第19章 二次根式（复习讲义）（原卷版）-人教版(2024)八下

第十九章二次根式（复习讲义）1.了解二次根式有意义（被开方数为非负数）与无意义的条件，体会二次根式“双重非负性”与平方根之间的整体联系。2.能识别最简二次根式，并掌握将二次根式化简为最简二次根式的方法。3.理解同类二次根式的概念，能准确判断并正确合并同类二次根式，利用乘法分配律完成运算。4.掌握二次根式的乘、除法法则（被开方数相乘除，根指数不变）与加减运算顺序（先化简，再合并同类项）。5.理解二次根式的混合运算顺序与整式运算一致（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），并能利用运算法则解决相关计算问题。一、二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如a（a≥0）的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式.2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.3.二次根式有无意义的条件①二次根式有意义：被开方数为非负数，即a有意义⇔a≥0；②二次根式无意义：被开方数为负数，即a无意义a<0.4.二次根式的性质①二次根式（）的非负性（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．②二次根式的性质：（）③二次根式的性质：二、最简二次根式与同类二次根式1.最简二次根式（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.同类二次根式（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。（2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如三、二次根式的运算1.二次根式的乘法（1）二次根式的乘法法则：a*b=ab（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）（2）二次根式的乘法法则的推广:①a*b*c=abc（a≥0；b≥0；c≥②ab*cd=acbd（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.（3）二次根式的乘法法则的逆用：ab=a*b（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：abcd=a*b*c*d（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0）2.二次根式的除法（1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）（2）二次根式的除法法则的推广：.3.二次根式的加减法（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。（2）二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。4.二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）题型一判断是否为二次根式【例1】下列是二次根式的是：（

）A． B． C． D．【变式1-1】下列式子是二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】下列各式中，不属于二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式1-3】下列式子中，不是二次根式的是（

）A． B． C． D．题型二根据二次根式有意义条件求范围【例2】要使式子有意义，则x的值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【变式2-1】若二次根式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-2】在函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【变式2-3】若代数式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且题型三根据二次根式有意义求值【例3】已知x，y为实数，若满足，则的值为．【变式3-1】若，求的值是．【变式3-2】若、都是实数，且，则．【变式3-3】已知，则．题型四最简二次根式的判断【例4】下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式4-1】下列根式中是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式4-2】下列各式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式4-3】下列二次根式是最简二次根式的为（

）A． B． C． D．题型五同类二次根式的判断与求参数【例5】下列二次根式中，不能与合并的是（

）A． B． C． D．【变式5-1】下列二次根式中，化简后能与合并的是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为．【变式5-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则．题型六二次根式的混合运算【例6】计算题：(1)；(2)．【变式6-1】计算：(1)(2)【变式6-2】计算：(1)；(2)．【变式6-3】计算：(1)；(2)．题型七利用二次根式的性质化简【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，化简：．【变式7-1】（25-26八年级下·全国·周测）若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：．【变式7-2】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．(1)求的值；(2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．【变式7-3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分）化简：．解：隐含条件，解得．所以．所以原式．【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：．【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简．题型八二次根式中的新定义型问题【例8】定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”．(1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____．(2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由．【变式8-1】定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且．(1)求的值；(2)化简．【变式8-2】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．(1)若与是关于6的美好二次根式，求的值：(2)若与是关于的美好二次根式，求和的值．【变式8-3】对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下：如：，．根据上述定义，解决下列问题：(1)______，______；(2)若，求x的值．题型九二次根式中的分母有理化【例9】【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化．例：．结合上述材料，解决问题：(1)的有理化因式是，的有理化因式是；(2)利用分母有理化化简：．【变式9-1】像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．(1)化简：①．②．(2)计算(3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．【变式9-2】观察下列式式子的化简过程：①；②；③；…(1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式；(2)求的值．【变式9-3】阅读下列分母有理化的过程：（Ⅰ）；（Ⅱ）；请完成下列问题：(1)仿照上述解题过程计算：=__________；=__________；（注意结果化简）(2)观察上面解题过程，请直接写出的结果为_________；(3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是：；(4)试利用上面所提供的思路，解方程：．题型十二次根式中的规律探究问题【例10】观察下列各式及其验证过程：．验证：．．验证：(1)按照上述规律，直接写出的结果是___________(2)针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明．【变式10-1】；；；(1)写出_________；(2)猜想：_________；(3)由以上规律，计算的值．【变式10-2】观察下列等式：①，②，③，…解答下列问题：(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；(2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．【变式10-3】观察下列各式①；②；③……请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：(1)_________；(2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________；(3)用上述规律计算：．基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（

）A． B．0 C．3 D．62．（上海市浦东新区几校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（重庆市大渡口区2025-2026学年九年级上学期第一次适应性考试数学试卷）估计的值应在（

）A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间4．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．5．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（25-26八年级上·上海松江·期末）要使有意义，则的取值范围是．7．（25-26八年级上·河北张家口·月考）若与最简二次根式能合并，则的值为．8．（25-26八年级上·全国·期末）若，则的值为．9．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）已知，化简的结果是．10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有．例如：，则．三、解答题11．（25-26八年级下·全国·周测）计算：(1)．(2)．12．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：．13．（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值．(1)(2)14．（25-26八年级上·云南昆明·期末）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下．，即请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】：(1)计算：．(2)若，求的值．能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题1．（25-26八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，属于同类二次根式的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列计算中，正确的是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·四川内江·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B．且C． D．且4．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ）A． B． C． D．5．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法：①化简：，一共有4种不同的形式；②化简：，一共有4种不同的结果；③若（n为正整数），则当时，．以上说法中正确的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简．7．（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子有意义，那么的取值范围是．8．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是．9．（25-26八年级下·全国·课后作业）小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为．10．（25-26八年级下·全国·课后作业）我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：．三、解答题11．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算：(1)；(2)．12．（25-26八年级上·上海静安·期末）计算(1)(2)13．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）计算：(1)(2)(3)14．（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式．思