【闭区间上连续函数的性质推广研究6000字（论文）】

闭区间上连续函数的性质推广研究 12连续函数的相关定义及基本性质 22.1相关定义 22.2闭区间上连续函数的性质 3 43.1开区间上的连续函数的性质 43.2无穷区间下的连续函数的性质 84总结 一个重要概念，对之后微积分、级数等的学习有着比较重要的作用.本文首先介后再对推广的结果进行了分析.关键词：连续函数；函数极限；开区间；无穷区间创新思维能力.而函数满足连续的条件相对来说比较苛刻，这样就必须在某些特的性质有更深的理解.文章中以连续函数的定义为基础，在阐述闭区间上连续函数性质的同时，进一步尝试去探讨除闭区间以外条件下的连续函数是否也具有类似的性质，它们还需要一些什么附加条件.所以，研究闭区间上连续函数性质的推广具备了很大的实用意义.2.1相关定义设函数f(x)在某个点x。的邻域U(x₀)内有定义，假设存在常数A,对于任|f(x)-A|<ε成立，那么这个常数A就叫做f(x)在满足x→x。时的极限1,记作设函数f(x)在点x₀的某个邻域U(x₀)内有定义，若则称f(x)在点x₀处连续11.若函数f(x)在区间I上的每一点都连续，那么就称f(x)为I上的连续函数.2.1.3一致连续性δ=δ(ε)>0,使得在区间I上的任意两点x′和x”,当满足|x-x”|<δ时，有则该函数在区间I上一致连续11.一致连续性定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)在区间性质1有界性若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，性质2最值性有性质3介值性f(b)之间的任意实数(即满足条件f(a)<μ<f(b)或f(a)>μ>f(b)),那么至f(x₀)=μ1根的存在定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，如果f(a)与f(b)异号(即f(ξ)=01.3闭区间上连续函数的性质推广采用了个别例题来进行进一步的阐释.在证明中则采用了定义或是将闭区间连续开拓的方法，进而验证了性质的成立.推广1若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，并且有证明由题干可知：因为f(x)在(a,b)内连续，而它的左极限和右极限存在且有限，并且满足f(a+)=A,f(b-)=B,则由连续函数的局部性质可知，存上有界.又因为f(x)在区间[a+δ,b-δ]上连续，由性质1可知，函数f(x)在(a,b)上有界[21.例1设函数f(x)在开区间(a,b)上连续，满足条件f(a+0)与f(b-0),并且它们均为有限值，证明函数f(x)在(a,b)上有界.证明首先作辅助函数[a,b]上有界，即F(x)在开区间(a,b)上也有界，故f(x)在(a,b)上有界.推广2若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，并且满足条件(1)若存在x₀∈(a,b),使得f(x₀)>max{A,B},那么f(x)在(a,b)内能取(1)不妨令f(a+)=A,f(b-)=B,由于f(x)>f(a+),f(x₀)>f(b⁻),则存在ξ>0,使得f(x)在(a,a+ξ)和(b-ξ,b)上，有f(x)<f(x。)成立.f(x')>f(x。)³.(2)证明过程同(1)方法类似.子就上述推广的性质作一些说明.在(a,b)内能取到最小值.同理，存在δ₂>0,使得当b-δ₂>x≥b时，有间上连续函数的最值定理知，f(x)在区间[a+0,b-δ₂]上有最小值点ξ,即存在ξ∈[a+δ,b-δ₂],对一切x∈[a+δ,b-δ₂]都有f(x)≥f(ξ)(3)推广3如果函数f(x)在开区间(a,b)上连续，满足f(a+)≠f(b-),若C是介证明做辅助函数则f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a+)≠f(b⁻),满足性质3的条件，即至少f(x₀)=C131.证明由推广1可得.证明不妨设f(0)>0,f(1)<1,再令F(x)=f(x)-x,则有F(x)在[0,1]f(x)在开区间(a,b)上一致连续.推广7若函数f(x)在(a,b)内连续，且f(a+0)与f(b-0)存在且有限的充分必要条件是f(x)在(a,b)上一致连续5.证明必要性：因为f(x)在(a,b)内连续，且f(a+0)与f(b-0)存在且有限，令f(a+0)=A,f(b-0)=B,使得f(x)在[a,b]上连续，从而f(x)在[a,b]上一致连续，因此f(x)也是在(a,b)上一致连续特别当x,x”∈(a,a+δ),从而有|x-x”|<δf(b-0)也是存在并有极限5,从而结论成立.上述介绍的推广1到推广7是将闭区间上连续函数的性质推广到开区间上的性质情况，过程中对其进行了简单的证明.在对这些性质的证明中，可以看出赋较严格.接下来则是推广的另一方面，即连续函数在无穷区间下相关性质的部分推广及其例题的证明.3.2无穷区间下的连续函数的性质性质在无穷区间上成立，紧接着采用了个别例题来进行说明.,则函数f(x)在区间(-∞,+∞)内有界[6.推广9若函数f(x)在(a,+0)上连续，且满足,则f(x)在证明由于,取ε=1时，则存在X>a,使得x>X,恒有界.又因为f(x)在[a,X]上连续，所以f(x)在[a,X]上有界，故f(x)在[a,+∞]上有界.在δ,使对满足0<|x-a|<δ的有L-ε<f(x)<L+&,这项性质.推广11假设函数f(x)在[a,+∞]上连续且满足,则f(x)在(2)若存在x₀∈(a,+∞)使得f(x。)≠A成立，不妨设f(x。)=B>A.现取证明设f(x)的最小正周期为T,则由f(x)在闭区间[0,T]上连续，必有最f(n)≤f(x)≤f(ξ)对于任意的x∈(-∞0,+0),存在某个整数K,使x∈[KT,(K+1)T],于是(x-KT)∈[0,T],从而有f(η)≤f(x)=f(x-KT)≤f(ξ),即例4设f(x)在R上连续，,证明f(x)在R上能取到最大值.理则可以得到：存在m,M∈R,使得x∈[-X,X]时，m≤f(x)<M,推广13若函数f(x)在区间(一∞0,+∞)上连续，且满足证明不妨设,则对任意的M>0,存在区当x≤-δ时，有f(x)<-M<0.当x≥δ时，有f(x)>M>0.又因为f(x)在[-δ,8]上连续且有f(-δ)<-M<0,f(δ)>M>0,所以f(-δ)·f(δ)<0.推广14若函数f(x)在区间(-∞,+0)内连续，且f(∞)=A,f(+∞)=B,则对A与B之间的任意数ξ,至少存在一点c,使f(c)=ξ6.且a<b,使得f(a)<ξ,f(b)>ξ.令F(x)=f(x)-ξ,少存在一点c,使f(c)=0,即f(c)=ξ6.若函数f(x)在区间(-∞0,+∞)内连续，并且f(-∞)=-∞o(或+∞),证明与推广11类似.证明已知f(+∞)=A,则有(2)若Vx,x₂∈(b,+o),Vδ>0,当|x-x₂|<δ时，有x₁,x₂∈[a,b+1]或x₁,x₂∈(b,综合(1)(2)(3)知，Vε>0,3δ>0Vx,x₂∈[a,+o]:|x-x₂|<δ有推广16若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，且满足证明因为,由函数的柯西准则可知，对任意的ε>0存在H>0,当于是，对任意的ε>0,存在0<δ<1,对于任意x,x”∈(-∞0,+∞),当|x-x”|<δ或x,x”∈[-H+1,H]或x,x"∈[-∞0,-H]或x,x"∈(H,+∞)时，均有例6证明上一致连续.证明Vx,x₂∈[1,+∞]有出了函数在有限区间上更强的一种连续性.而在无穷区间上，如若函数的极限存在并且有限，紧接着又满足连续的条件，那么,这些给出的函数在无穷区间上也就同样具有了一致连续性.在随后的例子也很好的证明了函数在无穷区间上一致质有着较高的相似点.方法.上述介绍中主要是对闭区间上连续函数的性质进行了拓展，将闭区间拓广证明.数的介值性、最值性、有界性以及一致连续性等一系列性质.在探讨的过程中，适当加入了个别例题来对某些性质进一步的说明.其次，文中对闭区间上的这些性质进行了一个整体推广，不管是在开区间还是无穷区间上都对连续函数的基本性质有了一个较为完整的叙述，并采用了一些直接的方法来验证这些推论.在翻阅相关书籍和文献的基础上，加入了一些贴近于推广的例题，加以阐述，以此来达到验证结论是否成立.[1]华东师范大学数学系.数学分析(第四版)上册[M].北京：高等教育出版社，2010:77-80.[2]张成卓.闭区间上连续函数的性质及其推广[J].课程教育研究，2018,42:124-125.[3]聂锡军.闭区间上连续函数的性质及其推广[J].丹东师专学报，1994,1:20-21.[5]郭玉立.闭区间上连续函数的性质再推广[J].广西民族学院学报，2004:2-4.[7]美.克莱鲍尔(G.Klambauer).MathematicalAnalysis[M].上海科学技术出版社，1981:[9]夏丹.闭区间上