2026年四川德阳市高三二诊高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页德阳市高中2023级第二次诊断考试数学试卷说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．2．本试卷满分150分，120分钟完卷．第Ⅰ卷（选择题

58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知集合，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，若“”，则x＝（

）A．0或 B．0 C． D．4．若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（

）A．0 B．1 C．2 D．45．若，则＝（

）A． B． C． D．6．某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（

）A． B． C． D．7．若，则（

）A． B． C． D．8．过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，若两条切线斜率之积为1，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的．9．下列命题中正确的是（

）A．若，则向量与的夹角为钝角B．若，则向量在向量方向上的投影向量为C．两个非零向量，若，则与共线且反向D．若为的外心，，则为的垂心10．设函数，且记，则（

）A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为011．已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知随机变量X服从正态分布，若，则______13．已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是______14．被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到＝______（用含有的式子表示）．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积．(1)求角B的大小；(2)若b＝4时，求△ABC面积的最大值．16．如图，在平行六面体中，E在线段上，且F，G分别为线段，的中点，且底面为正方形.(1)求证:平面平面(2)若与底面不垂直，直线与平面所成角为且求点A到平面的距离.17．东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立．(1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；(2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）．①求，；②求．18．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求面积的最大值；(3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．19．已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点．(1)当时，求；(2)若证明：（i）数列是等比数列；（ii）若，则对一切恒成立．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【详解】已知集合，因为，所以.2．B【详解】由整理可得，可知复数在复平面内对应的点为，因为，则，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.3．A【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可.【详解】由平面向量平行的坐标充要条件可得：，整理为：，解得或.4．A【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，圆的圆心为，圆心到直线的距离为：，圆心到直线的距离为：，，又，.5．C【分析】由条件关系求出，根据平方差公式，平方关系结合齐次化方法可得，由此可求结论.【详解】因为，所以故，因为，又，所以.6．C【详解】设小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件，设小明答对试题为事件，则，，，，，，故，故C正确.7．A【分析】将，变形为，令，再用导数法证明其单调性即可.【详解】根据题意，可知，，，∵，，，，∴，令，则，∵，令，∵，∴，即对于任意的，恒有，∴在上单调递增，∴.8．D【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，利用基本不等式求解即可.【详解】因为，，所以，则，，依题意得两条切线的方程分别为，，联立两条切线的方程，解得，则，因为两条切线的斜率之积为，所以，解得，可得，，则，令，则可化为，而，当且仅当，即时取得最小值，因为，且，所以，即不成立，则的取值范围是，故D正确.9．BCD【详解】对于A：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，A错误；对于B：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为，B正确；对于C：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的范围得夹角为，C正确；对于D：因为为的外心，，则，所以，所以，同理可得，故为的垂心，D正确.10．BD【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数.令，则，故A错；数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和，令，则，故B正确；数列的前10项和等于，令，则，而，则数列的前10项和为，故C错误；数列的前10项和等于，令，则，因为，故D正确.11．ACD【分析】选项A通过分析函数与的图象交点情况确定；选项B利用函数的图象来判断；选项C根据满足的方程变形求解；选项D分析满足的方程，结合构造函数，利用函数单调性判断.【详解】因为方程有两个根，所以，又，，所以函数与函数图象在上有两个交点，而，由此可作出的大致图象；如图所示，所以，选项A正确；根据图象可知当m逐渐增大时，，而将会大于1，此时，可得不成立，选项B不正确；因为，则，所以，则，因为，，所以，选项C正确；因为，则，所以，则，两边取对数得.因为，令，令，，，因为，，单调递增，即得，即，所以，即，选项D正确.12．2【详解】由，则，结合正态分布的对称性知，所以，则13．【分析】设出点坐标，利用点到直线的距离公式来求得正确答案.【详解】设，则到直线的距离为：，所以当时，距离取得最小值为.故答案为：14．【分析】根据已知可推得，根据二项式定理展开，结合复数相等的条件以及，整理即可得出答案.【详解】由题意可知，.根据二项式定理展开可得，.根据复数相等的条件可知，.因为，所以.15．(1)(2)【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解.【详解】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，当且仅当时取等号，因此的面积，所以当时，面积取得最大值.16．(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据题意，先证明平面，再根据面面垂直的判定证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）因为，为中点，所以，，即，因为是正方形，所以，因为分别是的中点，所以，所以，又，平面，平面，又平面，平面平面.（2）以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，设，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，又，所以，设直线与平面所成角为，则，解得或（舍），，所以点到平面的距离为，则点到平面的距离为.17．(1)X0123P，(2)①；；②【分析】（1）分析可知，结合二项分布求X的分布列、均值和方差；（2）①分析人气值1点或2点所对应的可能性情况，结合独立事件概率的乘法公式运算求解；②分析可得，利用构造法和累加法，结合等比数列求.【详解】（1）由题意可知：，则，；；；则X的分布列为X0123P所以X的均值，且方差.（2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是，若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以；若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园，所以；②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园，则，可得，且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，则，当时，则，且符合上式，所以.18．(1)(2)(3)存在，【分析】（1）由椭圆的左右顶点可知的值，设，则，分别表示出再根据即可求出，则可得椭圆标准方程；（2）设直线方程为，将直线和椭圆方程联立可得，由韦达定理可得的值，求出，再由点到直线距离公式求出左顶点到直线距离，由面积公式可得到面积，再根据换元法即可求出最大值；（3）假设存在使得，分别表示出，再根据，代入到，由（2）韦达定理可知的值，代入到上式，再根据对任意的都成立，可求出值.【详解】（1）由椭圆的左右顶点可知，设，则，化简可得，则，，所以，则椭圆的标准方程为；（2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为，，将直线和椭圆方程联立，代入可得，由韦达定理可知，则，而，代入可得，根据点到直线距离公式，所以，令则，所以，函数在上单调递增，所以即时，，此时的面积最大，最大值为；（3）假设存在使得，分别求出，因为在直线上，所以，故，化简可得，由（2）知，则，所以可得，整理化简可得，要对任意的都成立，需系数满足，解得，故存在，使得.19．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）将函数化简为辅助角公式的形式，再根据正弦函数的零点求解；（2）（i）根据的零点求出的表达式，最后根据等比数列的定义证明；（ii）先求出的表达式，再结合的取值范围进行分析.【详解】（1）当