第19章 二次根式（单元培优卷）（解析版）-人教版(2024)八下

第19章二次根式（单元培优卷）一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．解：、，是最简二次根式，符合题意；、不是最简二次根式，不符合题意；、，不是最简二次根式，不符合题意；、，不是最简二次根式，不符合题意；故选：．2．（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（

）A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或【答案】C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可．解：∵和有意义，∴且，即．又∵是整数，∴可取1，2，3．当时，；当时，；当时，．∴的值为或2，故选：C．3．（23-24九年级上·全国·单元测试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，根据无理数的估算方法得出，，把，代入代数式进行二次根式的混合运算求解即可．解：∵∴，∴，，∴，故选：B．4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义．两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可．解：∵，且最简二次根式与可以合并，∴最简二次根式与是同类二次根式，∴，∴，∴．故选：C．5．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查比较二次根式的大小，由m，n，k为连续整数且，设，（），代入表达式计算a，b，c，再比较大小．解：∵m，n，k为连续整数，且，∴，（）．∴，，，∵，∴，∴．故选：D．6．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）已知为整数，且满足，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的大小比较，先计算，结合，从而可得答案．解：∵，∴，∵，∴，∵为整数，∴的最大值为；故选：C7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，掌握将二次根式化为最简形式并合并同类二次根式，结合二次根式有意义的条件求解方程是解题的关键．本题通过简化方程，将各项转化为的倍数，然后求解．解：∵，，，∴原方程化为，∴，两边平方得，∴故选：C．8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可．解：中间正方形纸片的面积为，中间正方形的边长为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为．故选：D．9．（2026八年级下·全国·专题练习）下列变形错误的有（）．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据二次根式的相关性质逐一判断每个变形的正误，统计错误个数后确定答案．解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误；②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误；③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误；④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确；综上，错误的变形有3个，故选：C．10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于正整数，定义，例如：．则的值为()A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和．解：∵∴，故选：B．二、填空题11．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）函数的自变量x的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式分母不为零和二次根式被开方数非负的条件求解.解：∵，解得：，∵，解得：，故自变量的取值范围是且.12．（25-26七年级上·山东威海·期末）若一个三角形的三边长分别为2，5，，则化简代数式的结果．【答案】/【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值、二次根式的性质是解题的关键．先根据三角形三边关系确定x的取值范围，再根据绝对值的性质化简，最后合并同类项即可．解：由三角形三边关系，得，即，∴，．故答案为．13．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简．【答案】【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键．，，故答案为：．14．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是（填序号）．【答案】②⑤【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，被开方数相同才能合并；化简=，被开方数为，再逐一化简各选项，比较被开方数即可．解：=，被开方数为；①=，被开方数为，可合并；②=，被开方数为，不可合并；③==，被开方数为，可合并；④，被开方数为，可合并；⑤=，被开方数为，不可合并．故答案为：②⑤．15．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求．解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2．设（k为正整数），则．由，得，，为正整数，故，，．当时，；时，时，．综上所述：的最小值为．故答案为：．16．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为．【答案】【分析】本题考查了几何变换，根据图与图的拼图结果得出线段间的相等关系，求得与，进而即可求解，解题的关键是弄清题意，能从图形中找出线段间关系．【详解】解：如图，∵图由一个长方形分割而成，且图中只有、、的角，∴线段线段，∴，由图可知，∴，，∴，故答案为：．17．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则______．【答案】15【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，先将分母有理化，得到，然后由得，整理得．利用此关系式将高次幂降次，代入多项式计算即可．解：，所以，两边平方，得，则，即，∴，∴，，∴：，故答案为：15．18．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来．【答案】（）【分析】本题主要考查二次根式运算、式子类规律探索，观察给定等式，左边系数与根号内分子相同，分母为系数的平方减1；右边为根号下系数与分数之和，分数分子与系数相同，分母为系数的平方减1，由此得出规律．解：总结得：对于自然数n（），等式左边为，右边为，验证：左边，右边，左右相等，故规律成立，因此，用含自然数的等式表示为（）．故答案为：（）．三、解答题19．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：(1)(2)．【答案】(1)1(2)15【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键．（1）根据二次根式的乘除法则计算可得；（2）先化简二次根式，再先后计算乘除法即可．（1）解：；（2）.20．（24-25八年级上·上海·月考）已知：，，且，求的值．【答案】【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．解：∵，，∴，∵，∴，∴，，，，．21．（25-26八年级上·河北邢台·月考）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则和灵活运用乘方公式是解题关键．（）先根据二次根式的性质化简，分母有理化进行计算，最后合并计算即可；（）先利用完全平方公式展开和分母有理化计算，零次幂，再根据二次根式混合运算法则计算即可得答案．（1）解：；（2）解：．22．（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：；，验证：；(1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明．【答案】(1)，验证见解析(2)（为自然数，且）【分析】本题考查了二次根式的化简．（1）仿照题干计算即可；（2）根据已知等式找出规律即可．（1）解：，验证如下：；（2）解：由题干和（1）可知，（为自然数，且）．证明：．23．（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料：小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索：设（其中x，y，m，n均为正整数），则有，∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：(1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y：______，______；(2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值；(3)①填空：______；②化简：．【答案】(1)，(2)或(3)①②【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用．（1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可；（2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可；（3）①根据完全平方公式进行求解即可；②根据完全平方公式进行求解即可．（1）解：，∴，；（2）解：，∴，，∴，∵m，n均为正整数，∴当时，，此时，；当时，；此时，；∴或；（3）解：①；②．24．（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较，的大小，（填写“”“”或“”）．(2)猜想和之间的大小，并说明理由．【拓展