2026年湖北恩施州高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页恩施州2026届高三第二次质量监测考试数学本试卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知，则（

）A． B． C． D．2．复数满足，则（

）A． B．1 C． D．3．等差数列的前项和为，满足，则（

）A． B．C． D．均为的最大值4．已知向量，若向量满足，则（

）A．1 B． C． D．5．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（

）A．B．C．D．6．已知，若实数满足恒成立，则（

）A． B． C． D．7．已知函数在上不单调，则函数图象的对称中心为（

）A． B．C． D．8．锐角中，，则（

）A． B．C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9．设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（

）A．样本估计总体时，总体的均值一定为B．反应了取值的平均水平C．D．若服从分布，则10．已知，则（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为11．已知抛物线经过平移后得到曲线与轴交于两点，点坐标为的外接圆为圆，则下列说法正确的是（

）A．的焦点坐标为B．圆心在直线上C．圆过定点D．若，则圆与有且仅有两个交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．曲线在处的切线方程为___________．13．双曲线的左右焦点分别为，双曲线右支上一点满足，则直线的斜率为______．14．将4个相同的小球摆放在的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为___________．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知椭圆与直线交于两点．(1)求椭圆的方程；(2)若上存在关于原点对称的两点，使得与的面积相等，求这两点的坐标．16．某景区为回馈游客设计了一项抽奖活动，每轮抽奖规则是：从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中一次抽取3个球，每一个红球积1分，每一个黑球积0分；每位游客只能参加一轮抽奖活动，若所得积分大于或等于2，即可获得景区门票一张．(1)求游客甲在一轮抽奖中所得积分的分布列；(2)若某旅行团共5位游客，每位游客获奖的概率稳定且相互独立，求该旅行团获得景区门票人数的众数．17．已知各项均为正数的数列，满足．(1)求；(2)设数列满足，记其前项和为，且，求18．已知函数．(1)当时，令，求的最小值；(2)当时，求证：；(3)若，求证：.19．如图，四面体中，是的中点．若是点在平面内的投影，存在实数满足．(1)（i）求的值；（ii）若，求的取值范围；(2)若，异面直线与所成角为，记四面体外接球的半径为，求证：当取最小值时，．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】根据交集的定义即可求解．【详解】因为，所以可取，即可取，所以，则．2．A【分析】利用复数的乘、除运算以及复数模的求法求解即可.【详解】因为，所以，.3．C【分析】根据条件可得，，根据等差数列的求和公式，分析即可得答案.【详解】由题意，所以．故C正确．无法判断的正负，故A、B、D错误.4．D【详解】设，由题意得：，解得，所以.5．B【分析】以所在平面作为下底面，将展开图还原为正方体，根据正方体性质判断选项即可.【详解】以所在平面作为下底面还原，则重合，重合，还原成如图正方体:对于A，由图可得异面不平行，故A错误；对于B，显然，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，由图可得异面不平行，故D错误.6．B【分析】根据的情况分类讨论即可求解.【详解】由题意，当时，，由，所以，即，故当满足题意；当时，由，所以，又，所以，满足题意；当时，，即在恒成立，令，所以，由，所以，所以在单调递增，所以，所以，所以，综上所述.7．A【分析】对进行分类讨论，结合正切函数的图像即可求解.【详解】在上单调递增，不合题意；在上单调递增，不合题意；在上单调递增，不合题意；图象如图，满足题意，它的对称中心为．故选A．8．C【分析】首先根据和求出角的值，然后确定角的范围，然后分析选项.【详解】由题意得，，，因为，，，又是锐角三角形，，.，A错误；，B错误；由正弦定理可知，，即，C正确；，D错误.9．BCD【分析】对于选项A，根据样本期望是随机变量，总体均值是定值即可判断；对于选项B，结合期望的含义即可判断；对于选项C，利用方差的非负性公式即可判断；对于选项D，结合期望计算公式判断.【详解】对于A，用样本估计总体时，样本的均值为随机变量，总体的均值是固定的，故错误；对于B，期望的含义是反映了随机变量取值的平均水平，故正确；对于C,故正确；对于D,分布的期望为，故正确．10．AD【分析】通过三角恒等变换，引入中间变量将和分别转化为关于的函数，并根据的范围确定的取值范围，再利用导数求函数的单调性，进而求出值域，从而判断各选项的正误.【详解】，令，则，即，则，，因为，所以，则设，则，时，即在上单调递减，当时，，当时，，所以故有最小值，无最大值；故A正确B错误；，设，则，时，即在上单调递增，当时，，当时，，所以则有最大值，无最小值，故D正确C错误.11．ACD【分析】选项A由抛物线方程求出曲线焦点坐标；选项B先求出两点的坐标，再根据圆的性质求出圆心的坐标判断；选项C先求出圆的方程，然后将定点代入验证；选项D求出圆的方程联立方程判断交点个数.【详解】已知曲线，即，所以焦点坐标为，即曲线的焦点坐标，故A正确．已知，设的外接圆的一般方程为，则满足以下方程组又，又，所以．可得外接圆圆心的坐标为，即，故外接圆圆心满足，B错．又，该外接圆经过的定点（x，y）满足，解得（1，1）与满足题意，故圆E经过定点，C正确．当时，联立圆和曲线的方程有，解得或，因为，所以圆和曲线有且仅有两点，D正确．12．【详解】因为，令，则，所以切线方程为．故在点处的切线方程为．13．或2【分析】根据双曲线的定义及勾股定理求出，结合双曲线的对称性及直线的倾斜角与的关系求解即可.【详解】设，，由双曲线的定义及勾股定理得，可得，，设，则，.又，即，解得或（舍去），所以直线的斜率为，结合双曲线对称性可知，直线的斜率为或2．14．29【分析】先确定不能恰好共用一个方格顶点是不能斜对角相邻，所以小球必不可能在中间的方格，再将四个角设成类方格，其它方格为B类方格，分类讨论即可.【详解】根据题意，两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，即禁止斜对角相邻，可以上下左右相邻（共用两个方格顶点）或不相邻（无公共顶点），可以把的方格分为两类，小球必不可能在中间方格，否则一定会有斜对角相邻的情况，将四个角的方格设成类方格，以保证类在除去中间方格的情况下没有斜对角相邻的方格，剩余4个小格为类方格，如图所示：（1）4个小球若占用4个A类方格，有种；（2）4个小球若占用3个A类方格，1个B类方格，有种；（3）4个小球若占用2个A类方格，2个B类方格，此时只能选择隔着中间方格相对的B类方格，共2种可能，所以此时有种；（4）4个小球若占用1个A类方格，3个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍.（5）4个小球若占用4个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍.因此，共有种．15．(1)(2)与．【分析】（1）代入点求出即可求解；（2）由对称性及三角形面积相等，可得，得出直线方程，联立椭圆方程求交点坐标.【详解】（1）将点代入椭圆方程得，将代入直线方程得，解得或（舍去），所以椭圆的方程为.（2）连接，如图，’因为与的面积相等，则直线，设直线的方程为由（1）可知，直线，所以．.由，消去，整理得关于的方程，解得，所以这两点坐标为与．16．(1)0123(2)3人或4人【分析】（1）根据题意求得所有可能取值为0，1，2，3对应的概率即可求解；（2）先求得在一轮抽奖中获得景区门票的概率，记成功的人数为，则，求得的最大值即可．【详解】（1）由题知的所有可能取值为0，1，2，3，则，，故的分布列为0123（2）在一轮抽奖中所得积分大于或等于2的概率为，5位游客在5轮抽奖中，记成功的人数为，则，故，法一：.且，故5位游客在5轮抽奖中，该旅行团获得景区门票人数的众数是3人或4人．法二：假设当时，对应概率取值最大，则且，解得，且，故5位游客在5轮抽奖中，该旅行团获得景区门票人数的众数是3人或4人．17．(1)(2)【分析】（1）将代入递推式，配方得，推出，可得的公比，进而求得的通项公式；（2）由表达式得连续四项和，代入得，结合枚举出唯一解，再代入具体项计算比值.【详解】（1）由题意得，则有，整理得，即，两边同时平方，得，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.（2），则，即，所以，若，则，显然不成立，若，即，此时若：，则，亦不成立，故，于是，若，不成立，所以，综上，所以.故.18．(1)0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数分析单调性，进而确定最值；（2）先通过两个常用不等式放缩，相加得到，再构造，结合得到，进而证明目标不等式；（3）先由将目标式转化为证明，构造，通过导数判断单调性，最终得到结论.【详解】（1），令，所以在上单调递增，所以，即的最小值为0.（2）令，，在单调递增，，，由（1）可得，．①令，，，，．②①②可得，不等式成立.（3），，即证，不妨设，令，则，，令，则，，，，，故为上的增函数．，当且仅当时取等号，故为上的增函数．，，故原命题得证．19．(1)（i）；（ii）(2)证明见解析【分析】（1）（i）连接，作于点，可得面，即点与在平面内的投影重合，从而三点共线，由化简可得，由三点共线的性质即可求解的值；（ii）由可得，则利用即可求解；（2）法一：设与平面所成的角为，建立如图所示的空间直角坐标系，表示出各点的坐标以及四面体外接球的球心为根据，可得，化简可得由可得，从而得到，令得，结合导数研究的单调性以及最值即可证明结论；法二：将四面体补为直三棱柱．可得．则，在中，由余弦定理化简可得设四面体外接球的球心为，则在平面内的投影，为的外心，由正弦定理，．则，化简得，结合导数研究的单调性以及最值即可证明结论.【详解】（1）（i）连接，因为，所以．又，所以．因为，且两直线在平面内，所以面.作于点，所以，因为，且两直线在平面内，所以面．所以点与在平面内的投影重合，从而三点共线．因为．所以（ii）所以为的中点，则，