新人教版八年级数学上册知识点总结

新人教版八年级数学上册知识点总结八年级数学上册的学习，是在七年级数学基础上的深化与拓展，不仅知识体系更加系统，对逻辑思维和推理能力的要求也有所提升。这份总结旨在帮助同学们梳理本学期的核心知识点，巩固基础，明确重点，为后续学习打下坚实的根基。一、三角形三角形是平面几何的基本图形之一，是研究其他复杂图形的基础。本章的学习，我们将从三角形的概念、性质入手，逐步掌握与三角形相关的重要定理和应用。1.三角形的基本概念与性质*三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。*三角形的边、角、顶点：组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。*三角形的表示方法：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。*三角形的分类：*按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。*按边分类：不等边三角形、等腰三角形（底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）。*三角形三边关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。（判断三条线段能否组成三角形的依据）*三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。*三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。*三角形外角的性质：*三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。*三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。*三角形的外角和等于360°。2.与三角形有关的线段*三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。（锐角三角形三条高在内部，直角三角形两条高为直角边，钝角三角形两条高在外部）*三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。（三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心）*三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心）3.多边形及其内角和*多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。（n边形有n条边，n个顶点，n个内角）*正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。*多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。（n边形从一个顶点出发可引(n-3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线）*多边形内角和公式：n边形内角和等于(n-2)×180°。*多边形的外角和：多边形的外角和等于360°。（与边数无关）二、全等三角形全等三角形是平面几何证明的重要工具，通过证明两个三角形全等，可以得到线段相等、角相等，从而解决几何问题。1.全等形与全等三角形*全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。*全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。*对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。*全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。2.全等三角形的性质*全等三角形的对应边相等。*全等三角形的对应角相等。*（引申：全等三角形的对应边上的高、中线、对应角的平分线也相等；全等三角形的周长相等，面积相等。）3.三角形全等的判定*边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。*边角边（SAS）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（注意：必须是两边的夹角）*角边角（ASA）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。*角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。*斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形）4.角的平分线的性质*角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。*角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。三、轴对称轴对称是一种重要的图形变换，利用轴对称可以解决最短路径等实际问题，同时也是研究等腰三角形等图形性质的重要依据。1.轴对称图形与轴对称*轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。*轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。*轴对称的性质：*如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*成轴对称的两个图形全等。2.作轴对称图形*几何图形都可以看作由点组成。对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。*用坐标表示轴对称：*点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。*点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。*点(x,y)关于直线x=a对称的点的坐标为(2a-x,y)。*点(x,y)关于直线y=b对称的点的坐标为(x,2b-y)。3.等腰三角形*等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。*等腰三角形的性质：*等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。*等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。*等腰三角形的判定：*如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。*等边三角形：*定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。*性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。*判定：*三条边都相等的三角形是等边三角形。*三个角都相等的三角形是等边三角形。*有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。*含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。四、整式的乘除与因式分解整式的乘除是代数式运算的基础，因式分解则是整式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等方面有广泛应用。1.整式的乘法*同底数幂的乘法：am·an=am+n(m,n都是正整数)。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。*幂的乘方：(am)n=amn(m,n都是正整数)。幂的乘方，底数不变，指数相乘。*积的乘方：(ab)n=anbn(n是正整数)。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。*单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。*单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即m(a+b+c)=ma+mb+mc。*多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。*平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。*完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²。两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。*添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。2.整式的除法*同底数幂的除法：am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，并且m>n)。同底数幂相除，底数不变，指数相减。*零指数幂：a0=1(a≠0)。任何不等于0的数的0次幂都等于1。*负整数指数幂：a-p=1/ap(a≠0,p是正整数)。任何不等于0的数的-p次幂（p是正整数），等于这个数的p次幂的倒数。*单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。*多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。3.因式分解*因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。（因式分解与整式乘法是互逆变形）*提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。*公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，指数取相同字母的最低次幂。*公式法：*利用平方差公式分解因式：a²-b²=(a+b)(a-b)。*利用完全平方公式分解因式：a²+2ab+b²=(a+b)²；a²-2ab+b²=(a-b)²。*十字相乘法：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。（适用于二次项系数为1的二次三项式）*因式分解的一般步骤：1.一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。2.二套：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法（平方差公式、完全平方公式）或十字相乘法来分解。3.三查：分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。五、分式分式是不同于整式的另一类有理式，是分数概念的延伸，分式的运算与分数的运算类似。1.分式的概念*分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母（B≠0）。*分式有意义的条件：分母不等于零（B≠0）。*分式无意义的条件：分母等于零（B=0）。*分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零（A=0且B≠0）。2.分式的基本性质*分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。即A/B=(A×C)/(B×C)，A/B=(A÷C)/(B÷C)(C≠0)。*约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的结果是最简分式（分子与分母没有公因式的分式）。*通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分的关键是确定最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积）。3.分式的运算*分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即(A/B)·(C/D)=(A·C)/(B·D)。*分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即(A/B)÷(C/D)=(A/B)·(D/C)=(A·D)/(B·C)。*分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。即(A/B)n=An/Bn(n为正整数)。*分式的加减法法则：*同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。即(A/B)±(C/B)=(A±C)/B。*异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。即(A/B)±(C/D)=(AD/BD)±(BC/BD)=(AD±BC)/BD。*整数指数幂：*引入负整数指数幂后，正整数指数幂的各种运算法则对负整数指数幂同样适用。*am·an=am+n(m,n都是整数)。*(am)n=amn(m,n都是整数)。*(ab)n=anbn(n是整数)。*am÷an=am-n(a≠0,m,n都是整数)。*(a/b)n=an/bn(n是整数,b≠0)。4.分式方程*分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。*解分式方程的步骤：1.去分母：在方程的两边都乘