2026初等数论期末一周速成专用题库及配套答案

2026初等数论期末一周速成专用题库及配套答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.若整数a整除整数b，整数b整除整数c，则以下结论正确的是（）A.a整除cB.c整除aC.a=bD.b=c2.已知a≡3mod5，b≡4mod5，则a²-bmod5的值为（）A.0B.1C.2D.33.欧拉函数φ(15)等于（）A.4B.5C.6D.84.若p=7是素数，a=2不被7整除，则2^6mod7的值为（）A.0B.1C.2D.65.同余方程组x≡1mod2，x≡2mod3的解为（）A.x≡5mod6B.x≡4mod6C.x≡3mod6D.x≡2mod66.不定方程2x+3y=7是否有整数解？（）A.有B.无C.仅当x=2时D.仅当y=1时7.判断2是否是模7的平方剩余（）A.是B.否C.不确定D.仅当7是素数时是8.模6的简化剩余系中元素个数为（）A.2B.3C.4D.59.若p=5是素数，则4!mod5的值为（）A.0B.1C.4D.-110.若a≡bmodm，c≡dmodm，则以下结论错误的是（）A.a+c≡b+dmodmB.ac≡bdmodmC.a^k≡b^kmodm（k为正整数）D.a/d≡b/dmodm（d为正整数）二、填空题（总共10题，每题2分）1.gcd(12,18)=________2.lcm(12,18)=________3.φ(7)=________（7是素数）4.3^5mod7=________5.不定方程x+2y=5的一个特解为x=________，y=________（任写一组）6.同余方程组x≡3mod5，x≡2mod7的解为x≡________mod357.判断5是否是模11的平方剩余（填“是”或“否”）：________8.模4的完全剩余系中，与4互素的元素有________个9.若a≡2mod5，b≡3mod5，则abmod5=________10.7!mod7=________三、判断题（总共10题，每题2分）1.若a|b且b|a，则a=b（）2.若a≡bmodm，则ma≡mbmodm²（）3.欧拉函数φ(n)是积性函数（）4.费马小定理对所有整数a都成立（）5.不定方程ax+by=c有解当且仅当gcd(a,b)整除c（）6.1是所有模m>1的平方剩余（）7.中国剩余定理要求模两两互素（）8.若a与m互素，则a^φ(m)≡1modm（）9.模m的完全剩余系中，任意两个元素的差都不被m整除（）10.若p是素数，则p-1!≡-1modp（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述欧拉函数的定义及两个核心性质2.说明费马小定理与欧拉定理的关系3.简述不定方程ax+by=c有解的条件及求解特解的基本步骤4.如何用欧拉判别法判断a是否是模素数p的平方剩余五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论模m的完全剩余系与简化剩余系的区别与联系2.举例说明中国剩余定理在实际生活中的一个应用3.简述不定方程在购物场景中的应用思路4.讨论威尔逊定理的证明核心思路及合数的特殊情况答案及解析一、单项选择题答案及解析1.A解析：整除的传递性：若a|b且b|c，则a|c2.A解析：a²=9≡4mod5，b=4mod5，4-4=0mod53.D解析：15=3×5，φ(15)=φ(3)φ(5)=2×4=84.B解析：费马小定理：2^6≡1mod75.A解析：x=2k+1，代入x≡2mod3得2k+1≡2→2k≡1→k≡2mod3→k=3t+2→x=6t+56.A解析：gcd(2,3)=1整除7，故有解7.A解析：2^3=8≡1mod7，由欧拉判别法知是平方剩余8.A解析：φ(6)=2，元素为1,59.D解析：威尔逊定理：4!≡-1mod510.D解析：d不一定与m互素，无法直接约去二、填空题答案及解析1.6解析：gcd(12,18)=62.36解析：lcm(12,18)=363.6解析：素数p的φ(p)=p-1=7-1=64.5解析：3^5=243，243÷7=34余55.x=1，y=2（或x=3，y=1等）解析：代入满足方程即可6.17解析：x=5k+3，代入x≡2mod7得5k+3≡2→5k≡-1≡6mod7→k≡4mod7→k=7t+4→x=35t+177.是解析：5^5=3125≡1mod11，由欧拉判别法知是8.2解析：φ(4)=2，元素为1,39.1解析：2×3=6≡1mod510.-1（或6）解析：威尔逊定理：6!≡-1mod7三、判断题答案及解析1.×解析：若a|b且b|a，则|a|=|b|，不一定a=b2.√解析：a≡bmodm→a-b=km→m(a-b)=km²→ma-mb=km²→ma≡mbmodm²3.√解析：当m,n互素时，φ(mn)=φ(m)φ(n)4.×解析：仅当a不被素数p整除时成立5.√解析：不定方程有解的充要条件6.√解析：1²=1，故对任意m>1，1是平方剩余7.√解析：中国剩余定理的前提条件8.√解析：欧拉定理的内容9.√解析：完全剩余系元素模m两两不同，差不被m整除10.√解析：威尔逊定理的内容四、简答题答案1.欧拉函数定义：小于等于n且与n互素的正整数个数，记为φ(n)。核心性质：①积性：若m,n互素，则φ(mn)=φ(m)φ(n)；②素数性质：若p是素数，则φ(p)=p-1，φ(p^k)=p^k-p^(k-1)（k为正整数）。2.费马小定理是欧拉定理的特殊情况：欧拉定理：若a与m互素，则a^φ(m)≡1modm；费马小定理：当m为素数p时，φ(p)=p-1，且a不被p整除时，a^(p-1)≡1modp。即费马小定理是欧拉定理在模为素数时的特例。3.有解条件：gcd(a,b)整除c。求解特解步骤：①求gcd(a,b)=d，若d不整除c则无解；②两边除以d得a’x+b’y=c’（gcd(a’,b’)=1）；③用辗转相除法求a’和b’的线性组合为1，再乘c’得特解(x0,y0)。4.欧拉判别法：若p是素数，a不被p整除，则：①若a^((p-1)/2)≡1modp，则a是模p的平方剩余；②若a^((p-1)/2)≡-1modp，则a不是模p的平方剩余；③若a^((p-1)/2)≡0modp，则a被p整除，不是平方剩余。五、讨论题答案1.区别：①完全剩余系包含模m的所有m个剩余类代表元（如模6的0,1,2,3,4,5）；②简化剩余系仅包含与m互素的φ(m)个代表元（如模6的1,5）。联系：①简化剩余系是完全剩余系的子集；②若m=pq（p,q互素），简化剩余系元素个数为φ(p)φ(q)；③完全剩余系的和为m(m-1)/2modm，简化剩余系的和当m>2时为0modm。2.应用举例：某人周一休息，每2天休息一次（即第1,3,5...天休息）；另一人周二休息，每3天休息一次（即第2,5,8...天休息）。求下次同时休息的时间：设第x天休息，x≡1mod2，x≡2mod3，解得x≡5mod6，即第5天（周五）同时休息，符合中国剩余定理。3.购物场景应用思路：若需用3元和5元凑23元，转化为不定方程3x+5y=23。①求gcd(3,5)=1整除23，有解；②用辗转相除法求3×2+5×(-1)=1，乘23得3×46+5×(-23)=23，特解x=46,y=-23；③通解x=46-5t,y=-23+3t，取t=9得x=1,y=4（3×1+5×4=23），即1张3元、4张5元可凑23元。4.证