湖北楚天协作体2026届高三下学期二模数学试题（含解析）

高三数学一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果集合A=x ax2−4xA.0或4B.4C.0或-4D.02.已知向量a,b不共线，若AB=λ1a+b,AC=a+λ2A.-1B.1C.-2D.23.为了研究物理成绩y与数学成绩x之间的关系,随机抽取100名学生的成绩,用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=0.8x+12.5,则样本点A.-10.5B.10.5C.9.5D.-9.54.已知三条不同的直线l,m,n和两个不同的平面A.若m⊥l,n⊥l,则m//nC.若l//α,l∥β,则α//β5.已知α、β均为锐角,sinα=2A.7210B.−5136.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=16,点M−2,0.点P在直线2x+y+10=0上运动,过点PA.2B.3C.4D.57.已知数列an是各项均为正数的等差数列,且公差d>0;数列bn是各项均为正数的等比数列,且公比q>1,若项数均为2n−①数据a1，a2，a3，…，a2n−1②数据b1，b2，b3，…，b2n−1③若a1=b1,a2n−1=b2n−1④若a1=b1,a2n−1=b2n−1A.1B.2C.3D.48.关于x的方程2lnax+b2=4A.[e,+∞)B.e2,+∞C.[二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知复数z=b−a+b+A.若z=2−i,则a−b=−3B.C.若z∈R,则a=1D.若z=1,则10.春节假期过后,车主小张选择去该市新开的A,B两家共享自助洗车店洗车.已知小张第一次去A,B两家洗车店洗车的概率分别为35和25，如果小张第一次去A洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为12;如果小张第一次去B洗车店,那么第二次去AA.小张第一次去B洗车店,第二次也去B洗车店的概率为2B.小张第二次去B洗车店的概率比第二次去A洗车店的概率小C.若小张第二次去了A洗车店,则他第一次去A洗车店的概率为5D.若小张第二次去了B洗车店,则他第一次去A洗车店的概率为1511.已知抛物线C:y2=mx的准线方程为2x+1=0.过点0,−1且斜率为k的直线l与C交于A,B两个不同的点，O为坐标原点.过点A作A.曲线C的方程是yB.k的取值范围为−C.若k>m,则OA⋅OBD.线段AD的中点在一条定直线上三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火.现有5个不同造型的“LABUBU”.把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_____种不同的装法.13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a214.在平面中,e1和e2是互相垂直的单位向量,向量m满足m+3e1+m−3e1=4四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查,统计并得到如下列联表:甲地使用者乙地使用者合计不满意10050150满意200150350合计300200500(1)根据小概率值α=0.01(2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研,记4人中乙地人数为X,求X的分布列和数学期望.附录:K2P0.150.10.050.0250.010.001k2.0722.7063.8415.0246.63510.82816.如图:正八面体E−ABCD(1)证明:平面EAD//平面FCB(2)若AB=2，点P为棱EB上的动点，则直线AP与平面FAD17.已知数列an的前n项和为Sn,若对任意n∈N∗,向量pn=4,−2n−1,qn=Sn,an，(1)求数列an(2)若Tn−Sn>λn对任意n18.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线的倾斜角为π3(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明:点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；(3)已知C的左顶点A和右焦点F，直线AM与直线l:x=12相交于点N.试问是否存在常数λ,使得∠AFM=λ19.已知函数fx(1)当a=1时，讨论fx的图象与直线(2)对任意的x∈0,+∞，fx≤1(3)证明:n+1.C集合A=表示关于x的方程ax2当a=0时,解得x=−14当a≠0时,Δ=−42此时A=−综上可得a=0或2.B若A,B则存在实数k满足AB=kAC,即又因为向量a,b不共线,所以因此λ13.Ax=80时的预测值x=80样本点80,66的残差为4.B对于A,若m⊥l,n⊥l,则m对于B,若l//α,l⊥β,则α对于C,当α∩β=k时,若l//k,可以满足l//α,l对于D,若l//m,m⊂α,也可能满足l5.D因为α,β为锐角,所以所以−π2<α−因为sinα=255因为sinα−β=−10则sin=所以cosβ∴tanα6.A如图,设Px0,y0根据圆的切线性质知,以OP为直径的圆与圆O交于A、B即线段AB为两圆的公共弦.而以OP为直径的圆的圆心为x02,y0所以其方程为x−x022与圆O的方程x2+y2=16作差得直线将y0=−2x0−10代入得因为上式对x0∈R恒成立,令x−2y所以直线AB恒过定点N−165,−85,所以点M到直线所以点M到直线AB的距离的最大值为MN=7.C对于①选项，设an的前n项和为Sn，S2n−1=a1+a2n−对于②选项，当n=2时，取bn为2,4,8，平均数为对于③选项，a1，a2，a3，…，a2n−1的中位数是an，b1，b2，b3，…，b对于④选项，易知点k,ak在直线y=dx+a1−d上，点k,b由图可知,当2≤k≤2n−所以数列an的前2n−1项和大于数列bn的前所以数列an的前2n−1项的平均数比bn的前8.B由关于x的方程2lnax+b2=4x2+设方程lnax+b2=x2+1得到ax0+b2设点Pa,b，则点P在直线点O0,0到直线x0x设t=x02+14≥1当12≤t<1时,f′t<0函数ft在区间12,1上单调递减,在区间因此ftmin=f1当t=1时,x0=±32,由32a+由−32a+b2−e=0a2+b2=e29.AD因为z=对于A,若z=2−i,则b=2,a=−1对于B,若z为纯虚数,则b=0且a≠0,所以b=0是z对于C,若z∈R,则a=0,所以对于D,若z=1,则a2+b2=1,即a2+b2=1,令a=cosθ,b10.BCD记小张第i次去A洗车店为Ai，第i次去B洗车店为Bi则PA选项A:PB1B2选项B:PBP所以小张第二次去B洗车店的概率比第二次去A洗车店的概率小,故B正确.选项C:PA1∣A2=PA1A2P11.ACD根据题意可知准线方程为2x+1=0,即C的准线方程为x=−12,所以−p2则抛物线C的方程为:y2=2x,故依题意得直线l的方程为y=当k=0当k≠0时,代入y2=2x则Δ=4k+12−4k2=8k+4所以k的取值范围是−12,0∪0设Ax1,y1所以OA⋅代入可得:1+若k>m,即k>2所以1k即OA⋅OB的取值范围是−34,0因为直线OB的方程为y=y2x2x,所以点设线段AD的中点为Nx0,y0则x=所以点Nx0,y0在直线x+y=0上,故线段12.150把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内,每盒至少装一个,分组方式有两种:按1，1，3分组:先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组，组数C53=C52=A52剩下的3个中选2个为一组,最后1个为一组(消除重复分组),组数C52⋅C32 A故装法总数10+13.2在△ABC中，由余弦定理，a2=b2+可得c2−2bccosA方法一:由(*)得c=b1+2cosA,设△ABC为锐角三角形,则0即0<而a2代入cosB=得cos=b2同理可得cos需满足cosC>0,即−4t结合0<t<1由a2可得a2即a=b21+令ft=1+2t21+t,t∈0,2故ca的取值范围是2方法二:由∗和正弦定理,可得sinC因sinC代入整理得,sinAcosB−cosA因0<A,B<π,则A即A=2B,则C=π−则sin=2于是,由正弦定理,ca=sinCsinA=3sinB−4sin3B2sinBcosB=3−41−cos2B2cosB=2cosB−14cosB,因△14.-4因e1和e2是互相垂直的单位向量,则可建立分别以e1和e2为则e1=1,0由m+3e1+此式表示动点Px,y到两点F1−3,又PF所以P点轨迹是以F1−3,0所以P点的轨迹方程为x2设n=x′,y′,由表示动点Qx′,y′的轨迹是以所以动点Q的轨迹方程为x′故可设OP=则m⋅n=OP因为sinα+φ≥−1又4cos因sinβ∈−1,1,则当sinβ所以m⋅n≥−4由2cosαcosβ+sinαsinβ−所以OP=0,1,OQ所以m⋅n15.(1)零假设H0为:使用者的满意度与区域无关，代入2×K根据小概率值α=0.01的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0(2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为2:则9名使用者中甲地6人、乙地3人.因为4人中乙地人数为X,所以X的可能取值为0,1,2,3,其对应的概率分别为:PPX的分布列为:X0123P542105141故数学期望为EX16.(1)连接AC、BD、EF交于点O,则A、E、C、F所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形,所以AE//FC,又AE⊂平面EAD,FC⊄平面EAD,所以FC//DE⊂平面EAD,FB⊄平面EAD,所以FB//FB//平面EAD,FC//平面EAD,又FB、FC在平面所以平面EAD//平面FCB(2)根据正八面体结构，以点O为原点，OA、OB、OE为则A2所以DA=设平面FAD的一个法向量为n=x,y,z所以n⋅DA=0n⋅FA=0,即2所以平面FAD的一个法向量为n=因为点P为棱EB上的动点,所以设BP则AP=设直线AP与平面FAD所成的角为θ,sin又0≤当λ=12时，sinθmax=223，当故直线AP与平面FAD所成角的正弦值的范围6317.1(2)−∞,(1)因为pn⋅qn=当n=1时,又S1=a1当n≥2时,由①-②整理得:4a整理得an由累乘法得:an代入比值:an当n=1时,a所以数列an的通项公式为a(2)当n为偶数时，T===S所以Tn−Sn=由Tn−Sn>n是偶数,当n=2时,n+32有最小值7当n为奇数时,n+1T所以Tn−由Tn−Sn>又fx=x+12x所以当n=1时,fn=n+1综上,实数λ的取值范围是−∞,18.(1)由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为π3,有ba=tanπ3又由点T在双曲线C上,有4a代入b=3a，有4a2−93a2故双曲线的标准方程为x2(2)设点M的坐标为x0,y0，则x0双曲线的两条渐近线l1,l2则点M到两条渐近线的距离分别为d1则d1所以点M到双曲线C