2025-2026学年四川省泸州市三校联盟高二上学期第一次联合考试数学试题（含答案）

泸州市三校联盟2025年高二上学期第一次联合考试数学试题本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷第1至2页，第II卷第3至4页，满分150分，考试时间共120分钟。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑。3．填空题和解答题的作答：请用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（）A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数3．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（）A． B． C． D．4．若圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（）A． B． C． D．5．下列说法正确的是（）A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5B．按比例进行分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大C．若，，…，的方差为4，则，，，…，的方差是16D．若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数6．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法错误的是（）A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元7．如图，在斜四棱柱中，，，，则（）A． B． C． D．8．定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（）A． B．4 C． D．二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列命题中正确的是（）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有B．若向量，，满足，则C．空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若（其中，，，且），则P，A，B，C四点共面10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（）A．存在点P，使得平面B．当P为中点时，过E，F，P三点的平面截正方体所得截面图形的面积为C．三棱锥的体积为D．当P在棱上时，若为，三棱锥外接球表面积为第II卷（非选择题，共92分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。（2）本部分共8个小题，共92分。三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。12．已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为_______________．13．某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为_______________．14．已知正三棱柱的底面边长为2，是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是_______________．四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的周长为，求△ABC的面积．16．（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，，，平面．（1）求证：；（2）若，直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．17．（本小题满分15分）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数；（2）若样本中年龄在［0，10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50，60）的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差；（3）为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40，50），［50，60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40，50）的概率．18．（本小题满分17分）某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响．（1）若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为．①求，的值；②在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率．（2）记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率，若，试比较与的大小．19．（本小题满分17分）如图所示，在直角梯形中，，，，分别是，上的点，且，，（），，将四边形沿向上翻折，连接，，，在翻折的过程中，设（），记几何体的体积为．（1）求证：平面；（2）若平面平面．①求证：；②当取得最大值时，求的值．泸州市三校联盟2025年高二上学期第一次联合考试数学试题参考答案一、选择题：本大题共11个小题，第1～8题每小题5分，第9～11题每小题6分，共58分。题号1234567891011答案BDCDCBAAADACDABD二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。12．（1，0） 13．0.58（或） 14．［1，+∞）三、解答题：本大题共5个小题，共77分。15．（本小题满分13分）解：（1）由正弦定理可得：，即：，因为，所以，由得：．（2）因为，的周长为，所以，由余弦定理可得：，所以，即的面积：．16．（本小题满分15分）解：（1）因为，，且，所以四边形为菱形，则,又因为平面，平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以．（2）（方法一）因为平面，所以直线与平面所成的角为，即，因为平面，平面，则，则，令，由四边形为菱形，，则是边长为的等边三角形，所以，，，，因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，则，，设平面的法向量，则，取，则，，故，易知平面的一个法向量为，，故平面与平面的夹角余弦值为．（方法二）因为平面，所以直线与平面所成的角为，即，因为平面，平面，则，则，令，由四边形为菱形，，则是边长为的等边三角形，所以，，，，所以，，取中点，连接、，等腰直角中，且，由勾股定理得，因为，则，且，因为，，平面平面，所以平面与平面的夹角即，在中，，，，则，即，，故平面与平面的夹角余弦值为．17．（本小题满分15分）解：（1）由题意可得，解得，由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为，所以第85百分位数在区间内，设第85百分位数为，则，解得，所以第85百分位数为．（2）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为，所以，．（3）由频率分布直方图可知年龄为，的两组观众频率之比为：，所以按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人；记的四名学生编号为1、2、3、4，记的一名学生编号为5，则选出两名学生的可能结果为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种；设事件“抽到的两名学生的年龄都来自”，则事件包含的样本点有12，13，14，23，24，34，共6种，所以两名学生的年龄均在的概率．18．（本小题满分17分）解：（1）由题意得，解得，．（2）比赛结束后，甲、乙个人得分可能为0，2，3，5，记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，，相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，则，且，，彼此互斥，易得，，，，所以，所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为．（3）记甲得分为分的事件为，乙得分为分的事件为，、、、两两互斥，则，，，因为，，，所以，当且仅当时取等号，所以，即．19．（本小题满分17分）解：（1）证明：根据题意可知，，因为平面，平面，所以平面，同理，因为平面，平面，所以平面，又因为是平面内的两条相交直线，所以平面平面，因为平面，所以平面．（2）①证明：过点作交于点，因为平面平面，平面平面，所以平面．又因为平面，则；根据题意，平面图形翻折后，，且是平面内两条相交直线，所以平面，又，得平面．又平面，则，因为是平面内两条相交直线，所以平面，因为平面，所以．②方法一：直角梯形中，，，且，由①可知平面，由（1）可知由题意平面平面，所以到底面的距离为，在中，设点到的高，即，因为平面，所以，因为，所以平面，设点到底面的高为，在中，根据三角形的面积公式，∴；几何体的体积为；取的中点，连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，所以平面，又因为平面，所以，在中，，在中，，在中，，∴，化简得到，因为，所以，当且仅当时等号成立，故当取得最大值时，即取得最小值，