人教版初中数学九年级下册：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似教案

人教版初中数学九年级下册：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似教案

第一部分：课程概述与设计理念

一、课程基本信息

1.学科：数学

2.学段与年级：初中三年级（九年级）

3.教材版本：人民教育出版社《数学》九年级下册

4.课程主题：相似三角形的判定（第二课时）——两边成比例且夹角相等（SAS）判定定理

5.课时安排：1课时（45分钟）

二、核心内容解析

本节课隶属于“图形与几何”领域，核心内容是探索并证明三角形相似的判定定理之二：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”（通常类比全等三角形记为“SAS”相似判定定理）。它是学生在学习了相似多边形概念、相似比定义以及第一课时“平行线分线段成比例推论”（即“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”）之后，进一步系统构建三角形相似判定体系的关键一环。此定理不仅是后续学习“三边成比例”判定定理、相似三角形性质及其广泛应用（如测量、位似）的基石，其探索与证明过程本身也深度承载着转化、类比、特殊到一般等核心数学思想，是发展学生几何直观、推理能力和模型思想的重要载体。

三、设计理念与特色

本设计秉承《义务教育数学课程标准（2022年版）》的理念，致力于实现以下超越：

1.素养导向，问题驱动：以具有挑战性的真实问题情境（如非平行条件下的间接测量）为起点，引发认知冲突，驱动学生主动探究，将知识学习融入问题解决全过程，发展应用意识与创新意识。

2.构建体系，强调关联：将新定理置于整个几何变换与度量关系的宏观视野中。不仅与三角形全等的SAS判定进行深度类比与辨析，更通过动态几何技术，直观揭示当夹角固定、邻边比值变化时，三角形形状被唯一确定的数学本质，帮助学生构建结构化的知识网络。

3.过程探究，思维显性化：重构“观察-猜想-验证-证明-应用”的完整数学发现过程。特别强化猜想后的“验证”环节，利用几何画板进行多组数据的动态测量与计算，使猜想趋于合理，为严格的演绎证明铺设心理与逻辑基础。强调证明思路的分析（如何转化为已知的平行线模型），使高阶思维可视化。

4.技术赋能，深度理解：深度融合动态几何软件（Geogebra）与在线协作工具。软件不仅用于直观演示，更成为学生动手操作、实验探索的“数学实验室”，助力突破“夹角相等”这一关键条件的理解难点，实现信息技术与数学课程的有机整合。

5.跨学科浸润，拓展视野：在教学应用与作业设计中，有机融入物理学中的矢量分解、艺术学中的比例构图（如黄金分割）、地理学中的简易测绘等背景，展现数学作为基础科学的普适工具价值，培育学生的跨学科视野。

四、学情分析

1.知识基础：学生已经熟练掌握三角形全等的SAS判定定理；理解了相似多边形的定义；掌握了平行线分线段成比例定理及其在三角形中的推论（A字型、X字型）；具备基本的几何证明书写能力。

2.认知障碍：

1.3.易混点：“两边成比例且夹角相等”与全等判定中“两边及其夹角”的条件类比易引发负迁移，学生易忽略“比例”与“相等”的本质区别。

2.4.难点：定理证明中辅助线的添加思路（构造平行线进行转化）不易自发形成；对“夹角相等”是必要条件而非“任意角相等”的理解可能存在困惑。

3.5.思维层次：多数学生仍处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡期，对纯粹的演绎证明存在畏难情绪，需要直观操作与逻辑推理的桥梁。

6.发展需求：需要通过本课的学习，进一步发展从具体情境中抽象数学问题的能力、基于数据的合情推理能力以及运用转化思想解决几何证明问题的策略性思维。

五、教学目标

依据课标与学情，制定如下三维目标：

1.知识与技能：

1.2.理解并掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理。

2.3.能准确辨析该定理的条件，并能规范地运用该定理证明两个三角形相似，进而解决相关的几何计算与证明问题。

4.过程与方法：

1.5.经历从实际问题抽象出数学猜想，利用信息技术进行实验验证，最终通过构造法完成演绎证明的完整数学探究过程。

2.6.体会类比（与全等判定）、转化（化未知为已知）等数学思想方法在探索新知中的作用。

7.情感、态度与价值观：

1.8.在探究活动中感受数学的严谨性与创造力，增强合作交流意识和克服困难的信心。

2.9.通过定理在跨学科情境中的应用，体会数学的工具价值和文化内涵，提升学习内驱力。

六、教学重难点

1.教学重点：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的探索、证明及其初步应用。

2.教学难点：定理证明中辅助线的构造思路；在复杂图形中准确识别并应用该定理的条件。

七、教学准备

1.教师准备：精心设计的多媒体课件（含问题情境、动画演示）、Geogebra动态几何文件（预设探究活动）、实物投影仪、三角板。

2.学生准备：复习三角形全等SAS判定、相似多边形定义及平行线分线段成比例定理；熟悉平板电脑或机房电脑上的Geogebra基本操作（课前微课学习）。

3.环境准备：具备多媒体交互功能的智慧教室或计算机教室，支持小组协作与屏幕共享。

第二部分：教学实施过程

环节一：创设情境，复旧孕新（预计时间：5分钟）

活动1：问题挑战，激活思维

教师呈现一个真实问题情境：“校园内有一棵古树（点A），为了保护它，我们需要测量其高度，但由于树下有障碍物，无法直接靠近底部B点。测量小组在远处选定一点C，测得∠ACB=45°，然后沿AC方向后退到点D，使CD=10米，并确保∠ADC保持45°。接着在AD的延长线上找到点E，使DE=15米，测得∠AEB=45°。现在，我们能否利用这些数据求出古树的高度AB？”

引导学生分析：问题中涉及多个三角形（△ABC，△ADC，△ADE，△AEB等），且已知多个角相等（均为45°），但边长关系复杂。教师提问：“我们目前所学的相似判定方法（定义法、平行线法）能否直接应用？为什么？”（定义需三边比例，条件不足；平行线法需平行关系，图中没有）。由此制造认知冲突，引出课题：需要寻找新的、更实用的三角形相似判定方法。

活动2：类比联想，提出方向

教师引导：“回顾三角形全等的判定，我们有‘边角边’（SAS）的方法。那么，对于相似三角形，是否存在类似‘两边……且夹角……’的判定条件呢？”启发学生进行类比猜想。学生可能提出“两边成比例且夹角相等”。教师予以肯定，并明确本课核心任务：探索命题“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是否成立。

设计意图：以非平行的间接测量问题开篇，直指已有知识的局限性，激发探究新判定方法的迫切需求。通过与全等判定的类比，为学生提供合理的猜想方向，实现知识的正向迁移。

环节二：合作探究，猜想验证（预计时间：12分钟）

活动1：动态实验，收集证据

学生以4人小组为单位，在Geogebra平台上进行操作。

1.任务一（基础实验）：绘制△ABC。在AB边上取点D，使AD=k·AB(k为可调节滑动条，如0.6)；在AC边上取点E，使AE=k·AC。连接DE。

1.2.观察与测量：拖动滑动条k，观察△ADE与△ABC的形状变化。固定一个k值，测量∠A（公共角）的度数，测量DE与BC的长度，并计算DE/BC的比值。

2.3.发现：学生发现无论k如何变化，总有∠A=∠A，AD/AB=AE/AC=k，且DE/BC始终等于k，△ADE与△ABC形状始终相同。此即利用“夹角相等（公共角）、邻边成比例”构造了一个与已知三角形相似的三角形。

4.任务二（变式实验）：绘制两个独立的三角形△ABC和△A‘B’C‘。设定条件：∠A=∠A’(可设定为固定值，如50°)；A‘B’/AB=A‘C’/AC=k(k为滑动条)。

1.5.观察与测量：拖动k值，观察两个三角形的形状关系。固定k值，测量∠B与∠B‘、∠C与∠C‘的度数，测量B’C‘与BC的长度并计算比值。

2.6.数据记录：改变k（如0.8，1.2，1.5）和∠A（如60°，70°）多次实验，将数据记录在共享表格中。

3.7.小组讨论：基于数据，你们能得出什么猜想？

活动2：归纳猜想，初步表述

各小组汇报实验数据与观察结论。教师引导学生归纳共同发现：“当两个三角形有一组角相等，且这组角的两条邻边对应成比例时，这两个三角形的第三边也对应成比例，三个角都对应相等，从而它们相似。”

教师引导学生用规范的数学语言表述猜想：在△ABC和△A‘B’C‘中，如果∠A=∠A’，且A‘B’/AB=A‘C’/AC，那么△ABC∽△A‘B’C‘。

教师强调关键词：对应成比例，夹角相等。

设计意图：将课堂转变为“数学发现实验室”。学生通过亲手操作、动态观察、定量计算，获得了丰富的直观经验与数据支持，使猜想建立在实证基础上，而非凭空想象。这极大地增强了猜想的可信度，也为后续证明的必要性埋下伏笔。

环节三：推理论证，建构定理（预计时间：10分钟）

活动1：分析思路，化归转化

教师提问：“我们如何用严格的逻辑推理来证明这个猜想？”引导学生回顾已掌握的相似判定方法——平行线法。

关键性提问：“在△ABC和△A‘B’C‘满足条件的前提下，我们能否在△ABC上‘构造’出一个与△A‘B’C‘全等的三角形，并且这个构造的三角形与△ABC满足‘平行线’的相似模型？”

通过师生共同分析，形成思路：在△ABC的边AB、AC上，分别截取AD=A‘B’，AE=A‘C’，连接DE。那么由SAS全等可知△ADE≌△A‘B’C‘。此时，只需证明DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，从而△A‘B’C’∽△ABC。而证明DE∥BC的关键，在于已知条件AD/AB=AE/AC（因为AD=A‘B’，AE=A‘C’，且A‘B’/AB=A‘C’/AC）。

活动2：完成证明，规范表述

师生共同完成证明过程的书写，教师板演关键步骤，强调辅助线的描述和每一步推理的依据（全等判定、平行线分线段成比例定理的逆定理、相似传递性）。

已知：如图，在△ABC和△A‘B’C‘中，∠A=∠A’，A‘B’/AB=A‘C’/AC。

求证：△ABC∽△A‘B’C’。

证明：在线段AB上截取AD=A‘B’，在线段AC上截取AE=A‘C’，连接DE。

∵AD=A‘B’，AE=A‘C’，∠A=∠A‘，

∴△ADE≌△A’B‘C’(SAS)。

又∵A‘B’/AB=A‘C’/AC，且AD=A‘B’，AE=A‘C’，

∴AD/AB=AE/AC。

∴DE∥BC。

∴△ADE∽△ABC。

∴△A‘B’C‘∽△ABC。

活动3：定理辨析，深化理解

1.条件辨析：通过反例图形（如展示两边成比例但角不是夹角的情况，或夹角相等但对边成比例而非邻边成比例的情况），强调“夹角”二字的重要性。提问：“如果条件是‘两边成比例且其中一边的对角相等’，结论是否成立？”（不成立，即不存在“SSA”相似判定）。

2.符号表述：介绍定理的符号语言表述，并对比全等SAS的书写格式。

3.命名：约定将该定理简称为“边角边（SAS）相似判定定理”。

设计意图：证明环节是数学理性精神的集中体现。通过分析，将未知的“SAS相似”问题转化为已知的“平行线+全等”模型，深刻体现了转化思想。完整的板书证明，为学生提供了严谨表达的范式。辨析环节则扫清了潜在的概念误区，深化了对定理本质的理解。

环节四：解析应用，巩固内化（预计时间：15分钟）

活动1：基础辨析，准确识别

（课件出示一组图形判断题）

1.如图，已知∠1=∠2，AB/DE=AC/DF，问△ABC与△DEF是否相似？为什么？（强调找对应）

2.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=6，BD=4，AC=8，CE=4。问△ABC与△ADE是否相似？请说明理由。（需要计算比例式）

3.（易错题）如图，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E，AB/DE=AC/DF。问△ABC与△DEF是否相似？（强调∠B与∠E是否是对应成比例边的夹角）

活动2：例题精讲，规范应用

例题：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AD=3，AB=8，AE=4，AC=10。∠A是公共角。求证：△ADE∽△ABC。

变式：若上题中条件改为AD=4，DB=2，AE=6，EC=3，结论还成立吗？如何证明？（引导学生先计算出AD/AB与AE/AC的值，再进行判断。）

活动3：问题回解，首尾呼应

现在，让我们回到课始的古树测量问题。

引导学生从复杂图形中剥离出关键三角形：∠ACB=∠ADC=∠AEB=45°。虽然∠ACB与∠ADC是45°，但它们的夹边AC与AD、BC与DC并不成已知比例。关键在于发现∠ADC与∠AEB相等（都是45°），且AD与AE、DE与BE是否成比例？利用测量数据：AD=AC+10?不，需要先利用△ADC中∠ADC=∠ACD=45°?不对，∠ACB=45°，∠ADC=45°，但∠ACD不一定45°。这需要学生重新审视。

教师引导简化模型：实际上，最直接的应用是观察△ADC与△AEB。已知∠ADC=∠AEB=45°。如果能证明AD/AE=CD/EB，即可得相似。但CD=10，EB未知。这恰恰构成了一个新的问题链：需要先利用其他条件。

此环节重在引导学生识别模型，意识到要应用SAS相似，必须找到“夹角相等”和“该角的两邻边对应成比例”这两组条件。原问题设计巧妙，可能需要综合多次相似或结合其他知识，可作为课后探究或本章复习的综合性问题。课上可简化为一个可直接应用定理的子图形。

修改后的课堂即时应用问题：“在古树问题图中，如果我们单独看△ADC和△AEB，已知∠ADC=∠AEB=45°。若测得AD=20米，AE=30米，CD=10米。请问，当EB为多少米时，我们可以断定△ADC∽△AEB？并由此能推导出什么结论？”

学生计算：由AD/AE=CD/EB，即20/30=10/EB，得EB=15米。若实际测量EB接近15米，则可证相似，进而得到对应边比例，用于求AB。

活动4：跨学科链接

简要展示：

1.物理中的力分解：一个斜面上的重力分解，两个分力矢量与合力矢量构成的三角形，在斜面角度固定时是相似的（夹角为直角，两边成比例对应不同质量）。

2.艺术与建筑：帕特农神庙的立面轮廓、蒙娜丽莎的面部构图，其关键三角形结构常符合特定的比例关系（如黄金分割比），体现了几何相似之美。

设计意图：应用环节遵循“识别-理解-应用-综合”的认知阶梯。从条件辨析到规范解题，夯实基础。回解课始问题，形成教学闭环，提升学生成就感。跨学科链接则短暂打开一扇窗，让学生窥见数学的广阔应用天地，激发持久兴趣。

环节五：课堂小结，反思提升（预计时间：3分钟）

引导学生以思维导图或结构化列表的形式进行总结：

1.知识：我们今天学习了什么新定理？（文字、图形、符号三种语言表述）。

2.方法：我们是怎样发现并证实这个定理的？（情境-类比-实验-证明）。

3.思想：在探究过程中，用到了哪些重要的数学思想？（类比、转化、数形结合）。

4.联系：这个定理和之前所学的三角形全等SAS判定、平行线法判定相似有何联系与区别？

5.疑问：你还有哪些疑惑？或者你还能提出什么新的问题？（例如：既然有“边角边”，那有没有“角角边”、“边边角”相似判定？）

教师进行归纳升华，强调本定理在相似判定知识体系中的承上启下作用，并鼓励学生将探究的精神延伸到后续学习。

第三部分：教学评价与反思

一、课堂练习与作业设计

1.课堂即时反馈：利用在线平台（如雨课堂）推送3-4道选择题和填空题，实时检测学生对定理条件理解和简单应用的掌握情况。

2.分层作业设计：

1.3.基础层（必做）：教材课后练习题，侧重于定理的直接应用和简单证明。

2.4.提高层（选做）：

1.3.5.一题多解：给定一个综合图形，尝试用不同方法（定义、平行线、SAS）证明其中的三角形相似。

2.4.6.条件探究：若将定理中的“夹角相等”改为“其中一边的对角相等”，结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请构造反例。

3.5.7.简单建模：设计一个利用SAS相似定理测量小河宽度的方案，并写出测算原理。

6.8.拓展层（挑战/项