2025-2026学年四川省绵阳市安州区东辰国际学校九年级（上）期末数学试卷(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省绵阳市安州区东辰国际学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列事件中，是必然事件的是（）A.掷一次骰子，向上一面的点数是6

B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月

C.射击运动员射击一次，命中靶心

D.打开电视，正在播放《大国工匠》3.在平面直角坐标系中，以（2，1）为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系（）A.与x轴相切 B.与x轴相离 C.与y轴相切 D.与y轴相交4.如图，△ABC是⊙O内接三角形，D是中点，若∠DAC=25°，则∠B的度数为（）A.40°

B.45°

C.50°

D.55°

5.若点A（a,2）与点B（-3，b）关于原点对称，则ab=（）A.8 B. C.9 D.6.如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C.点B为y轴上的一点，连接AB，BC.若△ABC的面积为8，则k的值是（）A.8

B.-8

C.16

D.-167.如图，在△ABC中，AB=AC且AD⊥BC于D，EF垂直平分AC，与BC交于E，与AC交于F，若AB=5，BC=8，则EC的长为（）

A. B. C. D.8.等边三角形ABC的三边分别为a,b,c,且满足方程（a+2b）x2+2cx+（a-b）=0，则方程的两根为（）A.x1=0， B.x1=0， C.x1=1， D.x1=1，9.2025年2月份，我国自主研发的AI软件Deepseek一经发布，便占据各大应用市场下载榜首.据统计，该软件首日在某平台的下载量为40万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了200万次.设这三天的日平均增长率为x.根据题意，可列方程（）A.40（1+x）2=200 B.200（1-x）2=40

C.40+40（1+x）+40（1+x）2=200 D.40+40（1+x）+40（1+2x）=20010.已知二次函数y=x2-2ax+a2-1，当-1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（）A.1或0 B.1或

C.或 D.0或11.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（-1，n），其中n＞0.以下结论正确的是（）

①abc＞0；

②t（at+b）≤a-b（t为任意实数）；

③函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x=1和x=-2处的函数值相等；

④函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；

⑤函数y=ax2+bx+c（a≠0）在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值.A.①②⑤ B.①②③ C.①③⑤ D.②③④⑤12.雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶.美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形OABC，且顶点B的坐标为（0，4），点A在第一象限，∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转60°，旋转第一次得到四边形OA1B1C1（点C1与点A重合），则旋转第2026次得到的点B2026的坐标（）A.（0，-4） B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。13.已知一元二次方程ax2-2x+3=0有两个实数根，则a的取值范围是______．14.⊙O的半径为25cm,AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=40cm,CD=30cm.则AB和CD之间的距离是

.15.如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧.若该等边三角形的边长为30，则这个“莱洛三角形”的周长是

.16.如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为18，则直角梯形ABCE的周长为

.

17.如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为点D，延长OD与半圆O交于点E.若AB=16，∠CAB=30°，则图中阴影部分的面积为

.

18.阅读与思考

下面是小宇收集的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

利用“解析法”解几何问题

笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响深远.1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系.其中核心思想是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的.这种解决问题的方法，我们称之为“解析法”.下面是解析法应用的一个例子：

例题：如图1，在△AOB中，∠AOB=120°，OC是∠AOB的角平分线，OA=7.5，OB=5，用你所学的知识求线段OC的长.

解：如图2，以O为坐标原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.

∵∠AOB=120°，OC是∠AOB的角平分线，

∴∠AOC=∠BOC=60°，

∴∠1=∠2=30°.

∵OA=7.5，OB=5，

∴，BF=5，.

∴，.

设直线AB的函数表达式为y=kx+b.

∴.

解得，

∴.

当x=0时，y=3.

∴线段OC的长为3.

通过这个问题的解答，我们发现用“解析法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的平面直角坐标系.

任务：请用“解析法”解答问题：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC=3BE且BE=CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为

.三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题16分)

（1）解方程：x2-7x-1=0；

（2）如图，网格中最小的正方形的边长为1个单位长度，网格中有一个△ABC，顶点A，B，C均在格点上.

①若△ABC和△A1B1C1关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点A1，B1，C1的坐标.

②将△ABC以A点为中心，顺时针旋转90°，请作出旋转后的图形△A2B2C2，并求出线段AC在旋转过程中扫过的图形的面积.20.(本小题12分)

“强国必须强语，强语助力强国”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为：A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

（1）样本容量为______；“C”等所在扇形的圆心角的度数为______度；

（2）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）；

（3）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率.21.(本小题12分)

已知关于x方程x2+（2m-3）x-m+1=0，其中m是实数．

（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的有两个实数根为：x1，x2，求代数式x12+（3-2m）x2+m的最小值．22.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+3的图象与反比例函数y2=的图象交于N、E两点，直线NE与坐标轴交于A、B两点，过点B做x轴的平行线BC，BC交反比例函数图象于点M，已知点A坐标为（-4，0），=．

（1）求a的值和反比例函数的解析式．

（2）若y1＞y2，直接写出自变量x的取值范围．

（3）若点D在x轴正半轴上，且OD=OA，连接CD，OC，双曲线上是否存在一点P，使得S△COD=S△PAO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23.(本小题12分)

为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p=mx+n,销量q（千克）与x的函数关系式为q=x+12，已知第5天售价为80元/千克，第10天售价为70元/千克.

（1）试确定m,n的值；

（2）假设该农产品的成本为10元/千克，每天直播需支付给平台和人工费用共140元，第x天的销售利润为W元，求第x天的销售利润W元与x之间的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在试销售的30天中，销售利润不低于1180元的共有多少天？24.(本小题12分)

如图，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上.在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD=∠A.

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若AC=CD，BD=2，求AB的长.25.(本小题14分)

如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转90°得到.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点G为抛物线上一动点，连接BG，当点C到直线BG的距离最大时，求△CGB的面积为多少；

（3）当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得△APD是以AD为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】C

11.【答案】A

12.【答案】B

13.【答案】a≤3且a≠0

14.【答案】5cm或35cm

15.【答案】3π

16.【答案】21

17.【答案】π-8

18.【答案】

19.【答案】x1=，x2=

①如图，△A1B1C1即为所求，A1（0，-1），B1（-3，-3），C1的（-1．-3）；

②如图，△A2B2C2，即为所求．

线段AC在旋转过程中扫过的图形的面积==

20.【答案】50；100.8．

21.【答案】（1）证明∵方程x2+（2m-3）x-m+1=0，

∴Δ=（2m-3）2-4（-m+1）

=4m2-12m+9+4m-4

=4m2-8m+5

=4（m-1）2+1≥1，

故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵程x2+（2m-3）x-m+1=0有两个实数根为：x1，x2，

∴x1+x2=3-2m,x1x2=-m+1，

∴x12+（3-2m）x2+m

=x12+（x1+x2）x2+m

=x12+x1x2+x22+m

=（x1+x2）2-x1x2+m

=（3-2m）2-（-m+1）+m

=9-12m+4m2+m-1+m

=4m2-10m+8

=4（m-）2+，

则当m=时，有最小值为：．

22.【答案】解：（1）将点A的坐标代入y1=ax+3得：0=-4a+3，

解得a=，

故一次函数的表达式为y1=x+3①，

令x=0，则y1=3，故点B（0，3）；

在Rt△ABO中，OB=3，OA=4，则BA=5，

而=，则BM=3，

则点M的坐标为（3，3），则点C的纵坐标为3，

将点M的坐标代入y2=并解得k=9，

故反比例函数表达式为y2=②；

（2）联立①②得：=x+3，解得x=2或-6，

故点N、E的横坐标分别为2，-6，

从函数图象看，y1＞y2，自变量x的取值范围是x＞2或x＜-6；

（3）∵OD=OA，则OD=2，

则S△COD=•OD×yC=2×3=3，

设点P的坐标为（，m），

则S△PAO=•AO•|m|=×4×|m|=3，

解得m=±，

故点P的坐标为（4，）或（-4，-）．

23.【答案】解：（1）把（5，80），（5，80），（10，70）代入p=mx+n得：，

解得，；

（2）W=（p-10）q-140=（-2x+90-10）（x+12）-140=-2x2+56x+820；

W=-2x2+56x+820=-2（x2-28x）+820=-2（x-14）2+1212，

∵-2＜0，

∴抛物线开口向下，又1≤x≤30，

∴当x=14时，W的值最大，最大值为1212元，

即第14天的销售利润最大，最大日销售利润是1212元．

（3）当W=1180时，-2x2+56x+820=1180，整理得x2-28x+180=0，

∴x1=10，x2=18，

∵x是整数，

∴x可取10，11，12，13，14，15，16，17，18，

∴日销售利润不低于1180元的共有9天．

24.【答案】（1）证明：连接OC，则：OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

∵∠BCD=∠A，

∴∠DCB+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O的半径，

∴直线