安徽合肥市“校集团”2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题(含答案)

合肥市“校集团”2026届高三下学期数学第一次模拟考试(考试时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U={x∣−3<A.{−1,1}B.{−2.命题“∀x>1A.∀x≤C.∃x≤3.若不等式xx+alnx+aA.{1}C.1e,4.已知lnanan>0为等差数列，A.12B.2015C.9925.已知a=log23,b=A.a<b<cB.c6.如图,四边形ABCD为矩形,AB=4,AD=3+3.△FDC是等边三角形,△EAB是等腰直角三角形，AE⊥BE.将△EAB和△FDC分别沿虚线AB和CD翻折，且保持平面EAB//平面FDC.当EFA.1+32B.2+7.已知sinα=2cosβ,sinβ=3cosα,若向量A.−329B.329C.58.已知直线l:xcosθ+ysinθ+1=0θ∈R,圆C:x−32+y−42=4,过l上一点PA.3x+4yC.11x+17y二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.据网络平台最新数据,截止到2025年4月20日14时10分,电影《哪吒之魔童闹海》总票房(含点映、预售及海外票房)已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六.登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本,统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则()A.aB.观众年龄的众数估计为35C.观众年龄的平均数估计为30.2D.观众年龄的第70百分位数估计为3810.1−2x5A.x的系数为-10B.第3项与第4项的二项式系数相等C.所有项的二项式系数和为32D.所有项的系数和为3211.如图,长方形的长为22,宽为2,A,B,C,D分别为长方形四条边中点,沿AB,BC,CDA.ACB.平面B′CD⊥C.直线AC与平面B′CD所成角为D.平面AB′C与平面B′三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分12.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c13.某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有1个或0个相邻的装饰品,则不同的取法数有_____种.14.斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,⋯四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在锐角△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c.已知a=2，(1)若1+cosA=bsinA(2)求△ABC16.有一摸球游戏如下:盒子中有红、黄、绿三种颜色的球各3个，球除颜色外其他均相同，两人摸球，规定每人一次从盒中摸3个球，第二人从第一人摸球后剩余的6个球中再摸3个球.记每个人摸到的3个球中颜色相同的球的最大数量为其得分,规定得分高者获胜.现有甲、乙二人参与此摸球游戏,记甲、乙的得分分别为X,(1)若甲先摸球，求X,Y(2)在甲先摸球的情况下，分别计算甲获胜的概率p1和乙获胜的概率p217.如图,圆台的下底面圆O的半径为2,ABCD为圆O的内接正方形.E,M为上底面圆O1上两点,F为BC的中点,且平面ABE(1)求证:EA=EB(2)若OO1=3，求FM与平面18.已知A2,0,点P是⊙O1:x+22+y2=4上的任意一点，线段AP的垂直平分线与直线(1)求曲线C的方程；(2)与x轴不重合的直线l过点Mm,0m≠0,曲线C上存在两点B,D关于直线l对称,且BD①求mn②若B,D均在y轴右侧,且直线l过点E0,4①求mn②若B,D均在y轴右侧,且直线l过点E0,419.已知函数fx(1)讨论fx(2)若fx恰有两个零点x1,x(i)求a的取值范围;(ii)设gx=fx−kx2−2ax1.B由题知,U={−2,−1,0,1,2,2.D命题“∀x>1,ex−2>0”故选:D.3.A设x+a=t原不等式可化为:t−因为t>0,所以当0<t<1时,lnt<0,所以t−a当t=1时,lnt=0当t>1时,lnt>0,所以t−a≥0综上可得:a=故选:A4.A因为lnanan>则lna1=ln3,ln所以lna故选:A5.Da=由32>23,得3>232b所以b<故选:D6.C如图所示，取AB中点M，CD中点N，连接ME，MN，NF，EF，由△FDC是等边三角形,△EAB是等腰直角三角形,则ME⊥又ME∩ME,MN,NF⊂所以AB⊥平面MENF所以平面ABCD⊥平面MENF,平面EAB⊥平面MENF,平面FDC⊥平面又EF⊂平面MENF，且EF⊥平面ABCD，平面MENF∩平面所以EF⊥又平面EAB//平面FDC,且平面EAB∩平面MENF=ME,平面FDC∩平面MENF则作出平面MENF如图所示,设EF∩则△OME∼△所以OMON=又ME=则OMON由MN=所以OM=设过点O作PQ⊥ME与ME,NF分别交于点则PQ即为两平面间距离,PQ故选:C.7.C因为sinα=2cosβ,sinβ=3cosα,显然sinβ、sinα所以tanα因为向量m=tanα+tanβ,tan所以m则tanα+tanβ−15λtanα故选:C8.B如图,SPMCN=2×1所以PC=因这样的点P有且仅有一个,由图知此时CP⊥则圆心C3,4到直线l即6=3cosθ+4sinθ+∴sinθ+φ=1∴cosθ所以l:35x+45y+1=0所以直线CP:y−4=联立4x−3y=03x+4y+5因PC的中点坐标为65,85则以PC为直径的圆的方程为x−整理得5x易知直线MN是圆C与以PC为直径的圆的公共弦所在直线,将两圆的方程相减得9x+故直线MN的方程为9x+故选:B.9.BD由题意知0.010+a+0.022+0.025+0.020观众年龄的众数估计是30+402=35估计这10000名观众年龄的平均数为50.25+45×0.2+55前3组的频率之和为0.010+前4组的频率之和为0.50+故第70百分位数位于第4组,设其为t,则t−30×0.025+即第70百分位数为38,故D正确.故选:BD10.ABCA选项,1−2x5展开式第r+1r=1时,CB选项，第3项二项式系数为C52=10，第4项的二项式系数为C53C选项,所有项的二项式系数和为25=D选项，x=1时，1−2故选:ABC11.ACD对于A,由题意可得,B′由题意可知P是B′D的中点,连接又AB′=AD,AP∩CP=P,AP,CP⊂平面ACPAC⊂平面ACP,故AC⊥B′对于C,由于AP=则AP2+CP又CP∩B′D=P,CP,B′D⊂故∠ACP为直线AC与平面B′CD所成角，CP=AP=2，故∠ACP=π4，故C正确，对于D,过P作由于AP⊥平面B′CD,B′C⊂又OP∩AP=P,AP,OP⊂平面AOP因为OA⊂平面AOP,故B故∠AOP为平面AB′C与平面由等面积法可得OP=又AP=2,故tan∠AOP=APOP对于B,由于AP⊥平面B′CD,而AP⊄平面ACD,且AP与平面故平面B′CD与平面ACD不垂直,故B故选:ACD12.2因为2acosC+2ccos所以2sinA+C=3sinA所以2sinB=3sinA,又由正弦定理,可得因为b=3,所以13.216将这7个小球编号如下图所示:分以下两种情况讨论:第一种,第一步,先取1、5、7号球,第二步,再取2最后一步,从剩余两球依次摸取,此时不同的抽法种数为A33第二种,将1,2前三个球从其中一个整体和每支不与3号球相邻的小球中依次摸取,有6种,以1、2、5为例，可依次为1,2,5剩余3、4、6、7号球,先从4、7号球中摸一个,有2种情况,比如先取7号球,剩余三个相邻的小球,接下来从4、6号球中取一个,有2种情况,最后剩余两球摸取的先后顺序任意,此时,不同的取法种数为6×综上所述，不同的取法种数为72+144故答案为:216.14.2由斐波那契数列规律可知,集合A=a1,a2,⋯,a2025中的元素有675个偶数,1350个奇数,记A中所有偶数组成的集合为C,所有奇数组成的集合为D,集合C的子集为E,集合D中含有奇数个元素的子集为F,则所有元素之和为奇数的集合B,可看成E∪F,显然集合E共有个所以所有元素之和为奇数的集合B共有2675×又集合A的非空子集共有22025−所以B中所有元素之和为奇数的概率为22024故答案为:2202415.1(2)3(1)由正弦定理可得asinA=bsinB因为1+cosA=bsin又cosA=−cosB+C展开可得1−即32sinC+1又C∈0,π,所以C=所以△ABC则S△(2)由正弦定理可得b又因为△ABC为锐角三角形，则0<A<π20<23π其中tanπ所以b+所以△ABC的周长a16.(1)在甲先摸球的情况下,记甲摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为a,b,ca≥b≥c,则a则PXPP故X的分布列为X123P99141E在甲先摸球的情况下,记乙摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为d,e,fd≥e≥f,则d+e+f=3则PYPP故Y的分布列为Y123P9289141E(2)在甲先摸球的情况下，由题意，p==p==则p1=故参赛者获胜的概率不受摸球先后顺序的影响.17.(1)证明:取AB的中点G,连DG交AF于H.在正方形ABCD中,由于F为BC的中点,可得△ADG≅△BAF，则因为∠ADG+∠AGD=π2得到∠AHG=π2因为AF⊥DE,DE∩所以AF⊥平面DEG,又EG⊂平面DEG,故由于平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面BC⊥AB,故BC⊥平面ABE,又EG⊂平面ABE因为AF⊥EG,AF∩所以EG⊥平面ABCD,又因为AB⊂平面则EG⊥AB,又点G是AB的中点,故(2)由于圆O的半径为2，则正方形ABCD的边长为2,又OO1=3以O为坐标原点,过点O作AB,BC平行的直线分别为x轴,y轴,所在的直线为z则A1易求上底面圆的半径为1,故a2故AD=设平面ADE的法向量为n=x,y,z,由取x=3,z=设FM与平面ADE所成角为α,则sinα令t=5+2a所以sinα=34t−故sinα所以FM与平面ADE所成角正弦值的最大值为32118.1(2)①4;②0(1)O1:x+22+y2=4的圆心为O1−2,0，半径r=2，因为点Q所以∥QP所以动点Q在以A、O1为焦点的双曲线上,设双曲线方程为则