2026年四川宜宾市高三二诊高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页宜宾市普通高中2023级第二次诊断性测试数学（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后、用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．抛物线的焦点到直线的距离为（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（

）A． B．1 C． D．34．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A． B． C． D．5．已知数列满足对任意的，都有．若，则（

）A．8 B．18 C．20 D．276．已知，且，则（）A． B． C． D．7．已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（）A．8 B． C．12 D．8．已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．赓续绵延长江情，携手共谱新篇章．2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（

）A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6B．已知优秀率为20%，则C．越大，的值越小D．越小，评分在的概率越大10．定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（

）A． B．数列单调递减C． D．数列的前n项和为，则11．已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（

）A．正三棱台的高为B．高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内C．点P的轨迹长度为D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若复数z满足，则复数______．13．等比数列的前n项和为，若，，则________．14．已知在圆锥中，高长为，底面圆的直径长为，点为母线的中点．过点用平行于母线的平面去截圆锥，得到的截口曲线是抛物线，则该抛物线的焦点到点的距离为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知的内角A、B、C的对边分别为，满足．(1)求A；(2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度．16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且．(1)求C的方程；(2)过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点．17．某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场．(1)求面试号码为3的学生来自A校的概率；(2)记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；(3)求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．18．在四棱锥中，四边形为矩形，为锐角三角形，，，，为棱的中点，平面与平面的交线为，直线与相交于点．(1)求线段长度的最小值；(2)若异面直线与所成角为．（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；（ⅱ）求三棱锥的外接球的表面积．19．已知函数．(1)判断函数在区间上极值点的个数，并说明理由；(2)将函数在区间上的极值点从小到大排列，形成数列，数列满足：．证明：（ⅰ）；（ⅱ）．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【详解】，，则.2．B【分析】得到抛物线焦点后，利用点到直线距离公式计算即可得.【详解】抛物线的焦点为，则该点到直线的距离.3．D【分析】（方法一）利用向量在方向上的投影向量的公式求解；（方法二）由向量在方向上的投影向量为得到，利用向量垂直的坐标公式求解.【详解】（方法一）由题意，，，向量在方向上的投影向量为，，，，，，．（方法二）由题意，向量在方向上的投影向量为，，，，，，．故选：D.4．B【详解】因为双曲线（，）的离心率为，所以，则，所以，则，所以双曲线的渐近线方程是.5．C【分析】根据题意，分别令和求得，，再求和即可.【详解】因为数列满足对任意的，都有，，所以，当时，，解得；当时，，解得；所以6．D【分析】设，通过对数和幂函数将用表示，再比较大小.【详解】设，因为，所以.所以，，.因为，所以，，故；而，所以，，因为函数在时单调递减，且，所以，即.综上，.7．A【分析】判断出函数与的对称中心，根据两函数图象交点的对称性计算即可.【详解】由可得，，所以函数关于点对称.函数的定义域为.因为，所以函数关于点对称.因此函数与函数的图象的交点也关于点对称.若是两函数图象的交点，则一定是两函数图象的交点，那么，.所以.8．B【分析】求出给定命题的否定，再利用辅助角公式化简并换元得，由周期性探讨函数在上的最大值中的最小值，建立不等式求出范围，然后否定结论即得答案.【详解】命题“，存在，使得成立”的否定为：，对，不等式恒成立，而，，令，函数，函数的最小正周期为，不妨令，当时，，此时，则；当时，，函数在上递减，在上递增，；当时，，；当时，，函数在上递减，在上递增，；当时，，，由，对，不等式恒成立，得，即，而，解得，因此当，存在，使得成立时，，所以的最大值为.9．AD【详解】对于A，由题意可知，，，，由对称性可知，，故A正确；对于B，由题意可知，，因为，所以，故B不正确；对于C，因为是该正态分布图象的对称轴，所以，不会随的变化而变化，故C错误；对于D，由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”，因此在区间对应图象的面积变大，所以评分在的概率越大，故D正确；10．ACD【详解】由函数方程可得，又，可推出，可得，对任意正整数数成立.对于选项:正确.对于选项:递增，故单调递减错误.对于选项:是凸函数，满足，正确.对于选项:前项和，正确.11．ABD【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B，根据三棱台的高及上底面内切圆的半径即可判断；由得到，进而根据等边三角形的内切圆半径为求得点的轨迹，再求轨迹长度判断C；设正四面体的内切球的半径为，利用等体积法得到，再结合题意可知过点，，的平面正好过该内切球的球心，进而得到截面面积即可判断D．【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，在等腰梯形中，因为，，，则.即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.对于A：设为等边的中心，由正四面体的性质可知：侧面，且，即点到底面的距离为，又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确；对于B，设的内切圆的半径为，则根据等面积法有：，解得，因为正三棱台的高为，的内切圆的半径为，且，所以高为、底面半径为的圆柱可以放进该棱台内，故B正确；对于C，由A选项知，侧面，且，因为点在侧面内（包含边界）运动，且所以，因为等边三角形的内切圆的半径为，又，，所以，点在侧面内的轨迹为弧和，而,故，故为等边三角形，所以，所以点的轨迹长度为，故C错误；对于D，设正四面体的内切球的半径为，由等体积法可得，解得，因为，所以该棱台内最大的球即正四面体的内切球，又因为，，，所以为的中点，过点，，的平面正好过该内切球的球心，所以截面面积为，故D正确．12．【详解】由，得，则.13．【详解】设等比数列的公比为，当时，由，由，这与相矛盾，所以不成立，当时，，.14．【分析】根据几何关系，求得的长度，以为原点，建立坐标系，根据抛物线过点，求得抛物线方程，再次焦点到的距离即可.【详解】记过点且平行于的平面与底面圆的交点为；在三角形中，因为分别为的中点，故//，且；截面过点，且与平行，故点在截面上，则；根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，以为坐标原点，为轴，截面内过且垂直于的直线为轴建立如下坐标：则，；设抛物线方程为，因为其过点，故，解得，则抛物线的焦点到点的距离为.15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案；（2）利用三角形的面积关系解出即可．【详解】（1）已知，由正弦定理得，，，，即，，又，；（2）是的角平分线，由（1）知，，则，因为，则，因为，，即有，故．16．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据条件列方程组求解；（2）分直线斜率是否为零讨论，联立直线与椭圆方程，求出直线的方程，令即可结合韦达定理化简得出.【详解】（1）将代入中得，，则，因为，所以，又，得，故C的方程为；（2）若直线斜率不为，则设直线，，，联立，得，则，得，，因为，则，则直线的方程为，令，得，则直线HB过定点；若直线斜率为，则直线HB为轴，过点；故直线HB过定点.17．(1)；(2)15202530；(3).【分析】（1）求出面试号码为3的样本空间中样本点个数，再求出面试号码为3的学生来自A校的事件所含样本点个数即可.（2）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.（3）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，利用古典概率公式，结合排列组合求出概率.【详解】（1）面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果，所以面试号码为3的学生来自A校的概率为.（2）令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，可得的所有可能取值为，的所有可能取值为，则，，，，所以的分布列为15202530数学期望.（3）依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件，而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件，与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥，而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件；而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有，所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为.18．(1)(2)；【分析】（1）可证，平面，建系并标点，，根据题意结合向量共线可得，进而分析线段BQ长度的最小值；（2）利用空间向量结合向量夹角可得.（ⅰ）分别求平面PCD与平面QCD的法向量，利用空间向量求面面夹角；（ⅱ）设三棱锥的外接球的球心为，根据外接球的定义结合空间中两点间距离可得球心坐标，进而可得半径和表面积.【详解】（1）因为，平面，平面，则平面，且平面，平面平面，所以，又因为，，，平面，可得平面，以为坐标原点，分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，可得，则，可得，，，则，，由题意可知：直线的一个方向向量为，且，设，则，因为，则，可得，则，即，则，令，则，当且仅当时，等号成立，所以线段BQ长度的最小值为.（2）由（1）可知：，，由题意可得：，解得，即，则，，，，.（ⅰ）因为，，，设平面的法向量为，则，设，则，可得；设平面的法向量为，则，设，则，可得；则，所以平面PCD与平面QCD夹角的余弦值为；（ⅱ）设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则，即，解得，可得，所以三棱锥的外接球的表面积为.19．(1)有两个极值点，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）求函数在给定区间上的导数，以分子整式构造函数，再次求导，研究该导数在给定区间上与零的大小关系，以判断构造函数的单调性和变号零点的性质，根据极值的定义，可得答案.（2）（ⅰ）根据（1）可得，所在区间，根据极值点的必要条件，进一步缩小其所在区间，根据三角函数的诱导公式，将变为，使其在同一个单调区间，根据函数的单调性，可得，与2大小关系，可得答案；（ⅱ）由（ⅰ）可得，进而得到当为偶数或奇数时，和与零大小关系，再根据变形即可证明.【详解】（1）因为，所以.设，，当时，因为，，在上单调递减，得，所以在上无零点，当时，因为，，在上单调递增，且，，所以在上有唯一零点，