河南高考理科数学试题

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至3页，第H卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第।卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

(1)设复数z满足上上~=3则|z|=

1-z

(A)l(B)C(C)G(D)2

(2)si〃20°cos10°—cw/160°=

(A)—。(B)g(O-1(D)|

2222

2n

⑶设命题P：玉?EN,n>2f则］。为

(4)V〃EN,n2>T(B)3neN,1W2”

(3neN,n2T(D)3nsN,n2=T

(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.己知某同学每次投篮投中的

概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

(A)0.648(5)0.432(0().36(D)().312

(5)已知jo)是双曲线C：玄-)，2=1上的一点,H、&是C上的两个焦点，若M片•“

<0,则知的取值范围是

2&272

(0(-3，+)⑼-李当)

33

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角,

下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为：”在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆

锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，间米堆的体积和堆放的米各为多

少?”己知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有

5)14斛(5)22斛(Q36斛(066斛

⑺设。为所在平面内一点3C=3CO,则

1414

(4)AD=——AB+-AC(B)AD=-AB——AC

3333

4141

(QAD=-AB+-AC(D)AD=-AB——AC

3333

⑻函数/Cr)=cos(3x+(p)的部分图像如图所示，则/CO的单调递减区间为

(24)(krr-krr,kEz(/?)(2kn-2kn+-),kEz

4444

(C)(k-7,k+7),kEz(D)(2k—7,2k+,k£z

ft

⑼执行右面的程序框图，如果输入的/=0.01,则输出的n=

(A)5(8)6(C)7(08

(10)C?+x+y)5的展开式中，fy的系数为

(4)10(5)20(C)30(D)60

(ID圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,

(12)该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的正视图

(13)表面积为16+20乃，则r=

(&1

(炭2

(04

(0)8

12.设函数/(犬)=e"(2t—1)—"+〃，其中。VI,若存在唯一的

俯视图

整数即，使得/Go)V()，则。的取值范围是()

Ab")小，由。号由。忌，1)

第〃卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.

第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)若函数/(x)=H〃(x+为偶函数，贝

(14)一个圆经过椭圆三+二二1的三个顶点，且圆心在x轴匕则该圆的标准方程为

164

A-l>0

（15）若x,y满足约束条件火-，则上的最大值为.

x

A+^-4<0

（16）在平面四边形A8CQ中，ZA=ZB=ZC=75°,BC=2,则AB的取值范围是,

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

Sn为数列｛〃〃｝的前〃项和.已知an>0,a;+2an=4Sn+3

（I）求｛斯｝的通项公式：

（1【）设勾=^^,求数列｛勾｝的前〃项和

ancn+i

（18）如图,四边形A8CD为菱形,ZABC=120°,

E,/是平面ABCQ同一侧的两点，3E_L平面45cp

。尸JL平面ABC。，BE=2DF,AE1EC.

⑴证明：平面AEC_L平面AFC

⑵求直线AE与直线CF所成角的余弦值

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销

售量），（单位：。和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费加和年销售量），,6=1,

2,・・・，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

2

,■

羯

制

勤

售

盟

量

〃4

*-•

a*W父

4«54

年宣传费（千元）

11

x（为一x）（厂X（叩一

1

X3-/尸X（m一卬）2X+IX+1

XyW

X+1X+1

））W）（厂），）

46.656.36.8289.81.61469108.8

表中阴=>Jx.w=—vvl

8x+i

（I）根据散点图判断，尸。+瓜与尸c+d4哪一个适宜作为年销售量），关于年宣传费x的回归方

程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于X的回归方程；

（III）以知这种产品的年利率z与小），的关系为z=0.2），一乂根据（II）的结果回答下列问题:

(i)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

(ii)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(的V|),(u2v2)……・.(斯修)，其回归线尸a+尸〃的斜率和截距

的最小二乘估计分别为：

P=----------,a=v-J3u

f(q-〃尸

i=i

(20)(本小题满分12分)

2

在直角坐标系xoy中，曲线C：)，=土与直线)，=丘+/〃>0)交于M,N两点，

4

(I)当2=()时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(II))，轴上是否存在点尸，使得当上变动时，总有NOPM=NOPN?说明理由.

(21)(本小题满分12分)

已知函数/(X)=x3+ar+-,g(x)=-lnx

4

(I)当〃为何值时，x轴为曲线》=/*)的切线；

(H)用min{m,〃}表示〃z,〃中的最小值，设函数/7(x)=min{/(x),g(x)}(x>0),讨论人(x)

零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所

做第一个题目计分，做答时，请用28铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

(22)(本题满分1()分)选修4一1：几何证明选讲

如图，A8是。。的直径，AC是。0的切线，BC交00于点、E

(1)若。为AC的中点，证明：OE是。。的切线；

(II)若OA=6CE,求/AC8的大小.

(23)(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程

在直角坐标系X。)，中.直线G：X=-2,圆。2：(X—if+Cy—2)2=1,以坐标原点为极点，X

轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(I)求G，C2的极坐标方程;

(II)若直线。3的极坐标方程为。=；("亡农)，设G与。3的交点为M，N，求△CzMN

的面积

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

己知函数f(戈)=卜+1|一2|上一〃|,

(I)当。=1时，求不等式的解集；

(II)若风r)的图像与X轴围成的三角形面积大于6,求。的取值范围

a*。­

2015年普通高等学校招牛全国统一考试

理科数学试题答案

选择题答案

一、选择题

(I)A(2)D(3)C(4)A(5)A(6)B

(7)A(8)D(9)C(10)C(11)B(12)D

A、B卷非选择题答案

二、填空题

375(16)(加-&，&+&)

(13)1(14)(X±-)2-F/=—

24(15)3

二、解答题

(17)解：

(I)由m+24=4S.+3,可知廉可冽用=4黑।+3.

可得4；+i-4；+2(a.+i-a)=可用即

2(4向+4)=或—q；=(〃向+。)(凡+「

由于4＞。可得4+「。”=2・

又a；+24=4q+3,解得4=T(舍去)，a｝=3

所以｛q｝是首相为3,公差为2的等差数列，通项公式为%=2〃+1.

(II)由。“=2〃+1

、

b,=--1-=------1----=—L(--I------1-).

(2〃+1)(2〃+3)22//+12〃+3

设数列也｝的前n项和为7；,则

(=4+4++4

11LJl/1、，1、

(彳一])+(Dx)++(-----7)-(------)

235572〃+12〃+3

_n

-3(2〃+3)

(18)解:

(I)连结BD,设BDAC=G,连结EG,FG,EF.

在菱形ABCD中不妨设GB=1.由NABC=120°,

可得AG=GC=。.由BE1平面ABCD,AB=BC口J知AE=EC.

XAE1EC,所以EG二白，且EG_LAC.在RtAEBG中，

可得BE二夜故DF二立.在RtAFDG中，可得FG二如.

22

在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=JLDF=—,

2

可得FE二辿.从而EG2+FG2=石产，所以EG±FG

2

又ACFG=G，可得EG_L平面4R7.因为EGu平面AEC

所以平面AEC1平面ART

（III）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向,

G8为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.

由（I）可得40,-6,0）,反1,0,拉）/（一1,0,也）,。（0,6,0）所以

2

AECP

AE=(1,6丘),CF=(-1,73,—).故cos==一立

2\/AECF3

所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为立

3

(19)解:

（I）由散点图可以判断，y=c+d«适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类

型,2分

(II)令w=6,先建立y关于w的线性回归方程。由于

CI------------------------Oo

v/121.6

工（叱一仞

r=l

1=5—加=563—68x6.8=100.6。

所以y关于w的线性回归方程为5，=100.6+68卬，因此y关于x的回归方程为

y=\00^6……6分

(HI)(i)由(II)知，当x=49时，年销售量y的预报值

y=100.6+68x/49=576.6

年利润z的预报值

z=576.6X0.2-49=66.32。……9分

<ii)根据(II)的结果如，年利润Z的预报值

z=0.2(100.6+68&)-x=-x+13.6y/x+20.12

所以当五=空=6.8,即x=46.24时，2取得最大值

2

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。……12分

(20)解：

2

(I)有题设可得A/(2G,a),N(-2&,a),或M(-2&,a).又=,故y=?在％=2&

处的导数值为&,C在点(而〃，出的切线方程为

y-a=\fa(x-2\[a\^V\/ax-y-a=()

y=?在工=-2&,即Gx-y+a=0.

股所求切线方程为\fax-y-a=+y+a=0

(HI)存在符合题意的点，证明如下：

设P((),b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM,PN的斜率分别为附的

y=kx+a代入CfKl方程得“2—4kx—4a=0.

故玉+Xy=4%,用电=-4a.

从而kx+々代入6]方程得x2-4辰-4a=0.

故X]+W=4%,x}x2=-4a.

从而勺+k2=*^+显及

%W

2kxi&+一力）（X[+x2）

_k(a+b)

a

当6=、时，有

4+包=0,则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故N0PM=N0PN,所以点P(0,飞)符合题意

(21)解：

*o,O)则fa0)=OJ*o)=O即

(I)设曲线y=f(x)与x轴相切于点<*+以。+厂°,

3x；+a=0

解得Xo，,a=_3

24

因此，当。=-3时，x轴为曲线y=〃x)的切线

4

(II)当

x£(1,+co)时，g(x)=-bu<0,从而h(x)=min{/(x),g(x)}<g(x)<0,故h(x)在(l,+oo)无零点

当x=1时，若a>一3则/⑴=«+^>0,/?(1)=min{/⑴,g⑴}=^(l)=0,&x=

是力。)的零点；若a<-(,则f⑴<0,h⑴=min{/⑴,g(l)}=/⑴<0,故x=l不是〃(x的零点

当xw(OR寸，1)x=gY一丫)所以1只需考虑(x)在(0,1)的零点个数

(i)若aK-3或a之0,则f'(x)=3x?+a在(1,0)无零点，故f(若在(0,1)单调

f(0)」J⑴〃+2,所以当a«-3时，f(x)在(0,1)有一个零点；当aNO时f(x)在(1,0)没有零点

44

(")若-3<。<0,则f(x)在(0,后)单调递减，在(后；)单调递增，故在(0J)中

生="时，/(五)取得最小值，最小值为f(后)=与1；；

①若f后3

>0即一二va<O,/(x)在(0,1)无零点;

4

②若f(曰)二0,即a=-(则f(x)在(0,1)有唯一零点

3I53

③若/<0,即一3〈々<一己,由于/(0)=—,/(1)=4+—<。<一2

4444

时，f(x)在(0,1)有两个零点；当时，f*)在(0,1)有一个零点.

4

综上，当

a＞-2或av-』时，〃(x)有一个零点；当a=-」或a=-』时，h(x)有两个零点

4444

57

当一一＜。＜一一时，h(x)有三个零点.

44

(22)解：

(I)链接AE,由已知得，AE1BCAC1AB

在A/&4EC中，由己知得，DE-DC故/DEC-NDCE

链接OE,WOZOBE=ZOEBXZACB+ZABC=900所以NDEC+NOEB=90°

故NOED=90",DE是。得切线

(II)设CE=1,AE=X,由已知得AB=2JL