1.5 等腰三角形（第3课时 等边三角形）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

1.5等腰三角形第3课时

等边三角形

第一章

三角形

学

习

目

标123理解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质定理和判定定理．探索并证明“含30°角的直角三角形”的性质．能运用相关定理进行几何证明和计算，培养推理能力．知识回顾等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）.问题引入若将两个相同三角板(含30°角)拼成△ABC，它是什么特殊三角形？BCA概念引入三边都相等的三角形叫作等边三角形．腰腰底边如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC．ABC新知探究

等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质，还具有哪些特殊的性质？如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵BA＝BC，∴∠C＝∠A.∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.ABC新知归纳等边三角形的各角都等于60°．等边三角形的性质定理：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.符号语言：ABC新知探究等边三角形的性质与等腰三角形相比，有什么区别和联系？等腰三角形边角特殊线

对称性轴对称图形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)两条边相等每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条)三个角都等于60°轴对称图形对称轴（3条）三条边都相等等边三角形讨论交流

等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°．反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？ABC三角形的三个角都相等．讨论交流

等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°．反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.

∵∠A＝∠C，∴

AB＝BC.∴AB＝AC＝BC.∴△ABC是等边三角形.ABC讨论交流

等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°．反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？有一个角是60°的等腰三角形．ABC讨论交流

等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°．反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？若顶角是60°，则两个底角相等，也都是60°.所以三个角都相等，△ABC是等边三角形.若一个底角是60°，则另一个底角也是60°，顶角也是60°.所以三个角都相等，△ABC是等边三角形.ABC新知归纳三个角都相等的三角形是等边三角形．等边三角形的判定定理1：符号语言：∵∠A＝∠B＝∠C

，∴△ABC是等边三角形．ABC新知归纳有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．等边三角形的判定定理2：符号语言：∵AB＝AC

，∠A＝60°(或∠B＝60°

或∠C＝60°)∴△ABC是等边三角形．ABC典例分析例1如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC．求证：△ADE是等边三角形．ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°(等边三角形的性质定理)．∵

DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，

∠AED＝∠C＝60°．∴∠A＝∠ADE＝∠AED．∴△ADE是等边三角形(等边三角形的判定定理)．典例分析变式1若点D、E在边AB、AC

的延长线或反向延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？

ACBDEACBDE用同样的方法证明．仍然成立．典例分析变式2上题中，若将条件DE∥BC改为AD＝AE，

△ADE还是等边三角形吗？试说明理由．

证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°(等边三角形的性质定理)．∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形(等边三角形的判定定理)．ACBDE新知探究等边三角形有几种判定方法？与等腰三角形相比，有什么区别和联系？等腰三角形边角

等边三角形定义法：三条边都相等的三角形叫作等边三角形．判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．定义法：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形．判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．探究思考BCA问题1

怎样证明两个含30°角的三角板拼成的△ABC是等边三角形？证法1：∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形．证法2：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．探究思考BCA问题2

在Rt△ABD中，30°角所对的直角边和斜边有什么关系？如何证明？D

新知归纳

在直角三角形中、如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半．ABC30°

典例分析例2如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BD⊥AC，垂足为D．求证：CA＝4DA．30°ABCD证明：∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°．∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°．∴∠A＋∠ABD＝90°．∴∠ABD＝∠C＝30°．∴CA＝2AB，AB＝2DA．∴CA＝4DA．新知巩固1．如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线．求∠1，∠2，∠3，∠4的度数．ACBDE1243

新知巩固2．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边的中点，写出图中所有的等边三角形，并说明理由．ACBDEF

思维提升例3如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；BCAMN解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB＝120°.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.思维提升(2)AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．BCAMN(2)△CEF是等边三角形．证明：∵∠ACM＝∠BCN＝60°，∴∠MCF＝60°.∴∠ACE＝∠MCF＝60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠C