河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期开学测评数学试卷（含解析）

河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期开学测评数学试卷一、单选题1．在等差数列中，，则（

）A． B． C． D．2．下列求导结果正确的是（

）A． B．C． D．3．已知、分别为椭圆的左、右焦点，的焦距为，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，则（

）A． B． C． D．4．已知直线，，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，l与所成的角为，则（

）A． B．C． D．6．瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如图1所示，其横截面如图2所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．7．若等比数列的前项和为，公比为，且，，则（

）A． B． C． D．8．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．若圆与圆N关于直线对称，则（

）A．圆M与圆N相交B．圆M与圆N外切C．圆N上一点与点的距离的最小值为D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为10．已知是定义域为的函数的导函数，且，则（

）A． B．C．有两个零点 D．11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，6，15，28，…称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列，则（

）A． B．C．是等比数列 D．三、填空题12．直线被圆截得的弦AB的长为________．13．已知正四棱柱的表面积为16，底面边长为x，体积为V，则当时，V关于x的瞬时变化率为________．14．若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________．四、解答题15．在等比数列中，，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．16．已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1．(1)求a；(2)若过点的直线l与的图象相切，求l的方程．17．在底面半径为1，高为的圆柱OP中建立如图所示的空间直角坐标系．在点处有一只蚂蚁M（视为质点）沿z轴正方向以每秒1个单位长度的速度爬行，同时在点处有一只蚂蚁N（视为质点）沿着圆柱的表面逆时针匀速螺旋爬行，经过秒，蚂蚁N第一次爬到A的正上方的位置，此时蚂蚁N到平面Oxy的距离为．(1)当经过秒时，求平面OMN与平面Oxy夹角的余弦值；(2)当经过秒时，，求t的取值范围．18．已知正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，，．(1)求，的值；(2)求的通项公式；(3)若数列的前n项和为，证明：．19．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，且，C的离心率为．(1)求C的方程；(2)若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程；(3)若过且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，与直线交于点P，设直线AM，BN的斜率分别为，，且，比较与的大小，并说明理由．参考答案1．C【详解】因为数列为等差数列，则，所以.2．D【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.3．D【详解】易知点、、，所以，，所以，即为钝角，又因为为等腰三角形，所以，即，解得.4．A【详解】当时，直线，即与直线平行，由，得，解得，所以“”是“”的充要条件.5．A【详解】易知，所以，即，又，所以.6．D【详解】构建如下图示的直角坐标系，其中双曲线过点，实轴长为，即，双曲线的焦点在轴上，设为，则，故离心率.7．B【详解】因为等比数列的前项和为，公比为，且，，则，解得，又因为，所以，故.8．C【详解】因为，，所以，设，，，显然不是共线向量.因为平面AEF与棱CD交于点G，所以四点共面，因此有，因为彼此两两不互相共线，所以有，所以.9．BC【详解】因为圆与圆N关于直线对称，所以圆.圆心距，恰好等于两圆的半径和，所以两圆外切；A错误，B正确；因为，所以圆N上一点与点的距离的最小值为，C正确；因为，所以圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为，D错误.10．BCD【详解】对求导可得，令，可得，解得，所以A错误，B正确；因此，所以，令，可得，因此有两个零点，所以C正确；易知，所以，即，可知D正确.11．ABD【详解】在数列中，有，进一步，得，所以可以得到递推关系：，即，因为，显然不是常数，所以数列不是等比数列，选项C不正确；当时，，显然也成立.因为，，所以选项AB正确；所以选项D正确.12．【详解】圆心到直线的距离为：，所以弦的长为：.13．【详解】因为正四棱柱的底面边长为x，设正四棱柱的高为，所以正四棱柱的表面积为，所以，所以体积为，所以，则时，V关于x的瞬时变化率为.14．【详解】抛物线的焦点，准线，由抛物线定义得，则，当且仅当是线段的延长线与抛物线的交点时取等号，直线，由且，得，即点，所以的最大值为，此时点P的坐标为.15．(1);(2).【详解】（1）设数列公比为，则.两式相除可得，又，则；（2）由（1），.则.16．(1)(2)【详解】（1），因为曲线在点处的切线的斜率为1，所以，解得.（2）由（1）知，，设切点坐标为，则，切线的方程为，又点在曲线上，所以，代入得，即，整理可得，故l的方程为，即.17．(1)；(2).【详解】（1）由题知，当经过秒时，，则，设平面的法向量为，则，令，得，则，易知平面的一个法向量为，记平面与平面夹角为，则.（2）因为经过秒，蚂蚁N第一次爬到A的正上方的位置，此时蚂蚁N到平面的距离为，所以蚂蚁沿轴正方向移动的速度为，绕着圆柱旋转的角速度为，所以当经过秒时，，又，所以，所以，即，又，即，所以，解得.18．(1)，(2)(3)证明见解析【详解】（1）当时，，又，所以；当时，，又，所以，.（2）当时，，，两式相减得：，又，所以.所以，因为，所以.又，两式相加得，所以，两式相减得：，所以.因为，所以.所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.（3）因为，当时，；当时，.所以，因为，所以.19．(1)(2)，(3)，理由见详解【详解】（1）由题意可知：，即，又因为椭圆C的离心率为，则，，所以椭圆C的方程为.（2）设直线，，，联立