初中七年级数学下册微专题4：坐标系中点的坐标规律探究（人教版）

初中七年级数学下册微专题4：坐标系中点的坐标规律探究（人教版）

一、课标定位与教材分析

（一）【课标要求·权威解读】

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域对平面直角坐标系提出了明确要求：理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。特别强调的是，要通过对点坐标规律的探究，让学生体会数形结合的思想，发展几何直观与推理能力。本微专题正是基于这一要求，将坐标系的“静”与图形变换的“动”深度融合，引导学生从运动变化的视角探究坐标规律，这是从“认识坐标系”向“运用坐标系解决问题”迈进的关键阶梯。

（二）【教材纵横·定位分析】

本微专题位于人教版七年级下册第七章“平面直角坐标系”之后，是对全章知识的深化与升华。从知识体系看，小学阶段学生学习了用数对表示位置，为本节课提供了生活经验的支撑；前一阶段学生学习了坐标系的概念、点的坐标表示、象限特征等基础知识，为本节课提供了知识储备。向后看，本节课所探究的坐标规律，是后续学习函数图像平移、图形变换、向量坐标表示等内容的直接基础，在整个初中数学中起着“承前启后”的纽带作用。本微专题以“规律探究”为主线，将点的平移、对称、旋转等变换整合起来，体现了“图形变化中寻找不变量”的数学思想，这是培养学生数学抽象与逻辑推理的优质载体。

（三）【学情研判·精准把脉】

七年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已经掌握了用坐标表示点位置的基本方法，能够在坐标系中描点、识图，但对于“点的运动如何引起坐标变化”“多步变换后的坐标规律”等问题，往往缺乏系统的探究方法。学生已有的经验是：能够直观感知点的左右移动与横坐标变化、上下移动与纵坐标变化的对应关系；存在的障碍是：当变换叠加（如先平移再对称）、变换逆向（如已知对应点求平移方式）时，思维的条理性与严密性有待加强。此外，学生对“为什么要探究坐标规律”的价值认知不足，需要通过真实问题情境激发内在需求。

二、教学目标与核心素养

（一）【三维整合·素养导向】

【基础】掌握点的平移、对称、旋转等变换引起的坐标变化规律，能够根据变换方式写出变换后点的坐标，反之能够根据对应点坐标确定变换方式。【非常重要】

【核心】经历从具体点的坐标变化中归纳一般规律的过程，体会由特殊到一般、数形结合的思想方法，发展合情推理与演绎推理能力。【重要】

【拓展】能运用坐标规律解决坐标系中的图形变换问题，如求图形面积、判断图形位置关系等，感受数学的内在统一性与简洁美。【高频考点】

（二）【教学重难点·精准聚焦】

【教学重点】点的平移规律：左右平移横坐标左减右加，上下平移纵坐标上加下减；点的对称规律：关于x轴对称横不变纵相反，关于y轴对称纵不变横相反，关于原点对称横纵皆相反。【核心·高频考点】

【教学难点】多步复合变换的坐标确定（如先平移再对称）；逆向运用规律求原坐标或变换方式；在复杂图形背景中抽象出点的变换关系。【难点】

三、教学实施过程

（一）【唤醒经验·引入新课】（约5分钟）

1.情境创设：问题驱动

教师出示问题：“在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1）。如果将它向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A‘，你能快速说出A’的坐标吗？”学生凭借已有经验很快得出答案（5，3）。教师追问：“你是怎样得到的？能否用一句话概括平移与坐标变化的关系？”学生尝试表述，教师顺势揭示课题：今天我们不仅要研究平移，还要研究对称、旋转等变换下的坐标规律，并学会综合运用这些规律解决复杂问题。

2.前置诊断：激活储备

教师通过一组快速抢答题唤醒学生记忆：【基础】

（1）点P（3，-2）到x轴的距离是____，到y轴的距离是____。

（2）点M（-4，5）关于x轴的对称点坐标是____，关于y轴的对称点坐标是____。

（3）点N（-3，-1）在第____象限，它关于原点的对称点在第____象限。

学生独立完成后同桌互批，教师针对错误率较高的问题进行简要点拨，为后续探究扫清障碍。

（二）【合作探究·建构规律】（约20分钟）

1.平移规律：从操作到抽象【非常重要·核心考点】

（1）自主探究：教师下发印有坐标系的网格纸，学生在网格纸上描出点A（1，2）。按照要求操作并记录：

①将点A向右平移2个单位得到点A1，坐标是（，）；

②将点A向左平移3个单位得到点A2，坐标是（，）；

③将点A向上平移4个单位得到点A3，坐标是（，）；

④将点A向下平移5个单位得到点A4，坐标是（，）。

（2）小组交流：学生4人小组交流自己的发现，尝试用规范的语言概括规律。教师巡视指导，引导学生关注“坐标的变化量与平移方向、平移距离的关系”。小组代表汇报，师生共同提炼：

左右平移→横坐标变化，纵坐标不变：向右平移a个单位，横坐标加a；向左平移a个单位，横坐标减a。

上下平移→纵坐标变化，横坐标不变：向上平移b个单位，纵坐标加b；向下平移b个单位，纵坐标减b。

教师板书口诀：“左右横变左减右加，上下纵变上加下减”，并强调“左减右加”是指对横坐标的运算，“上加下减”是指对纵坐标的运算，不能混淆。

（3）深化理解：教师追问：“如果将点A先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，你有哪些方法得到最终坐标？”学生得出两种思路：一是分步操作，逐步计算；二是将平移量合成，直接得到（1+3，2-2）=（4，0）。教师引导学生体会“平移的合成”思想，为后续复合变换奠定基础。

1.对称规律：从直观到推理【重要·高频考点】

（1）任务驱动：教师在坐标系中展示点B（-3，4），要求学生：

①画出点B关于x轴的对称点B1，并写出坐标；

②画出点B关于y轴的对称点B2，并写出坐标；

③画出点B关于原点的对称点B3，并写出坐标。

（2）对比发现：学生独立完成后，教师选取典型作品投影展示。引导学生观察：B与B1的坐标有什么关系？B与B2呢？B与B3呢？小组讨论后形成共识：

关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数。

关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相同。

关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数。

教师补充板书口诀：“关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称，横纵皆变号”。

（3）思维进阶：教师追问：“点B关于直线x=1对称的点坐标是多少？关于直线y=-2对称呢？”这是一个挑战性问题，留给学有余力的学生课后思考，为下一课时预留伏笔。

1.旋转特殊角规律【拓展·难点铺垫】

（1）观察猜想：教师出示点C（2，0），绕原点顺时针旋转90°得到点C1，学生观察发现C1坐标为（0，-2）；再将点C绕原点逆时针旋转90°得到点C2，坐标为（0，2）。教师引导学生猜想：若点P（a，b）绕原点顺时针旋转90°，坐标如何变化？

（2）操作验证：学生在网格纸上取点D（3，2），分别绕原点顺时针、逆时针旋转90°，记录坐标变化，验证猜想。教师不要求全体掌握，但引导有兴趣的学生总结规律（顺时针：横变纵，纵变横且变号；逆时针：横变纵的相反数，纵变横），为后续学习图形的旋转奠定感性基础。

（三）【典例剖析·内化规律】（约10分钟）

1.【基础应用·规范表达】

例题1：已知点A（-2，3），完成下列变换，写出各步变换后点的坐标：

（1）向右平移4个单位得到A1；

（2）将A1向下平移5个单位得到A2；

（3）将A2关于y轴对称得到A3；

（4）将A3关于原点对称得到A4。

学生独立完成，指定一名学生板演，其余学生在本上完成。教师巡视，重点关注学生对“左减右加”“上加下减”的运用是否准确，对称时“谁不变谁变号”的理解是否到位。板演结束后，师生共同评议，强调书写规范：分步书写，清晰标注每一步的变换依据。

2.【逆向思维·灵活运用】

例题2：在平面直角坐标系中，将点P进行如下变换：先向右平移2个单位，再关于x轴对称，得到点Q（3，-1）。求点P的坐标。

【难点突破】教师引导学生逆向思考：“从Q倒推回P，应该进行怎样的逆变换？”学生讨论得出：逆推时，变换顺序要反过来，变换方式要取逆。即：由Q关于x轴对称得到前一步的点R，坐标为（3，1）；再将R向左平移2个单位得到P，坐标为（1，1）。教师强调“逆推顺序相反、运算相反”的原则，并通过数轴演示帮助学生直观理解。

3.【综合应用·数形结合】

例题3：如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）。将三角形ABC先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到三角形A‘B’C‘。

（1）画出三角形A’B‘C’；

（2）写出A‘、B’、C‘的坐标；

（3）求三角形ABC的面积。

【高频考点】本题将点的变换与图形变换、面积计算融为一体。第（1）问要求学生动手画图，感受图形整体的平移；第（2）问直接运用平移规律；第（3）问回顾面积求法（割补法或公式法），体现知识的综合运用。教师引导学生发现：图形平移时，各个顶点按照相同方式平移，因此只需研究关键点的坐标变化即可。

（四）【变式拓展·思维进阶】（约8分钟）

1.一题多变：梯度训练

教师以点P（-1，2）为例，设计一组变式题，层层递进：

变式1：将点P向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到点Q，求Q坐标。

变式2：将点P先关于x轴对称，再向右平移2个单位，得到点R，求R坐标。

变式3：点S与点P关于y轴对称，将S向下平移5个单位得到T，求T坐标。

变式4：将点P绕原点顺时针旋转90°得到U，将U向左平移1个单位得到V，求V坐标。

学生以小组竞赛形式抢答，教师适时追问“你是先算平移还是先算对称？为什么？”引导学生总结：有括号时按括号顺序，无括号时按从左到右顺序，但要注意对称变换会改变点的位置，从而影响后续平移的基准。

2.规律应用：解决实际问题

教师呈现真实情境：某城市地图采用网格坐标系，已知学校坐标为（2，3），医院在学校正东方向400米处（每个单位长度表示100米），图书馆在医院正南方向300米处，公园在图书馆关于东西方向街道的对称点处。请建立适当的坐标系，标出学校、医院、图书馆、公园的位置，并写出公园的坐标。

【跨学科视野】本题将坐标系与地理方位结合，培养学生的应用意识。学生先确定单位长度代表的实际距离，再根据方位描述确定平移方向与距离，最后利用对称规律求公园坐标。教师引导学生回顾整个过程，体会“数学建模”的步骤：实际问题→数学抽象→规律运用→解决问题。

（五）【总结提炼·拓展延伸】（约2分钟）

1.知识梳理：师生共同回顾本节课探究的坐标规律，教师板书核心内容：【非常重要】

（1）平移规律：左右平移横坐标左减右加，上下平移纵坐标上加下减。

（2）对称规律：关于x轴对称横同纵反，关于y轴对称横反纵同，关于原点对称横纵皆反。

（3）复合变换：按顺序分步计算，逆向变换顺序相反、运算相反。

2.思想提炼：教师引导学生反思“我们是怎样发现这些规律的？”学生回答“通过画图观察、比较归纳”。教师点明：这就是“数形结合”与“由特殊到一般”的思想方法，也是数学研究的基本方法。当我们遇到新的变换问题时，依然可以用这样的思路去探究。

3.拓展延伸：教师提出思考题：“如果点先平移再旋转，和先旋转再平移，结果一样吗？请举例说明。”激发学生课后继续探究的兴趣，为下一课时“图形的复合变换”埋下伏笔。

四、设计思路与教学反思

（一）【设计理念·素养立意】

本微专题设计秉持“少教多学、共生课堂”的理念，以学生为主体，以问题为主线，以探究为手段。从生活情境引入，激发兴趣；通过自主操作、小组交流，让学生在“做数学”中发现规律；通过变式训练、综合应用，让学生在“用数学”中深化理解；通过思想提炼、拓展延伸，让学生在“悟数学”中提升素养。整个设计突出“数形结合”核心思想的渗透，将坐标系的“数”与图形变换的“形”紧密融合，体现了新课标“用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达”的要求。

（二）【实施建议·因材施教】

【基础保障】对于学困生，重点落实平移与对称的基本规律，通过反复操练形成技能，允许借助网格纸画图辅助理解。【重要】

【提升空间】对于中等生，在掌握基本规律的基础上，引导其解决复合变换问题，培养有序思考的习惯。

【拓展挑战】对于优等生，可增加旋转90°规律、关于特殊直线对称等问题，鼓励其自主探究、总结一般规律。

（三）【评价反馈·以评促学】

本课采用过程性评价与结果性评价相结合的方式。过程性评价关注学生在小组讨论、板演展示中的参与度与思维水平；结果性评价通过课堂练习、课后作业检测目标的达成度。特别关注学生对“数形结合”思想的内化情况，鼓励学生用“画图验证”的方法检验自己的计算结果，培养严谨的治学态度。

五、板书设计

微专题4：坐标系中点的坐标规律探究

一、平移规律

左右平移：横坐标左减右加

上下平移：纵坐标上加下减

二、对称规律

关于x轴对称：横同纵反

关于y轴对称：横反纵同

关于原点对称：横纵皆反

三、复合变换

顺序进行，分步计算

逆向变换：顺序相反、运算相反

四