第1章 三角形的证明（教师版）（基础类型）-北师大版(2024)八下

思维导图第一章三角形的证明思维导图【类型覆盖】类型一、等腰三角形的定义【解惑】等腰三角形的底边长为16，则腰长的取值可以为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】本题主要考查等腰定义，三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系求解即可．【详解】解：设腰长为，则，．故选：D．【融会贯通】1．已知等腰三角形的周长为，若底边长为，一腰长为，则y与x之间的函数表达式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形周长的定义列出方程，再根据三角形三边的关系确定自变量的范围即可．【详解】解：∵等腰三角形的周长为，若底边长为，一腰长为，∴，∴，∵两边之和大于第三边，∴，解得．故选：C．2．如图，在中，，，，为等腰直角三角形，直角顶点在线段上运动，当点运动到中点时，的面积为．【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求得的长，作交的延长线于点，证明，推出，利用三角形的面积公式求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，，，∴，∵是中点，∴，作交的延长线于点，∵为等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴的面积为，故答案为：．3．在中，，为边上的中线，把的周长分成18和15两部分，求底边的长．【答案】9或13【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线，三角形三边关系，分两种情况讨论解题的关键．根据三角形中线的定义可得：，从而可得，然后分两种情况进行计算即可解答．【详解】解：设，则．如图1，若，则，解得，即．此时，所以．如图2，若，则，解得，即．此时，所以．综上所述，底边的长为9或13．类型二、等边对等角【解惑】如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为（

）A．90° B．60° C． D．30°【答案】C【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，连接，根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题．【详解】解：如图，连接，由题知，，，，，，，为直角三角形，即，．故选：C．【融会贯通】1．等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．由等腰三角形的两个底角相等及三角形的内角和定理即可得解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为，∴这个等腰三角形的顶角，故选：C．2．如图，在等腰三角形中，平分交于D，是的高，则．【答案】【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，角平分线的计算及三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解即可．根据等腰三角形得出，再由角平分线确定，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵在等腰三角形中，∴，∵平分交于D，∴，∵是的高，∴，∴，故答案为：．3．如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，且．

(1)若，求的度数；(2)若，求的度数（用含n的式子表示）．【答案】(1)30°(2)【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．（1）根据三角形的外角的性质，求出和，结合图形计算即可；（2）根据三角形的外角的性质求出和，结合图形计算即可．【详解】（1）解：，，，，，；（2）解：，，，，．类型三、等角对等边【解惑】如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（

）A．4 B．2.5 C．2 D．1.5【答案】C【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．【详解】解：∵、分别平分、，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴，故选：C．【融会贯通】1．如图，将一张长方形纸片按图中折叠，折痕为，，，则重叠部分的面积为（

）A．80 B．20 C．40 D．10【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的判定、折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的面积公式．根据折叠的性质得到，根据可得，继而可得，易得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可．【详解】解：由折叠的性质可得：，∵四边形是长方形，，，，，，，∴重叠部分的面积．故选：C2．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为．【答案】【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．延长交于点，根据角平分线的定义及垂直的定义得，，利用可证明，得出，，可得，根据等角对等边得出，即可得的长．【详解】解：如图，延长交于，∵平分，，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴．故答案为：3．如图，在中，点是边上的一点，满足．(1)证明：；(2)若，，，求CD的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】本题考查了三角形的外角性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）结合，则，即可作答．（2）在上截取一点F，使得，先证明，得，，因为，则，再结合三角形的外角性质即可作答．【详解】（1）解：如图所示：∵，∴，∵，∴，即；（2）解：在上截取一点F，使得，如图所示：由（1）得，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．类型四、三线合一【解惑】如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（

）A．等腰三角形的三线合一 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等边对等角【答案】A【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．【详解】解：∵中，，为的中点，∴，故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一，故选：A．【融会贯通】1．如图，中，，，，于点，点在边上，且．则的长为（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出，求出，最后求出结果即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．2．如图，在等边中，点分别在边上，，点在的延长线上，且，若，，则线段的长为．【答案】3【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键熟练掌握以上性质；过点作，垂足为，设，由等边三角形的性质可得，，再证明是等边三角形，可得，，再由含的直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再列方程求解即可．【详解】如图，过点作，垂足为，则，设，是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，解得，，故答案为：3．3．如图，分别为的高线及角平分线，且，(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是三角形的高、角平分线、等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的三线合一是解题的关键．（1）根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，计算即可；（2）根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据三角形内角和定理计算，得到答案．【详解】（1）解：∵为的高线，∴，∵，∴，∵为的角平分线，∴，∴；（2）∵为的角平分线，∴，∵，，∴，∴，∴．类型五、等边三角形的性质【解惑】如图，等边的顶点、分别在直线，上，且，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质得出，最后再由平行线的性质即可得出答案．【详解】解：如图：是等边三角形，，，，；故选：A【融会贯通】1．已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（）．A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及直角三角形角所对的直角边是斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据等边三角形的性质可得,，利用“边角边”证明，再结合全等三角形的性质与三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角形角所对的直角边是斜边的一半的性质逐一分析判断即可．【详解】解：∵是等边三角形，∴，．在和中，，∴．∴，∵，∴，∴，故①正确．∵，∴．∵，∴．∴，故③正确．∵，∴，故④正确．若，，则为等腰直角三角形，．但题目中没有此条件，故②错误．故选D．2．如图，在等边三角形中，BD是边上的高，延长至点，使，则的长为．【答案】【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据题意可得，进而根据，即可求解．【详解】解：∵在等边三角形中，BD是边上的高，∴，又∵，∴∴故答案为：．3．如图，已知是等边三角形，D是AB上一点，E是上一点，且．(1)求证：；(2)求的度数；(3)过点C作于点G，求证：．【答案】(1)见详解(2)(3)见详解【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．（1）证明即可证明；（2）根据全等三角形的性质得出，再利用外角转化角度即可求出的度数；（3）根据（2）中的度数求出，再根据含角的直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴．∵，∴，∴．（2）解：∵，∴．∴．（3）证明：∵于点，∴，∵，∴，∴．类型六、含30°角的直角三角形【解惑】如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离长为（

）A．12米 B．6米 C．3米 D．1.5米【答案】C【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质．根据度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．【详解】解：∵，米，∴米，故选：C．【融会贯通】1．如图，在中，，是高，，．则长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解此题的关键．利用含角的直角三角形的性质即可得到答案．【详解】解：在中，，，，，，，，，，，的长为1．故选：A2．是直角三角形，，，则的长为．【答案】或【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，本题中只说明了是直角三角形、，并没有说明直角是哪个角，所以要分两种情况讨论．当、时，根据直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出；当、时，设，则，根据勾股定理可以求出的长度．【详解】解：如下图所示，若，，在中，，，；如下图所示，若，，设，则，在中，，，解得：x=2或(舍去)；综上所述，的长为3或．3．在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接．(1)如图①，当时，的长为_______；(2)如图②，若，当点在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由；(3)如图③，若，当时，求线段的长．【答案】(1)(2)；理由见解析(3)【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形，三角形的外角，熟练掌握是解答本题的关键．（1）利用三角形的内角和可知，再根据角所对的边是斜边的一半即可解答；（2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，手拉手模型可得，即可证明；（3）根据题干易知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，利用外角可知，即可求解线段的长．【详解】（1）解：在中，，，∵，，又∵，，故答案为：；（2）解：，理由如下：∵，，为等边三角形，，，∵为等边三角形，，，，，即，在和中，∵，，；（3）解：∵为等边三角形，，，∵，，，∵，，为等边三角形，，，∵，，，．类型七、直角三角形的两个锐角互余【解惑】如图，中，于点D，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．由直角三角形的性质求出，由等腰三角形的性质得到即可求出的度数．【详解】解：于点，故选：C．【融会贯通】1．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵，是的中线，∴，∴，∵，∴，故选：．2．如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则的度数为．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；利用证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解；【详解】解：在和中，，，，故答案为：3．如图，，．(1)求证：；(2)若，则__________°．【答案】(1)见解析(2)15【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质．熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．（1）利用“”证明，即可证明；（2）利用全等三角形性质得，利用直角三角形两个锐角互余得．【详解】（1）证明：∵，，，∴，∴．（2）解：由（1）知，，∴，∵，∴．故答案为：15．类型八、勾股定理的逆定理求解【解惑】三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（

）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：，∴即，所以此三角形是直角三角形，故选：C．【融会贯通】1．在中，三边长分别为6，8，10，那么的面积为（

）A．48 B．24 C．30 D．40【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．在一个三角形中，若两较小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，根据可得到是直角三角形，据此利用三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：∵的三边长分别为6，8，10，且，∴是直角三角形，且两直角边的长为6和8，∴的面积为，故选：B．2．如图是一块四边形绿地，其中，，，，．这块绿地的面积为．【答案】【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，连接BD，由勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，，再根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：连接BD，∵，，，∴，∵，，∴，∴为直角三角形，，∴，故答案为：．3．如图，青青想用自己学过的知识测量一条湖两端的距离，他在地面上取了一点，测得米，米，在上取了一点，测得米，米，请你根据青青的测量结果，计算这条湖两端的距离．【答案】这条湖两端的距离为米【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是掌握相关知识．先根据勾股定理的逆定理得到，再求出米，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：米，米，米，，，，，即，米，米，（米），（米），答：这条湖两端的距离为米．类型九、线段垂直平分线的性质【解惑】如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交于点E，若周长为20，，则为（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，等腰三角形的性质得到．由等腰三角形的性质推出，由线段垂直平分线的性质推出，得到，因此，得到，即可求出CD的长．【详解】解：∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∵周长为20，，∴，∴，∴，∴．故选：A．【融会贯通】1．如图，在长方形中，在线段上取一点M，使得，以点M为圆心，为半径作弧，交于点N，分别以点A、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接、，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图及其性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由长方形和可得，再根据作图可得直线是线段的垂直平分线，得出的度数，再利用求出的度数，最后在利用三角形内角和定理即可解答．【详解】解：如图，连接，长方形，，，，是等腰直角三角形，，，由作图可得，直线是线段的垂直平分线，，，，，，，解得：，，，．故选：A．2．如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，则的周长为．【答案】10【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图及性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可知，是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据的周长公式即可解答．【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，，的周长，，，的周长．故答案为：10．3．已知：纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折：①如图1，沿着的平分线翻折，得到，设的周长为．②如图2，沿着的垂直平分线翻折，得到，设的周长为．求线段的长度（用含，的代数式表示）．【答案】【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，全等三角形的性质，熟练掌握图形的折叠性质，全等三角形的性质是解题的关键．本题需要先分别计算得到的周长和的周长，然后作差即可求解；【详解】解：∵沿着的平分线翻折，得到，∴，，∴的周长，①∵沿着的垂直平分线翻折，得到，∴，∴的周长，②∴②-①得：，∴，∴．类型十、角平分线的性质【解惑】点P在的平分线上，点P到边的距离等于2.5，点Q是边上的任意一点，连接，下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，根据角平分线的性质和垂线段最短即可求解，熟记性质是解题的关键．【详解】解：∵点在的平分线上，∴点和的距离相等，∵点到边的距离等于，∴点到边的距离也等于，即点与边上任意一点连接的线段中，最小值为，∴当为上任意一点时，，故选：D．【融会贯通】1．如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了角平分线的性质、含角直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质是解题的关键；过点作，交于点，根据角平分线的性质可得，再根据含角直角三角形的性质计算即可解答；【详解】解：如图，过点作，交于点，如图所示：点在的平分线上，，，，，；故选：D2．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是【答案】【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由作图可知平分，进而由角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键．【详解】解：如图，过点作于，由作图可知，平分，∵，∴，∵平分，，，∴，∴，故答案为：．3．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，若．求的长．【答案】【分析】本题主要考查角平分线的性质以及含角直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据是的角平分线得到，根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半求出，即可得到答案．【详解】解：是的角平分线，，，，，，，，．【一览众山小】1．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（

）A．2，3，4 B．1，， C．5，12，13 D．6，8，10【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断三角形是否是直角三角形，只要验证两个短边的平方和等于最长边的平方即可．根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故该选项符合题意；B、，能构成直角三角形，故该选项不符合题意；C、，能构成直角三角形，故该选项不符合题意；D、，能构成直角三角形，故该选项不符合题；故选：A．2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（

）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质即可直接得出答案．【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：．3．如图，每个小方格的边长为，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是知道分类讨论，画出图形，利用数形结合解决问题．是等腰三角形共有三种情况：①，②，③．根据三种情况画出图形，即可找到点的个数．【详解】解：当时，点的个数有个；当时，点的个数有个；当时，点的个数有个；故选．4．已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角度数为．【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，∴这个等腰三角形底角的度数为：，故答案为：．5．如图，在中，，，是的平分线，则．【答案】5【分析】本题考查三线合一，根据等腰三角形三线合一，即可得出结果．【详解】解：，的平分线交边于点，