2026年高考物理二轮专题复习：专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能（模型与方法讲义）（全国适用）（解析版）

专题06圆周运动模型中临界问题和功与能目录TOC\o"1-3"\h\u1．圆周运动的三种临界情况 12．常见的圆周运动及临界条件 13.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论 21．圆周运动的三种临界情况(1)接触面滑动临界：Ff＝Fmax。(2)接触面分离临界：FN＝0。(3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。2．常见的圆周运动及临界条件(1)水平面内的圆周运动水平面内动力学方程临界情况示例水平转盘上的物体Ff＝mω2r恰好发生滑动圆锥摆模型mgtanθ＝mrω2恰好离开接触面(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动轻绳模型最高点：FT＋mg＝meq\f(v2,r)恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0轻杆模型最高点：mg±F＝meq\f(v2,r)恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力带电小球在叠加场中的圆周运动等效法关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动倾斜转盘上的物体最高点：mgsinθ±Ff＝mω2r最低点Ff－mgsinθ＝mω2r恰好通过最低点3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A的向心力恰好等于重力时，由可得①对应C点的速度有机械能守恒得②当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒得③小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力由牛顿第二定律④(2).当时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0由牛顿第二定律。⑤(3).当时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0在DA段射重力与半径方向的夹角为则、(4).当时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上升的最高点为C永不脱离轨道【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒在C点由牛顿运动定律：得⑥(2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒在C点由牛顿运动定律：得⑦(3)从A点以初速度释放小球到达最低点由机械能守恒在C点由牛顿运动定律：得⑧【典例1】“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将“旋转秋千”简化为如图乙所示的模型，人和座椅看作质点，总质量约为m=80kg，圆盘的半径为R=2.5m，绳长，圆盘以恒定的角速度转动时，绳子与竖直方向的夹角为θ=45°，若圆盘到达最高位置时离地面的高度为h=22.5m，重力加速度g取10m/s2.在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑落。忽略空气阻力的影响，求：（1）手机滑落瞬间的速度大小；（2）手机落地点距离中心转轴的距离。【答案】（1）；（2）15m【详解】（1）设乘客和座椅的总质量为m，绳子拉力为FT，对乘客和座椅整体进行分析，有，联立，解得手机滑落瞬间的速度解得（2）手机滑落后做平抛运动，竖直方向有解得则平抛运动的水平位移为手机落地点距离中心转轴的距离解得【典例2】如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。（提示：可以尝试把小球所受合力看作新的重力）求：（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；（2）小球到达A点时动量的大小；【答案】（1），；（2）【详解】（1）设水平恒力的大小为，小球到达C点时所受合力的大小为F。由力的合成法则有①②设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得③由①②③式联立解得④⑤（2）设小球到达A点的速度大小为，作，交PA于D点，由几何关系得⑥⑦由动能定理有⑧由④⑤⑥⑦⑧式解得，小球在A点的动量大小为⑨【总结提升】解决圆周运动问题的基本思路eq\x(分析物体受力情况，画出受力示意图，确定向心力来源)→eq\x(利用平行四边形定则、正交分解法等表示出径向合力)→eq\x(根据牛顿第二定律及向心力公式列方程)【典例3】如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点，C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正确的是()A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向C．从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变D．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功【答案】D【解析】小球经过A点时，合外力提供向心力，则当小球速度较小时有meq\f(v2,r)<mg，则所受杆的作用力竖直向上；当小球速度较大时有meq\f(v2,r)>mg，则所受杆的作用力竖直向下；当小球速度满足meq\f(v2,r)＝mg时，则杆对小球无作用力，故A错误；小球重力和杆的作用力的合力提供向心力，则小球在B点所受杆的作用力斜向右上方，故B错误；A点和C点处重力与速度方向垂直，则小球重力的功率为0，B点处重力与速度共线，故重力功率不为0，则从A点到C点的过程，小球重力的功率先增大再减小，故C错误；A到C的过程中，重力做正功，根据动能定理可知WG＋W杆＝ΔEk＝0，故杆对小球的作用力做负功，故D正确。【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0或FT＝0。3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。【典例4】如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（）A．可以到达半圆轨道最高点DB．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9NC．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35mD．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s【答案】BC【详解】A．设滑块P恰能通过最高点D，则有解得则滑块P从B点到D点，根据动能定理有解得滑块在B点的动能为所以滑块不能到达半圆轨道最高点D，故A错误；B．滑块经过B点时的速度大小为vB，根据功能关系可得在B点根据牛顿第二定律可得联立解得根据牛顿第三定律可知对半圆轨道的压力大小为9N，故B正确；CD．滑块在C点的重力势能为则滑块可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，此时的速度大小为v根据功能关系可得根据牛顿第二定律可得联立解得，滑块离开轨道后做斜上抛运动根据功能关系可得解得滑块P能到达的最大高度为故C正确，D错误。故选BC。1．如图所示，质量为m的小物块开始静止在一半径为R的球壳内，它和球心O的连线与竖直方向的夹角为30°。现让球壳随转台绕转轴一起转动，物块在球壳内始终未滑动，重力加速度大小为g，则（）

A．静止时物块受到的摩擦力大小为B．若转台的角速度为，小物块不受摩擦力作用C．若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向下D．若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向下【答案】D【详解】A．静止时，对物块分析，根据平衡条件有故A错误；B．球壳随转台绕转轴一起转动，物块做匀速圆周运动，由沿圆周半径方向的合力提供向心力，若物块所受摩擦力恰好为0时，角速度为，对物块进行分析，则有解得故B错误；C．若转台的角速度为，由于可知，物块有沿球壳向下运动的趋势，小物块受到的摩擦力沿球面向上，故C错误D．若转台的角速度为，由于可知，物块有沿球壳向上运动的趋势，小物块受到的摩擦力沿球面向下，故D正确。故选D。2．如图所示，长度为l的轻绳一端固定在O点，另一端系着一个质量为m的小球，当小球在最低点时，获得一个水平向右的初速度，重力加速度为g，不计空气阻力。在此后的运动过程中，下列说法正确的是（）

A．小球恰好能到达竖直面内的最高点B．当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2mgC．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为D．初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4mg【答案】C【详解】A．若小球能到达最高点，根据机械能守恒，有根据小球在竖直面内的圆周运动受力特点，可知恰好做完整的圆周运动，则在最高点时小球重力恰好提供所需向心力，根据牛顿第二定律可得在最高时小球的最小速度为故A错误；B．分析小球从最低点运动到最右端的过程，根据机械能守恒，有根据牛顿第二定律和向心力可得，小球的向心力为又因为小球受重力作用，根据平行四边形定则可知小球所受的合力为故B错误；C．当轻绳第一次刚好松弛时，绳的拉力为零，设此时的速度大小为v2，轻绳与竖直向上方向夹角为α，如图所示

由径向合力提供向心力，有由机械能守恒有联立解得，故C正确；D．小球在最低点，根据牛顿第二定律有轻绳受到的拉力大小为5mg，故D错误。故选C。3．如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有（）A．小球通过最高点的最小速度为B．小球通过最高点的最小速度为零C．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力【答案】B【详解】AB．在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，故A错误，B正确；C．小球在水平线ab以上管道中运动时，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力；当速度比较小时，内侧管壁有作用力，故C错误；D．小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，故D错误。故选B。4．如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（）A．若圆环光滑，则角速度B．若圆环光滑，则角速度C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于【答案】D【详解】AB．小球在图示位置时的受力分析如图所示则小球所受合外力提供向心力，即以上两式联立，解得故AB错误；CD．若小球在A点时，则圆环对小球的支持力提供向心力，圆环对小球的静摩擦力与重力等大反向，即联立，解得故C错误，D正确。故选D。5．如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的小铁球视为质点在轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高、最低点，铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（）A．铁球可能做匀速圆周运动B．铁球绕轨道转动时机械能不守恒C．铁球在A点的速度一定大于或等于D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg【答案】D【详解】A．铁球在竖直轨道上做圆周运动，受到重力、轨道的支持力和磁性引力的作用，其中铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，支持力的方向过圆心，它们都始终与铁球的运动方向垂直，所以磁力和支持力对铁球都不做功，只有重力对铁球做功，所以铁球的机械能守恒，在最高点的速度最小，在最低点的速度最大，所以铁球不可能做匀速圆周运动，故A错误；B．铁球绕轨道转动时，只有重力做功，其机械能守恒，故B错误；C．在A点，轨道可以支撑铁球，所以要使铁球不脱轨做完整圆周运动，铁球在A点时的速度大于等于零即可，故C错误；D．铁球在最低点时，若恰不脱轨，则满足从铁球恰在最高点到最低点时，由机械能守恒定律得解得F=5mg即要使铁球不脱轨做完整圆周运动，轨道对铁球的磁性引力大小至少为5mg，故D正确。故选D。6.（多选）如图所示，倾角为的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有一质量为的滑块，通过轻绳绕过光滑的滑轮与质量为的带正电的小球（可视为质点）相连，滑轮下方有一个光滑的小孔，轻绳与斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为。斜面体和滑块始终静止，滑块与斜面的动摩擦因数为，小球与小孔之间的绳长为，重力加速度为，下列说法正确的是（

）A．斜面体所受到地面的摩擦力大小为mgB．若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小C．若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为D．若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大【答案】AC【详解】A．对小球受力分析有解得将滑块和斜面看成整体，由平衡条件得，斜面体所受摩擦力大小为故A正确；B．设绳与竖直方向的夹角为，对小球有可得又因为所以随着转速的增大，角速度会增大；拉力会增大，绳与竖直方向的夹角会增大，两绳的夹角会减小，所以合力会增大；所以绳子对小孔的作用力增大；故B错误；C．因为绳对滑块的拉力越大，滑块越容易往上滑动。所以当小球转速最大，即绳的拉力最大时，对滑块受力分析得即可得最大角速度为所以最大转速为故C正确；D．加上电场后，对小球受力分析知因为要使转速不变，即角速度不变，所以绳子的拉力大小不变，因为竖直方向绳的分力相对没有加电场时增大了，所以由以上公式知减小，即小球到转动中心的距离减小，故D错误。故选AC。7.（多选）．如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，，，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为，，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，，以下说法正确的是（

）A．B的摩擦力先达到最大B．当时，绳子出现张力C．当时，A、B两物体出现相对滑动D．当时，A、B两物体出现相对滑动【答案】AD【详解】A．若A达到最大静摩擦力时的临界角速度满足代入数据解得同理可得B达到最大静摩擦力时的临界角速度为代入数据解得则当圆盘转动的速度逐渐变大时，B先达到临界角速度值，则B的摩擦力先达到最大，故A正确；B．当B的摩擦力达到最大时，转速再增加时，绳子出现张力，即当时，绳子出现张力，故B错误；CD．A与B的角速度相等，A的质量是B的4倍而A做圆周运动的半径是B的，根据可知A需要的向心力大，所以当AB两物体出现相对滑动时A背离圆心运动，B向着圆心运动，此时B受静摩擦力方向背离圆心，A受静摩擦力方向指向圆心，则对A有：对B有：解得故C错误，D正确。故选AD。8.（多选）如图，质量为m的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动，已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k倍，重力加速度为g，P、Q为圆轨道上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（）

A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mgB．通过P、Q两点时对轨道的压力大小之和为C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR【答案】BC【详解】A．在最低点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向上的支持力，由向心力公式得在最高点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向下的支持力，由向心力公式得两式相减可得A错误；BC．在PQ两点的受力如图所示在Q点，由向心力公式有在P点，由向心力公式有两式相加可得因摩托车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一个变力，将圆轨道分成N段，在轨道上下关于水平直径对称的位置上取两小段A、B，每段的长度为，则在A、B两小段的压力可视为恒力，摩擦力做功之和为解得所以摩托车从最低点到最高点克服摩擦力做功为BC正确；D．玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动,由最低点到最高点由动能定理可知解得D错误。故选BC。9．（多选）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其图像如图乙所示。已知X星球的半径为，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（）A．X星球的第一宇宙速度B．X星球的密度C．X星球的质量D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为的卫星周期【答案】CD【详解】A．小球在最高点时有所以可得将图线与横轴交点代入则得则X星球的第一宇宙速度为A错误；BC．根据则X星球的质量为X星球的密度为B错误，C正确；D．根据解得则环绕X星球运行的离星球表面高度为的卫星则代入可得周期D正确。故选CD。10.（多选）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R的光滑圆弧轨道ABC，其圆心为O，B点在O的正上方，A、C点关于OB对称，。可看成质点的物块自A点以初速度沿着轨道切线方向向上运动，并且能沿轨道运动到B点。已知重力加速度为g，，下列说法正确的有（

）A．若，则物块在A点初速度可能为B．若，则物块在A点初速度可能为C．若，则物块在A点初速度可能为D．若，则物块在A点初速度可能为【答案】AB【详解】AB．若，A点速度取得最大值时从A点运动到B点，由动能定理，有得到满足题意，AB正确；C．若，A点速度取得最大值时从A点运动到B点，由动能定理，有得到不符合题意，C错误；D．若物块在A点的初速度为，则物块在A点就离开轨道，不能沿着轨道运动到B点，D错误。故选AB。11．（多选）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B点，半圆轨道的圆心为O，半径为R，C为其最高点。BD段为双轨道，D点以上只有内轨道，D点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，一小球从水平面上的A点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C点。不计一切摩擦。则（）A．小球到达C点时速度为0B．小球到达C点后做平抛运动落在地面上C．小球在A点的初速度为D．若小球到达D点时对内外轨道均无弹力，则【答案】AD【详解】A．小球恰好过圆弧轨道最高点C，由于下方有支持物，所以过C点时速度为0，故A正确；B．小球过C点时速度为0，不能做平抛运动，故B错误C．A到C，由机械能守恒定律可得解得故C错误；D．由D到C根据机械能守恒有在D点小球对内外轨道均无弹力，则重力的分力提供向心力，有解得故D正确。故选AD。12．（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（

）A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大B．小球A从到C的过程中，重力的功率先增大后减小C．小球的初速度D．若小球初速度增大，小球有可能从B点脱离轨道【答案】AD【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为vC=0则小球从C到B的过程中，有联立有则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cosα逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大，A正确；B．由于A到C的过程中小球的速度逐渐减小，则A到C的过程中重力的功率为则A到C的过程中小球重力的功率始终减小，故B错误；C．从A到C的过程中有解得故C错误；D．小球在B点恰好脱离轨道有则则若小球初速度增大，小球在B点的速度有可能为，故小球有可能从B点脱离轨道，故D正确。故选AD。13．空中飞椅是各大游乐场中常见的娱乐设施，尤受年轻人的喜欢。某空中飞椅可简化为如图所示的模型，上端是半径的水平圆形转台，转台可绕过其圆心的竖直轴转动。在转台的边缘固定有一长的轻绳，轻绳的底端悬挂有一座椅（含游客）。玩耍时，一游客系好安全带后坐在座椅上静止在最低点，然后转台在电机带动下绕竖直转轴缓慢加速转动起来，座椅摆动到轻绳与竖直方向的夹角为时开始以某角速度匀速转动。游客和座椅均可视为质点，其总质量M=60kg，取重力加速度大小g=10m/s2，，。求：(1)该座椅（含游客）稳定转动时受到的合力大小；(2)座椅（含游客）从静止开始转动到稳定转动的过程中，座椅（含游客）的机械能增量。【答案】(1)800N(2)4000J【详解】（1）设游客和座椅所受的轻绳拉力大小为，竖直方向上有水平方向上有解得（2）设游客和座椅稳定转动时的速度大小为，由匀速圆周运动中合力提供向心力有游客和座椅从开始转动到稳定转动的过程中，由功能关系有解得14．“旋转飞椅”是游乐场中颇受欢迎的游乐项目，其简化模型如图所示。半径分别为、的水平转盘A与水平转盘B通过皮带连接，皮带与两转盘之间不发生滑动，竖直中心轴固定在转盘B上，半径为的转盘C固定在竖直中心轴的顶端，长度为的缆绳一端系着座椅，另一端固定在转盘C的边缘。转盘静止时，缆绳沿竖直方向自由下垂并系上人；装置启动后，转盘C先向上抬升，然后绕竖直轴转动，转动的角速度缓缓增大，达到设定值后保持不变，稳定后缆绳与竖直方向的夹角为。游客和座椅（整体可视为质点）的总质量为，不考虑一切阻力和缆绳的重力，重力加速度取，，。求：(1)稳定后缆绳拉力的大小；(2)转盘A转动的角速度大小；(3)从静止到整个装置稳定转动过程中缆绳对游客和座椅所做的总功。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）对游客和座椅受力分析，由平衡条件得解得（2）对游客和座椅受力分析，有根据几何关系可得解得对转盘与转盘，具有相同的角速度，即对转盘与转盘，具有相同的线速度，即解得转盘转动的角速度大小为（3）对游客和座椅受力分析，由牛顿第二定律得由功能关系可得缆绳对游客和座椅做的功为其中联立解得15．如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接，整个空间分布有大小为、水平向右的匀强电场（未画出），现将一质量为m、电荷量为+q的小球（可视为质点）从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开半圆轨道后落在水平轨道上。已知整个运动过程小球的电荷量保持不变，A、B间的距离为3R，重力加速度为g。求(1)小球运动到B点时受到的支持力大小；(2)小球在竖直半圆轨道速度的最大值vm；(3)小球落入水平轨道瞬间的速度大小。【答案】(1)7mg(2)(3)【详解】（1）小球从A点运动到B点过程，由动能定理有可得小球在B点有解得（2）如图所示，小球运动到等效最低点D时速度最大，由于，可知OD与竖直线OB夹角为，小球从A点运动到D点的过程中，根据动能定理有解得（3）设小球过C点时的速度大小为，小球从A运动到C的过程中，根据动能定理有解得小球离开C点后做类斜抛运动，竖直方向自由落体竖直速度解得水平方向匀变速直线解得水平速度解得（方向水平向右）由运动的合成可得解得16．如图所示，质量为的小物块从平台的右端A点以速度水平飞出后，恰由P点沿切线方向进入竖直圆轨道，并刚好通过轨道最高点M飞出。已知圆轨道半径，圆心为O，N点为轨道最低点，∠PON=53°，重力加速度，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：(1)小物块在P点的瞬时速度大小；(2)小物块通过M点的瞬时速度大小；(3)小物块在圆轨道上运动的过程中摩擦力对它做的功W。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）小物块进入轨道时，刚好沿P点切线进入，其分速度与合速度如下图由图可知解得（2）由题意可知，小物块恰好从M点飞出，对小物块在M点受力分析，可得解得（3）小物块从P到M的过程，应用动能定理，可得解得17．如图所示，在倾角为的固定光滑斜面体ABCD上（CD为斜面体与地面的交线），有一根长R=0.2m的细线，细线的一端固定在斜面上的O点，另一端连接着一个可视为质点的小球，过O点平行于AD的直线交CD于E点，DE的长度。现使小球沿顺时针方向刚好能在斜面上做完整的圆周运动，F、Q为轨迹圆的最高点和最低点，从某次过Q点细线被割断瞬间开始计时（不影响小球速度），小球沿斜面运动，后经斜面边缘上的M点飞出，落到地面上的N点，总共用时t=1.5s。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，，重力加速度。求：(1)小球经过Q点时的速度大小(2)小球经过M点时的速度大小；(3)M、N两点间的距离L。（结果均可保留根号）【答案】(1)2m/s(2)m/s(3)m【详解】（1）小球刚好能在斜面上做完整的圆周运动，则在轨迹圆的最高点F，由牛顿第二定律从F点到Q点的过程中，由动能定理联立解得小球经过Q点时的速度大小（2）小球在Q、M间做类平抛运动，沿初速度方向做匀速直线运动运动时间为s沿斜面向下方向做匀加速直线运动a=gsinθ=4m/s2沿斜面向下的速度v2=at1=2m/s则小球经过M点时的速度大小（3）小球离开斜面后做斜下抛运动，竖直向下方向做匀加速直线运动，有竖直位移水平方向做匀速直线运动水平方向位移M、N两点间的距离18．如图所示，M、N为固定在同一竖直方向上相距L的两个钉子，一根长为10L的轻绳一端系在M点，另一端竖直悬挂质量为m的小球，小球与水平地面接触但是无压力。忽略空气阻力、钉子直径和小球直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时机械能的损失，重力加速度为g。(1)给小球一个初速度使其在竖直面内可以做圆周运动，且能通过M点正上方，求初速度的最小值；(2)若给小球大小为的初速度，使其在竖直面内运动旋转两周时经过M点正下方时绳子断开，求绳子断裂瞬间小球的速度大小和小球落在地面时水平位移的大小。【答案】(1)(2),【详解】（1）小球，从初始位置到第一次到达M点正上方，根据动能定理可得若第一周小球恰能通过最高点，则有联立解得初速度的最小值为（2）小球，从初始位置到绳子断裂时M点正下方，根据动能定理可得解得绳子断裂瞬间小球的速度大小为平抛运动竖直方向做自由落体运动，则有得水平方向做匀速直线运动，则小球落在地面时水平位移的大小为19．如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合。转台以一定角速度匀速旋转，一质量为的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和点的连线与之间的夹角为。重力加速度大小为。(1)若，小物块受到的摩擦力恰好为零，求；(2)若，求小物块受到的摩擦力大小和方向。【答案】(1)(2)，方向沿罐壁向下【详解】（1）以为研究对象，当摩擦力恰好为零时，由支持力和重力的合力提供向心力，有解得（2）若，则滑块有沿斜面向上滑的趋势，摩擦力沿罐壁切线向下，对m分