什么？它们有数字公因数吗？有单独字母的公因式吗？学生发现，两项的数字系数2和3互质，没有公共字母。此时，教师启发：“抛开括号内部，从整体形式上看，两项有没有共同的‘部件’？”学生能发现(

x

+

y

)

(x+y)

(x+y)这个整体在两项中都出现。

  教师点明：在这里，(

x

+

y

)

(x+y)

(x+y)可以被看作一个整体，就像一个单独的“字母”或“因式”。因此，这个多项式的公因式就是(

x

+

y

)

(x+y)

(x+y)。

  提取过程：2

a

(

x

+

y

)

−

3

b

(

x

+

y

)

=

(

x

+

y

)

(

2

a

−

3

b

)

2a(x+y)-3b(x+y)=(x+y)(2a-3b)

2a(x+y)−3b(x+y)=(x+y)(2a−3b)。

  变式巩固：分解因式(

m

−

n

)

2

+

(

m

−

n

)

(m-n)^2+(m-n)

(m−n)2+(m−n)。

  学生尝试，教师巡视。引导学生将(

m

−

n

)

(m-n)

(m−n)看作整体M

M

M，则原式=M

2

+

M

=

M

(

M

+

1

)

=

(

m

−

n

)

[

(

m

−

n

)

+

1

]

=

(

m

−

n

)

(

m

−

n

+

1

)

M^2+M=M(M+1)=(m-n)[(m-n)+1]=(m-n)(m-n+1)

M2+M=M(M+1)=(m−n)[(m−n)+1]=(m−n)(m−n+1)。

  设计意图：引入“整体思想”是提升学生思维层次的关键一步。通过将多项式看作一个整体因式，打破了学生认为公因式只能是单项式的思维定势。此环节通过从具体到抽象的引导，帮助学生实现认知上的飞跃，为处理更复杂的因式分解问题（如分组分解法）奠定基础。

  第三环节：变式演练，深化理解（预计用时：12分钟）

  本环节设计一组由易到难、覆盖各种常见类型的例题，采用“讲练结合，辨析纠错”的方式进行。

  例1：基础巩固型

  (1)12

x

2

y

3

−

8

x

3

y

2

12x^2y^3-8x^3y^2

12x2y3−8x3y2(2)−

4

m

3

n

2

+

12

m

2

n

3

−

6

m

2

n

2

-4m^3n^2+12m^2n^3-6m^2n^2

−4m3n2+12m2n3−6m2n2

  教学处理：学生独立完成，教师请两名学生板演。重点巩固找系数最大公约数、相同字母最低次幂的步骤。对于第(2)题，着重讨论“首项为负”如何处理，明确提出“-2”或提出“2”但括号内各项变号两种方法的等价性，并建议首选提出负号使括号内首项为正。

  例2：符号陷阱型

  分解因式：−

2

a

(

b

−

c

)

−

3

(

c

−

b

)

-2a(b-c)-3(c-b)

−2a(b−c)−3(c−b)。

  教学处理：此题的难点在于(

b

−

c

)

(b-c)

(b−c)和(

c

−

b

)

(c-b)

(c−b)是互为相反数的关系。先让学生尝试，很可能会出错。教师引导学生观察：c

−

b

=

−

(

b

−

c

)

c-b=-(b-c)

c−b=−(b−c)。然后提问：“为了出现公因式，我们可以对原式进行怎样的恒等变形？”学生思考后，将第二项变形：−

3

(

c

−

b

)

=

−

3

[

−

(

b

−

c

)

]

=

3

(

b

−

c

)

-3(c-b)=-3[-(b-c)]=3(b-c)

−3(c−b)=−3[−(b−c)]=3(b−c)。此时原式变为−

2

a

(

b

−

c

)

+

3

(

b

−

c

)

-2a(b-c)+3(b-c)

−2a(b−c)+3(b−c)，公因式(

b

−

c

)

(b-c)

(b−c)显现。

  提炼规律：当公因式是多项式，且多项式的项顺序相反时，可通过提出负号将其化为相同形式。这是提公因式法中的一个重要技巧。

  例3：提取彻底型

  分解因式：2

(

a

−

b

)

2

−

(

b

−

a

)

3

2(a-b)^2-(b-a)^3

2(a−b)2−(b−a)3。

  教学处理：此题综合了“多项式公因式”、“互为相反数变形”以及“提取彻底性”。引导学生分步处理：首先，将(

b

−

a

)

3

(b-a)^3

(b−a)3转化为−

(

a

−

b

)

3

-(a-b)^3

−(a−b)3；原式=2

(

a

−

b

)

2

+

(

a

−

b

)

3

2(a-b)^2+(a-b)^3

2(a−b)2+(a−b)3；然后提取公因式(

a

−

b

)

2

(a-b)^2

(a−b)2；得到(

a

−

b

)

2

[

2

+

(

a

−

b

)

]

=

(

a

−

b

)

2

(

a

−

b

+

2

)

(a-b)^2[2+(a-b)]=(a-b)^2(a-b+2)

(a−b)2[2+(a−b)]=(a−b)2(a−b+2)。必须强调，要检查(

a

−

b

)

2

(a-b)^2

(a−b)2是否是各项公因式的最高次幂，确保提取彻底。

  设计意图：通过变式演练，将新知应用到各种情境中，挑战学生的思维。例1夯实基础；例2针对符号这一易错点进行专项突破；例3则提升综合性和思维深度。在每个例题后，引导学生总结该类题目的特征和解题要点，促进方法和策略的迁移。

  第四环节：综合应用，链接跨学科（预计用时：5分钟）

  问题情境：简约设计中的数学

  某园艺设计师计划用两种规格的矩形地砖（一种边长为a米，另一种边长为b米）铺设一个长方形庭院。庭院的长为(

3

a

+

3

b

)

(3a+3b)

(3a+3b)米，宽为(

2

a

+

2

b

)

(2a+2b)

(2a+2b)米。

  1.面积计算：请用两种方法表示该庭院的面积。

    方法一（直接求面积）：S

=

(

3

a

+

3

b

)

(

2

a

+

2

b

)

S=(3a+3b)(2a+2b)

S=(3a+3b)(2a+2b)平方米。

    方法二（先提公因式，再计算）：S

=

3

(

a

+

b

)

×

2

(

a

+

b

)

=

6

(

a

+

b

)

2

S=3(a+b)\times2(a+b)=6(a+b)^2

S=3(a+b)×2(a+b)=6(a+b)2平方米。

  2.材料估算：若每块边长为a的地砖面积为a

2

a^2

a2平方米，边长为b的地砖面积为b

2

b^2

b2平方米，但采购时发现地砖是按“(

a

+

b

)

2

(a+b)^2

(a+b)2”规格的整包出售更划算。利用因式分解的结果，解释为什么设计师可以轻松调整采购方案。

  3.跨学科联想：物理学中，合力做功W

=

F

⋅

s

W=F\cdots

W=F⋅s，有时力F或位移s可以表示为含有公因式的多项式形式，利用提公因式法可以简化表达式，突出主要物理量。请尝试构造一个简单的例子。

  设计意图：将提公因式法置于真实的问题情境中，体现其“简化”和“揭示结构”的价值。问题1通过“一题多解”对比，直观展示因式分解如何使表达式更简洁、更易于进一步运算（如代入求值）。问题2链接简单的成本核算，体现数学的应用性。问题3的开放性联想，旨在引导学生打破学科壁垒，思考数学工具在物理学等其他STEM领域的通用性，培养跨学科视野和创新意识。

  第五环节：反思梳理，层级作业（预计用时：3分钟）

  活动一：课堂小结

  教师引导学生以思维导图或知识树的形式进行总结，围绕以下问题展开：

  *今天学习的核心方法是什么？（提公因式法）

  *什么是公因式？如何确定一个多项式的公因式？（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂）

  *提公因式法的基本步骤是哪三步？（一找、二提、三写）

  *本节课涉及哪些重要的数学思想？（逆向思维、整体思想、化归思想）

  *在应用过程中有哪些需要特别注意的易错点？（首项符号、提取彻底、勿漏“1”、处理相反数多项式）

  活动二：分层作业布置

  *基础巩固层（必做）：完成教材课后练习，主要针对公因式为单项式的基础题型，确保方法掌握牢固。

  *能力提升层（选做）：

    1.分解因式：0.6

a

x

−

0.3

a

y

+

0.3

a

0.6ax-0.3ay+0.3a

0.6ax−0.3ay+0.3a；−

12

x

4

y

2

−

8

x

3

y

3

+

6

x

2

y

4

-12x^4y^2-8x^3y^3+6x^2y^4

−12x4y2−8x3y3+6x2y4。

    2.已知a

+

b

=

5

,

a

b

=

3

a+b=5,ab=3

a+b=5,ab=3，求代数式a

2

b

+

a

b

2

a^2b+ab^2

a2b+ab2的值。（体会先分解后代入的简便性）

    3.请找出多项式2

x

(

a

−

b

)

−

4

y

(

b

−

a

)

+

6

z

(

a

−

b

)

2x(a-b)-4y(b-a)+6z(a-b)

2x(a−b)−4y(b−a)+6z(a−b)的公因式，并分解因式。

  *探究拓展层（挑战）：

    1.查阅资料，了解“因式分解”在密码学（如RSA算法）中的基础性作用，写一段200字左右的简要说明。

    2.创作一道以提公因式法为核心步骤的应用题，背景可以是几何、物理或经济生活，并给出解答。

  设计意图：小结不是简单复述，而是引导学生结构化地回顾知识、方法和思想，构建完整的认知图式。分层作业尊重学生个体差异，基础层保底，提升层和发展层满足不同层次学生的需求，尤其是探究拓展作业，将数学与信息技术、现实生活深度链接，激发学有余力学生的研究兴趣，培养其综合素养。

  三、板书设计（规划）

  主板书（左侧）：

  因式分解——提公因式法

  一、公因式：各项都含有的相同因式。

    确定：①系数：最大公约数。

       ②字母：相同字母的最低次幂。

  二、提公因式法步骤：

    例：6

a

3

b

−

9

a

2

b

2

+

3

a

2

b

6a^3b-9a^2b^2+3a^2b

6a3b−9a2b2+3a2b

    1.找：公因式3

a

2

b

3a^2b

3a2b（标注寻找过程）

    2.提：原式=3

a

2

b

⋅

(

2

a

)

+

3

a

2

b

⋅

(

−

3

b

)

+

3

a

2

b

⋅

(

1

)

3a^2b\cdot(2a)+3a^2b\cdot(-3b)+3a^2b\cdot(1)

3a2b⋅(2a)+3a2b⋅(−3b)+3a2b⋅(1)

    3.