第1章 整式的乘除易错题（14考点40题）（教师版）-北师大版(2024)七下

第一章整式的乘除易错题

一．科学记数法—表示较小的数（共2小题）1．中国是世界上稀土资源最丰富的国家，素有“稀土王国”之称．镧是一种重要的稀土金属，在地壳中的含量约为0.00183%，其化合物常用来制作光学玻璃、高温超导体等．数据0.00183用科学记数法可表示为（）A．1.83×10﹣3 B．0.183×10﹣2 C．1.83×10﹣4 D．0.183×10﹣3【答案】A【解答】解：0.00183＝1.83×10﹣3．故选：A．2．截至4月2日，全球累计确诊新冠肺炎病例约1.3亿例．我们切不可掉以轻心，要做好日常防护．科学研究表明，导致新冠肺炎的新冠病毒比细菌小很多，平均直径仅为0.000000098m．这个数用科学记数法表示为（）A．0.98×10﹣7 B．9.8×10﹣8 C．98×10﹣8 D．9.8×10﹣9【答案】B【解答】解：0.000000098m＝9.8×10﹣8m．故选：B．二．同底数幂的乘法（共1小题）3．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）．例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8．（1）若f（2）＝5，①填空：f（6）＝125；②当f（2n）＝25，求n的值；（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵f（2）＝5，∴f（6）＝f（2+2+2）＝f（2）•f（2）•f（2）＝5×5×5＝125；故答案为：125；②解法一：∵25＝5×5＝f（2）•f（2）＝f（2+2），∵f（2n）＝25，∴f（2n）＝f（2+2），∴2n＝4，∴n＝2；解法二：f（2n）=f＝[f（2）]n＝5n，∵f（2n）＝25，∴5n＝25，解得：n＝2；（2）∵f（2a）＝f（a+a）＝f（a）•f（a）＝3×3＝31+1＝32，f（3a）＝f（a+a+a）＝f（a）•f（a）•f（a）＝3×3×3＝31+1+1＝33，…，f（10a）＝310，∴f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）＝3×32×33×…×310＝31+2+3+…+10＝355．三．幂的乘方与积的乘方（共2小题）4．已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b，c大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a【答案】B【解答】解：a＝212＝84，b＝38＝94，∵9＞8＞7，∴94＞84＞74，∴b＞a＞c，故选：B．5．阅读探究题：比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：25＞23，55＞45．在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325．解：2710＝（33）10＝330，∵30＞25，∴330＞325．（1）8x＝218，求x的值．（2）[类比解答]比较254，1253的大小．（3）[拓展拔高]比较3555，4444，5333的大小．【答案】（1）6；（2）254＜1253；（3）5333＜3555＜4444．【解答】解：（1）8x＝（23）x＝218，即：23x＝218，∴3x＝18，∴x＝6；（2）254＝（52）4＝58，1253＝（53）3＝59，∵8＜9，∴58＜59，即：254＜1253；（3）3555＝（35）111＝243111，4444＝（44）111＝256111，5333＝（53）111＝125111，∵125＜243＜256，∴125111＜243111＜256111；∴5333＜3555＜4444．四．同底数幂的除法（共3小题）6．下列式子运算正确的是（）A．x5÷x5＝0 B．x2•x3＝x6 C．（2x）2＝4x2 D．（x3）4＝x7【答案】C【解答】解：A、x5÷x5＝1，故A不符合题意；B、x2•x3＝x5，故B不符合题意；C、（2x）2＝4x2，故C符合题意；D、（x3）4＝x12，故D不符合题意；故选：C．7．若10a＝3，10b＝2，则10a﹣b＝32【答案】见试题解答内容【解答】解：当10a＝3，10b＝2时，10a﹣b=1故答案为：328．若ax＝3，ay＝5，则代数式a3x﹣y的值为275【答案】275【解答】解：∵ax＝3，ay＝5，∴a3x﹣y=(故答案为：275五．多项式乘多项式（共8小题）9．关于x的代数式（3﹣ax）（3+2x）的化简结果中不含x的一次项，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：原式＝9+6x﹣3ax﹣2ax2＝﹣2ax2+（6﹣3a）x+9，由结果不含x的一次项，得到6﹣3a＝0，解得：a＝2．故选：B．10．如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（）A．6ab﹣3a+4b B．4ab﹣3a﹣2 C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2【答案】B【解答】解：剩余部分面积：（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4）＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b＝4ab﹣3a﹣2；故选：B．11．根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（）A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2 B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2 C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2 D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2【答案】A【解答】解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，故选：A．12．若（2x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【解答】解：（2x﹣m）（x+1）＝2x2+2x﹣mx﹣m＝2x2+（2﹣m）x﹣m，∵结果中不含x的一次项，∴2﹣m＝0，解得：m＝2．故选：A．13．若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．9【答案】A【解答】解：∵x+y＝2，xy＝﹣1，∴（1﹣2x）（1﹣2y）＝1﹣2y﹣2x+4xy＝1﹣2（x+y）+4xy＝1﹣2×2﹣4＝﹣7；故选：A．14．如果（x﹣1）（x+2）＝x2+mx﹣2，则m的值是1．【答案】1．【解答】解：（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2．∵（x﹣1）（x+2）＝x2+mx﹣2，∴x2+x﹣2＝x2+mx﹣2．∴m＝1．故答案为：1．15．计算：（1）2m3n•（﹣3mn2）2；（2）（a﹣b）（x+y）+（b﹣a）（x﹣y）．【答案】（1）18m5n5；（2）2ay﹣2by．【解答】解：（1）2m3n•（﹣3mn2）2；＝2m3n•9m2n4＝18m5n5；（2）（a﹣b）（x+y）+（b﹣a）（x﹣y）＝ax+ay﹣bx﹣by+bx﹣by﹣ax+ay＝2ay﹣2by．16．某区有一块长为（6a+2b）m，宽为（4a+2b）m的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，如图所示，空白的A、B正方形地块将修建两个凉亭，两正方形区域的边长均为（a+b）m．（1）用含有a、b的式子表示绿化总面积（结果写成最简形式）；（2）当a＝2，b＝3时，绿化成本为150元/m2，则完成绿化工程共需要多少元？【答案】（1）（22a2+16ab+2b2）m2；（2）完成绿化工程共需要30300元．【解答】解：（1）由题意得：长方形地块的面积＝（6a+2b）（4a+2b）＝（24a2+20ab+4b2）（m2），A、B正方形凉亭的面积和为：2（a+b）2＝（2a2+4ab+2b2）（m2），则绿化面积S＝（24a2+20ab+4b2）﹣（2a2+4ab+2b2）＝（22a2+16ab+2b2）（m2）；（2）∵a＝2，b＝3，∴绿化总面积S＝22a2+16ab+2b2＝22×22+16×2×3+2×32＝202（m2），∴完成绿化工程共需钱数为150×202＝30300（元）．答：完成绿化工程共需要30300元．六．完全平方公式（共4小题）17．下列计算正确的是（）A．（a﹣1）2＝a2﹣1 B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6【答案】D【解答】解：A、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故A不符合题意；B、（﹣a3b）2＝a6b2，故B不符合题意；C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意；D、（a2）3＝a6，故D符合题意；故选：D．18．下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．5a2b﹣2a2b＝3 C．x6÷x2＝x3 D．（2x2）3＝8x6【答案】D【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、5a2b﹣2a2b＝3a2b，原计算错误，故此选项不符合题意；C、x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（2x2）3＝8x6，原计算正确，故此选项符合题意．故选：D．19．已知（x+y）2＝49，（x﹣y）2＝25，则xy＝（）A．﹣6 B．6 C．12 D．24【答案】B【解答】解：因为（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy＝49﹣25＝24，所以xy＝6，故选：B．20．若x+y＝1，则x2+2xy+y2＝1．【答案】1．【解答】解：∵x+y＝1，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝1，故答案为：1．七．完全平方公式的几何背景（共5小题）21．阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知a+b＝6，ab＝8，求a2+b2的值．”可以这样解：将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2变形得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×8＝20．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形BHEC周长为16，S长方形BHEC＝15，则S正方形ABCD+S正方形CEFG的值是（）A．34 B．31 C．64 D．94【答案】A【解答】解：∵长方形BHEC周长为16，S长方形BHEC＝15，∴2（a+b）＝16，ab＝15，∴a+b＝8，∴S正方形ABCD+S正方形CEFG＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×15＝64﹣30＝34，故选：A．22．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到a（a+b）＝a2+ab，那么利用图2所得到的数学等式是（）A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c【答案】B【解答】解：如图，从整体上看，大正方形的边长为（a+b+c），因此面积为（a+b+c）2；从各个部分看，整体的面积等于各个部分的面积和，即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故选：B．23．在一个面积为36cm2正方形纸板中剪下边长为acm大正方形和边长为bcm的小正方形（如图1），再在大正方形沿一个顶点剪下一个边长为bcm的小正方形（如图2），得到一个周长为16cm的六边形ABCDEF，则原大正方形中剩下的两个长方形的面积和为16cm2．【答案】16．【解答】解：由题意得(a解得a=4b=2∴原大正方形中剩下的两个长方形的面积和为：4×2×2＝16，故答案为：16．24．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．【答案】（1）12；（2）17；（3）92【解答】解：（1）∵x+y＝8，∴（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64，又∵x2+y2＝40，∴2xy＝64﹣40，∴xy＝12，答：xy的值为12；（2）设m＝4﹣x，n＝x﹣5，则m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，∴（4﹣x）2+（x﹣5）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）＝1+16＝17；（3）设AE＝a，FG＝b，则AB＝6＝a+b，由题意可知S1+S2＝a2+b2＝18，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴36＝18+2ab，∴ab＝9，∴阴影部分的面积为12ab=答：阴影部分的面积为9225．阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，且a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，所以（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2x160＝80．解决问题：（1）若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2，求（50﹣x）2+（x﹣40）2＝96；（2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2020）2＝2000，求（x﹣2022）（x﹣2020）的值．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC：CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为50平方单位，则图中阴影部分的面积和为116平方单位．【答案】（1）96；（2）998；（3）116．【解答】解：（1）设50﹣x＝m，x﹣40＝n，则m+n＝10，mn＝（50﹣x）（x﹣40）＝2，∴（50﹣x）2+（x﹣40）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝100﹣4＝96，故答案为：96；（2）设x﹣2022＝p，x﹣2020＝q，则p﹣q＝﹣2，p2+q2＝（x﹣2022）2+（x﹣2020）2＝2000，∵（p﹣q）2＝p2+q2﹣2pq，∴pq==2000-4＝998，即（x﹣2022）（x﹣2020）＝998；（3）由题意可得，FC＝10﹣x，EC＝6﹣x，则（10﹣x）（6﹣x）＝50，设10﹣x＝m，6﹣x＝n，则m﹣n＝4，mn＝（10﹣x）（6﹣x）＝50，∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，即16＝m2+n2﹣100，∴m2+n2＝116，即阴影部分的面积为116平方单位，故答案为：116．八．完全平方式（共5小题）26．如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（）A．8 B．4 C．±4 D．±8【答案】D【解答】解：∵x2±8x+16＝（x±4）2，x2+mx+16是完全平方式，∴m＝±8；故选：D．27．如图，4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（）A．a＝3b B．a＝2b C．2a＝5b D．2a＝3b【答案】B【解答】解：S1=12b（a+b）×2+12ab×2+（a﹣b）2＝a2S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，∵S1＝2S2，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b．故选：B．28．若x2+（m﹣2）x+16是一个完全平方式，则m的值是（）A．10 B．﹣10 C．﹣6或10 D．10或﹣10【答案】C【解答】解：∵x2+（m﹣2）x+16是一个完全平方式，∴x2+（m﹣2）x+16＝（x+4）2或x2+（m﹣2）x+16＝（x﹣4）2，∴m﹣2＝±8，∴m＝10或﹣6．故选：C．29．如果x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么m的值是25．【答案】25．【解答】解：∵x2﹣10x+m是一个完全平方式，∴m＝25．故答案为：25．30．在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．【发现】（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．【应用】（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．②如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①12；②8．【解答】解：（1）由图2可知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①∵a+b＝7，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∵a2+b2＝25，∴2ab＝24，∴ab＝12；②由（1）知，[（8﹣x）+（x﹣2）]2＝（8﹣x）2+2（8﹣x）（x﹣2）+（x﹣2）2＝36，∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，∴2（8﹣x）（x﹣2）＝16，∴（8﹣x）（x﹣2）＝8，故这个长方形的面积为8．九．平方差公式（共2小题）31．下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．2a2•3b＝6ab D．（a3）2＝a5【答案】B【解答】解：A、2a与3b不能合并，故A不符合题意；B、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故B符合题意；C、2a2•3b＝6a2b，故C不符合题意；D、（a3）2＝a6，故D不符合题意；故选：B．32．观察下列等式：（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1，（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1，（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4﹣1．（1）根据上面各式的规律，请写出第5个等式：（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1；（2）根据上面各式的规律可得（m﹣1）（mn+mn﹣1+……+m2+m+1）＝mn+1﹣1；（n为正整数，且n≥2）．（3）求22022+22021+…+22+2的值．【答案】（1）（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1；（2）mn+1﹣1；（3）22023﹣2．【解答】解：（1）由所列举的式子的规律可得，第5个等式为（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1，故答案为：（m﹣1）（m5+m4+m3+m2+m+1）＝m6﹣1；（2）由所列举的式子的规律可得，（m﹣1）（mn+mn﹣1+……+m2+m+1）＝mn+1﹣1，故答案为：mn+1﹣1；（3）∵（2﹣1）（22022+22021+…+22+2+1）＝22023﹣1，∴22022+22021+…+22+2+1＝22023﹣1，∴22022+22021+…+22+2＝22023﹣2，答：22022+22021+…+22+2的值为22023﹣2．一十．平方差公式的几何背景（共2小题）33．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【答案】D【解答】解：图1阴影部分的面积等于a2﹣b2，图2梯形的面积是12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b根据两者阴影部分面积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2比较各选项，只有D符合题意故选：D．34．如图的面积关系，可以得到的恒等式是（）A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【答案】B【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2；阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．一十一．整式的除法（共1小题）35．长方形的面积为4a2﹣6ab+2a，若它的一边长为2a，则它的另一边长为（）A．2a﹣3b+1 B．4a2﹣6ab C．4a﹣3b+1 D．2a﹣3b【答案】A【解答】解：由题意得：（4a2﹣6ab+2a）÷2a＝4a2÷2a﹣6ab÷2a+2a÷2a＝2a﹣3b+1，∴它的另一边长为2a﹣3b+1，故选：A．一十二．整式的混合运算（共1小题）36．把形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且m≠n）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③