8.4 排列与组合的应用教学设计中职基础课-拓展模块一 下册-北师大版（2021）-(数学)-51

课题8.4排列与组合的应用教学设计中职基础课-拓展模块一下册-北师大版（2021）-(数学)-51课时安排课前准备教学内容一、教学内容8.4排列与组合的应用（北师大版中职数学拓展模块一下册），内容包括分类计数原理与分步计数原理在实际问题中的应用，排列问题（如排队顺序、座位安排），组合问题（如选派人员、产品抽样），以及简单的排列组合综合应用题（如分配任务、分组求概率等）。核心素养目标二、核心素养目标通过排列与组合应用问题的解决，提升数学运算能力与逻辑推理素养；在实际问题（如选派、抽样、分配）分析中，强化数学建模意识，能抽象问题中的分类与分步关系；结合综合应用题，培养数据分析能力，发展数学抽象与直观想象，形成用数学方法解决实际问题的思维习惯。学情分析三、学情分析中职学生数学基础差异较大，部分学生对计数原理理解不透彻，易混淆分类与分步；已掌握排列组合基本概念，但解决实际问题时建模能力薄弱，难以从具体问题中抽象出数学关系。学生逻辑推理能力有待提升，面对综合应用题常出现重复或遗漏计数的情况；学习习惯上，依赖例题模仿，主动分析意识不足，对抽象符号和公式存在畏难情绪。课本中的选派、抽样、分配等实例贴近生活，但学生因缺乏将实际问题转化为数学问题的训练，影响学习效果，需通过实例引导强化分类讨论与分步求解的思维。教学方法与手段教学方法：1.讲授法，梳理分类计数原理与分步计数原理在排列组合应用中的逻辑关系；2.讨论法，引导学生分析课本中选派、抽样等实例的分类与分步步骤；3.案例教学法，通过课本分配任务、分组求概率等综合应用题，强化建模能力。教学手段：1.多媒体展示例题解题步骤，直观呈现分类与分步过程；2.教学软件模拟排列组合计数过程，帮助学生理解抽象原理；3.实物模型（卡片、小球）演示简单排列场景，增强直观感知。教学过程**环节一：情境导入，激发兴趣（5分钟）**

师：同学们，今天我们班要选派2名同学参加校级技能大赛，从5名候选人中选出，有多少种不同的选法？如果还要考虑这2名同学的出场顺序呢？请你们思考一下。

生：选法应该是组合问题，顺序不重要；出场顺序则是排列问题。

师：完全正确！这就是我们今天要探究的排列与组合在实际问题中的应用。翻开课本第8章第4节，看看课本如何通过选派、抽样等实例解决这类问题。

**环节二：原理探究，突破难点（20分钟）**

师：请看课本例1：从5名男生和3名女生中选2人参加辩论赛，要求至少1名男生，有多少种选法？请小组讨论分类依据。

生（讨论后）：可以分两类：1男1女，或2名男生。

师：很好！分类计数原理的关键是"不重不漏"。请用公式表达：

生：选法数=\(C_5^1\timesC_3^1+C_5^2\)。

师：正确！现在请用卡片模拟：5张蓝卡（男生）、3张红卡（女生），随机抽2张，记录"至少1蓝"的情况，验证结果。

生（操作后）：实际操作得到26种，与公式一致！

师：那如果改成"选2人分别担任一辩和二辩"呢？

生：顺序重要，用排列数：\(A_5^2+A_5^1\timesA_3^1\times2!\)。

师：注意！分步时女生担任二辩要乘2!（位置交换）。课本例2的抽样检验问题也是类似思路。

**环节三：例题精讲，深化理解（30分钟）**

师：课本例3：6人分成3组，每组2人，有多少种分法？请思考分组是否有序。

生：分组无序，需除以组间排列数。

师：对！先算有序分组：\(C_6^2\timesC_4^2\timesC_2^2\)，再除以\(3!\)。请计算并解释除法原因。

生：因为ABC、DEF与DEF、ABC是同一分组，重复计算了\(3!\)次。

师：非常棒！现在变式：若3组分别承担不同任务，是否还要除以\(3!\)？

生：不用！任务不同，分组有序，直接用\(C_6^2\timesC_4^2\timesC_2^2\)。

师：正确！课本例4的分配任务问题正是如此。请完成课本P51练习第2题，验证理解。

**环节四：当堂训练，分层达标（25分钟）**

师：请完成以下任务：

1.基础题：课本P52习题8.4第1题（选派问题，区分排列组合）。

2.提升题：从5件不同奖品中选3件分给3人，每人1件，有多少种分法？

生：分步完成：先选3件（\(C_5^3\)），再排列（\(3!\)），共\(C_5^3\times3!=60\)种。

师：很好！若改为"3人分别获得不同等级的奖品"呢？

生：直接排列：\(A_5^3=60\)种。

师：对！本质相同。现在请解决实际问题：班委5人分工（班长、学习委员等），有多少种分工方案？

生：排列问题，\(A_5^5=120\)种。

**环节五：总结反思，拓展应用（10分钟）**

师：今天我们解决了排列组合的三大应用类型：选派（组合）、排序（排列）、分配（先分组后分配）。请用思维导图总结"何时用排列，何时用组合"。

生：排列强调顺序（如排队、分工），组合忽略顺序（如选派、抽样）；分配问题先分组再考虑组间顺序。

师：完全正确！课后完成课本P53第4题（综合应用题），下节课分享解题思路。记住：实际问题中，先明确"是否有序"，再选择原理！

**板书设计**

```

8.4排列与组合的应用

一、核心问题

1.选派（组合）：\(C_n^k\)

2.排序（排列）：\(A_n^k\)

3.分配：先分组（\(C\)）×组间排列（\(k!\)）

二、易错点

-分组是否有序？

-是否重复计数？

```教学资源拓展拓展资源：1.复杂排列模型：重复排列（如数字密码设置，允许数字重复的四位数有多少种）、环状排列（如5人围坐圆桌讨论，与直线排列的区别，需除以旋转对称性）；2.复杂组合模型：平均分组（如6人平均分成3组，每组2人，与课本例3的对比，需除以组间排列数3!）、定序组合（如从10人中选3人，要求身高从高到矮排列，组合数不变但顺序固定）；3.综合应用场景：抽样检验中的分层抽样（如从3个批次产品中按比例抽样，结合组合计算）、比赛赛制中的场次计算（如循环赛单循环场次公式\(C_n^2\)、淘汰赛晋级路径排列）、密码学中的排列组合原理（如设置6位字母密码，含至少2个大写字母的限制条件解法）。

拓展建议：1.深化基础理解：重新梳理课本P50-P51的分类计数原理与分步计数原理，用实际案例对比“分步用乘法、分类用加法”，整理排列组合应用题的判断口诀“排顺序、选组合”，完成课本P52习题8.4第3题（分配任务）和第4题（综合应用）；2.分层拓展练习：基础层练习“从4名男生、3名女生中选3人参加植树，要求至少1名女生，有多少种选法？”（巩固组合分类）；提升层练习“6本不同的书分给3人，每人2本，有多少种分法？”（强化平均分组处理）；挑战层练习“5人站成一排，甲不站在两端，乙不站在甲的左边，有多少种排法？”（结合排列限制条件）；3.实际应用观察：记录生活中的排列组合问题，如“班级选班委（班长、学习委员等）是排列还是组合？”“从5道题中选3道作答，选法是组合还是排列？”，尝试用课本方法解决并记录解题思路；4.错题反思总结：整理练习中易错点，如“分组时是否重复计数？”“限制条件是否用间接法处理？”，制作“排列组合应用题解题步骤”卡片：①明确是否有序；②判断分类或分步；③计算时注意重复或遗漏情况；④验证结果合理性。板书设计①**核心原理对比**

-分类计数原理：完成一件事有\(n\)类方法，每类有\(m_i\)种方式，总数为\(m_1+m_2+\cdots+m_n\)（课本P50）

-分步计数原理：完成一件事需\(n\)个步骤，每步有\(m_i\)种方式，总数为\(m_1\timesm_2\times\cdots\timesm_n\)（课本P50）

-排列与组合本质区别：排列强调顺序（如\(A_n^k\)），组合忽略顺序（如\(C_n^k\)）

②**应用类型与公式**

1.**选派问题**（组合）：

-公式：\(C_n^k\)（课本P51例1：从5男3女选2人至少1男）

-关键点：分类讨论（如"至少1男"拆分为"1男1女"和"2男"）

2.**排序问题**（排列）：

-公式：\(A_n^k\)（课本P51例2：选2人担任不同辩手）

-关键点：分步计算（如先选再排，位置不同需乘阶乘）

3.**分配问题**（综合）：

-平均分组：\(\frac{C_{6}^{2}\timesC_{4}^{2}\timesC_{2}^{2}}{3!}\)（课本P51例3：6人分3组）

-有序分配：\(C_{6}^{2}\timesC_{4}^{2}\timesC_{2}^{2}\)（课本P51例4：组间任务不同）

③**易错点警示**

-分组是否有序？

-无序分组需除以组间排列数（如例3除以\(3!\)）

-有序分组直接计算（如例4）

-是否重复计数？

-间接法处理限制条件（如"甲不站两端"用总数减无效情况）

-验证方法：实物模拟（卡片、小球）或列举小规模数据（课本P52练习题）教学评价1.课堂评价：通过提问检查学生对分类计数原理与分步计数原理的理解（如“选派问题用加法还是乘法？”），观察学生解决课本P51例1（选派）、例3（分组）时的分类与分步步骤是否正确；通过小测试（如“从4男2女选3人至少1女的选法数”）评估学生对组合分类的掌握；对易错点（如分组是否除以阶乘）即时纠正，确保学生能区分排列与组合的应用场景。

2.作业评价：批改课本P52习题8.4第1题（选派组合）、第3题（分配任务）、第4题（综合应用），重点点评学生是否正确应用公式（如\(C_n^k\)、\(A_n^k\)）、处理限制条件（如“至少1名”的分类计算）及分组有序性判断；对错误率高的题型（如平均分组除以\(3!\)）进行集体讲解，反馈学习效果，鼓励学生通过错题反思强化解题逻辑。课后拓展1.拓展内容：阅读课本P50-P51“分类计数原理与分步计数原理”的对比分析，结合例1（选派问题）、例3（分组问题）的解题步骤，理解“分类用加法、分步用乘法”的核心逻辑；观察生活中的排列组合实例，如“班级选3名班委（班长、学习委员、劳动委员）与选3名同学参加活动”的区别，区分排列与组合的应用场景；尝试解决课本P53第4题（综合应用题）的变式问题：“从5名男生、4名女生中选3人参加演讲比赛，要求至少1名女生且女生不能全部站在一起，有多少种选法？”

2.拓展要求：课后完成上述变式题，用两种方法（直接分类法、间接排除法）求解，对比结果；记录1-2个生活中遇到的排列组合问题（如抽奖号码设计、活动分组），尝试用课本方法解决并记录解题思路；整理课堂笔记中“分组是否有序”“限制条件处理”等易错点，制作“排列组合应用题解题步骤”卡片（①明确是否有序；②判断分类或分步；③计算时注意重复或遗漏），下节课前提交，教师将针对共性问题进行答疑指导。反思改进措施（一）教学特色创新

1.结合生活实例，如课本中的选派和抽样问题，让学生直观感受排列组合的